以問題為中心,構建有效的課堂教學
2012-04-29 00:00:00曾慶朋
中學教學參考·語英版 2012年2期
在學習相似三角形的判定和性質之后，我們在平時的練習或考試中就經常會碰到一些關于三角形內接正方形的題目，這些題目靈活、多變、發散，往往是學生所懼怕的.基于這點，在復習課時我以三角形的內接正方形這一問題為中心，開展了一堂頗為有效的數學課.
一、三角形的內接正方形的概念
引導學生從圓的內接三角形、內接四邊形這些熟悉的圖形入手，抽象出三角形的內接正方形的概念：如果一個正方形的四個頂點都在一個三角形的三邊上，稱該正方形是該三角形的內接正方形.根據“抽屜原理”，內接正方形的四個頂點中必有兩個在三角形的同一邊上，此時，稱正方形為三角形的該邊上的內接正方形.
設計意圖：通過對新舊知識的類比，學生很快能把未知的知識化歸到已學的知識上，降低難度的同時引發學生對新知識的學習興趣.
二、求三角形內接正方形的邊長
【例1】 如圖1，正方形PQMN是△ABC的內接正方形，如果BC=12cm，高AD=6cm，你能求出內接正方形PQMN的邊長嗎？
通過相似三角形對應邊上的高之比等于相似比，學生不難找出解題方案.
然后，改變BC和AD的大小，尋求正方形的邊長與兩者的內在關系.
最后，歸納得出已知三角形的底為a，該底邊上的高為h，則內接在該底上的正方形的邊長的一般公式：邊長=aha+h.
設計意圖：從特殊到一般，符合學生的認知規律，而且總結出求邊長的簡單易算的公式，既可以省時，而且為后面的引申做好了鋪墊.
三、討論正方形怎樣內接面積最大
【例2】 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2，工人要把它加工成一個面積最大的正方形桌面，你怎么設計呢？
有了例1的公式，學生能根據自己畫出的不同圖形直接求出正方形的邊長.
邊長=1.5×21.5+2=67，邊長=2.5×1.22.5+1.2=3037，
并能通過結果，比較得出內接在直角邊上的正方形面積最大.
進一步引申：若給出的三角形是銳角三角形呢？有幾種畫法，怎樣內接面積最大？
這個問題是本堂課的難點所在，要解決此題，除了用例1的結論把每條邊上的邊長求出后，還需做出每條邊上的高，利用面積相等，求出正方形邊長，最后用作差法來比較兩個代數式的值.
設計意圖：從實際問題出發，更能激發學生解決問題的決心，并能從此題中感受到數學知識來源于實踐，也應用于實踐；從特殊三角形——直角三角形出發，直接利用例1得出的公式，尋求答案，進行猜想，從易到難，增強了學生的學習信心.
四、圍繞三角形的內接正方形，進行一系列的變式拓展
【例3】 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.
(1)如圖3-1，四邊形DEFG為△ABC的內接正方形，求正方形的邊長.
(2)如圖3-2，三角形內有并排的兩個相等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，求正方形的邊長.
(3)如圖3-3，三角形內有并排的三個相等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，求正方形的邊長.
(4)如圖3-4，三角形內有并排的n個相等的正方形，它們組成的矩形內接于△ABC，請寫出正方形的邊長.
五、反思
在整堂課的教學中，我努力圍繞三角形的內接正方形這個中心，將各類題型串起來，讓學生在類比、猜想中進行知識的整合以及思維的發散.記得著名的教學教育家波利亞曾形象地指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找找，很可能附近就有好幾個.”由此看出，在數學教學中，如果教師能有意識地引導學生研究課本中的一些典型問題，由一個基本問題出發，運用類比、聯想、特殊化和一般化的思維方法，探索問題的發展變化，就能使學生發現問題的本質，并能深入挖掘出其潛在的數學思想方法，揭示其豐富的內涵.而恰當合理的變式能營造一種生動活潑、寬松自由的氛圍，有利于學生掌握基礎知識，有益于培養學生的應變能力.這種體驗有利于學生的學習、發展、創造等能力的培養和提高，是一種不可量化的“長效”，更是一種難以言說的豐厚回報.
（責任編輯 金鈴）
