源于拓展與延伸的中考綜合題

函數與幾何圖形的綜合題，從注重二次函數及幾何圖形性質、動手操作的說理計算，發展到基于函數、幾何圖形互為載體的動態探究題，成為近年各地中考的亮麗風景和必考題型，這類試題的難度系數大多在0.2左右.

盡管中考綜合題、壓軸題年年創新，但基本的、典型的問題仍來源于典型基本題，往往以某一典型題為母題，進行發散、變式、拓展與延伸，或變條件、變結論、變圖形、變式子、變表達方式，或變問題的情境等，進而對相關函數或幾何圖形進行探究.

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如圖1，在平面直角坐標系中，將一塊腰長為■的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在兩坐標軸上，直角頂點C的坐標為（-1，0），點B在拋物線y=ax2+ax-2上．

（1）求點A，B的坐標.

（2）求拋物線的解析式.

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■ 因為OC=1，AC=■，所以AO=■=2. 所以點A的坐標為（0，2）. 過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，因為∠BCD＋∠ACO=90°，∠ACO＋∠OAC=90°，所以∠BCD=∠OAC. 因為△ABC為等腰直角三角形， 所以BC=AC. 在△BDC和△COA中，∠BDC=∠COA=90°，∠BCD=∠OAC，BC=AC，所以△BDC≌△COA. 所以BD=CO=1，CD=OA=2. 因為C （-1，0），所以點B的橫坐標為-3. 所以點B的坐標為 （-3，1）.

（2）把B（-3，1）代入y=ax2+ax-2，得1=9a-3a-2，解得a=■，所以拋物線的解析式為y=■x2+■x-2.

變式1 （2011青海西寧）在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，點C為 （-1，0）． 如圖2所示，點B在拋物線y=■x2+■x－2的圖象上，過點B作BD⊥x軸，垂足為點D，且點B的橫坐標為-3．

（1）求證：△BDC≌△COA.

（2）求BC所在直線的函數關系式.

（3）拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

■ 本題以原型1中的背景圖為載體，對原型1中部分條件、結論進行替換，如由已知等腰三角形的腰長換為已知點B的橫坐標等，其中所蘊涵的信息（等腰直角三角板、拋物線）、解題思路、數學方法仍清晰可見，但本題在原型1的基礎上推陳出新，構思巧妙，進一步結合三角板引入一次函數和相關圖形問題（探究直角三角形）.

■ （1）因為∠BCD＋∠ACO=90°，∠ACO＋∠OAC=90°，所以∠BCD=∠OAC. 因為△ABC為等腰直角三角形， 所以BC=AC. 在△BDC和△COA中，∠BDC=∠COA=90°，∠BCD=∠OAC，BC=AC，所以△BDC≌△COA.

（2）因為點C的坐標為 （-1，0），所以BD=CO=1. 因為點B的橫坐標為-3，所以點B的坐標為 （-3，1）. 設BC所在直線的函數關系式為y=kx＋b，由條件有－k+b=0，－3k+b=1， 解得k=-■，b=-■. 所以BC所在直線的函數關系式為y= -■x-■.

（3）存在. 因為二次函數解析式為y=■x2+■x－2，所以y=■x2+■x－2=■x+■2－■. 所以對稱軸為直線x=－■.

①若以AC為直角邊，點C為直角頂點，設對稱軸上有一點P1，使CP1⊥AC. 因為BC⊥AC，所以點P1為直線BC與對軸稱直線x=－■的交點. 由題意可得y=-■x-■，x=-■， 解得x=-■，y=-■. 所以P1－■，－■.

②若以AC為直角邊，點A為直角頂點，則對稱軸上有一點P2，使AP2⊥AC，可過點A作AP2∥BC，交對稱軸直線x=－■于點P2. 因為CD=OA，所以A（0，2）. 由題意得直線AP2的解析式為y=－■x+2. 由 y=-■x+2，x=-■ 解得x=-■，y=■， 所以P2－■，■.

綜上所述，拋物線的對稱軸上存在點P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，且點P的坐標可為P1－■，－■，P2－■，■.

變式2 （2011湖南株洲）孔明是一個喜歡探究、鉆研的同學，他在和同學們一起研究拋物線y=ax2（a<0）的性質時，將一把直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O，兩直角邊與該拋物線交于A，B兩點，請解答以下問題：

（1）若測得OA=OB=2■（如圖3），求a的值.

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（2）對同一條拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉到圖4所示位置時，過點B作BF⊥x軸于點F，測得OF=1，寫出此時點B的坐標，并求點A的橫坐標.

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（3）對該拋物線，孔明將三角板繞點O旋轉任意角度時驚奇地發現，交點A，B的連線段總經過一個固定的點，試說明理由并求出該點的坐標．

■ 本題仍借助原型1中的信息，只不過對拋物線與三角板重新擺放操作， 其中（1）小題構建了兩三角形的全等關系，當直角三角板繞直角頂點O進行旋轉時，（2）小題演變為兩三角形的相似關系. 同時本題在旋轉操作中作了進一步延伸與拓展：三角板與拋物線的交點所在直線始終通過的定點問題可轉化為求解直線解析式中系數b的問題.

■ （1）設線段AB與y軸的交點為C，由拋物線的對稱性可得點C為AB中點. 因為OA=OB=2■，∠AOB=90°，所以AB=4，AC=OC=BC=2. 所以B（2，-2）. 將B（2，-2）代入拋物線y=ax2（a<0）得a=－■.

（2）過點A作AE⊥x軸于點E，因為點B的橫坐標為1，所以B1，－■. 所以BF=■.因為∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，又∠AEO=∠OFB=90°，所以△AEO∽△OFB. 所以■=■=■=2. 所以AE=2OE. 設點A－m，－■m2（m＞0），則OE=m，AE=■m2. 所以■m2=2m，解得m=4，即點A的橫坐標為-4.

（3）要判斷交點所在的直線是否通過某一定點，關鍵是觀察與求解直線所在解析式的特征.

設A－m，－■m2（m＞0），Bn，－■n2（n＞0），設直線AB的解析式為y=kx+b，則－mk+b=－■m2， ①nk+b=－■n2. ②

①×n+②×m得（m+n）b=－■（m2n+mn2）=－■mn（m+n），所以b=－■mn. 又易知△AEO∽△OFB，所以■=■，即■=■，解得mn=4. 所以b=－■×4=－2. 由此可知，不論k為何值，直線AB恒過點（0，-2）.