源于拓展與延伸的中考函數題

函數是初中代數的重要內容之一，是解決實際問題的重要工具，也是數形結合的重要體現，是每年中考的必考內容. 這一部分的試題主要以選擇題、填空題、簡單實際應用題、壓軸題（綜合題）等形式出現，占整個試卷分值的15%～20%.

根據對2011年課改區中考命題特點的分析，可以預測，2012年全國中考數學“函數”的命題熱點及趨勢如下：將在重點考查基礎知識、基本技能的基礎上，進一步強化同學們運用函數知識解決簡單實際問題和綜合應用的能力.

■

圖1是二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為直線x=1，若其與x軸的一交點為A（3，0），則由圖象可知，不等式ax2+bx+c<0的解集是______.

■

■ 由圖象得該二次函數的對稱軸是x=1，其圖象與x軸的一個交點為（3，0），所以圖象與x軸的另一個交點為（-1，0）. ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集. 利用圖象可知，當y<0時，-1＜x＜3，故答案為-1＜x＜3.

變式1 （2011山東威海）二次函數y=x2-2x-3的圖象如圖2所示，當y＜0時，自變量x的取值范圍是（ ）

A． －1＜x＜3 B． x＜－1

C． x＞3?搖 D． x＜－3或x＞3

■

■ 此題是以原型1的函數圖象為載體，對原型1中的部分條件進行適當地替換：由原型1中的已知對稱軸及與x軸一個交點的坐標轉換成變式1中已知函數解析式，解題思路仍沿襲原型1中的數形結合思想.

■ 當y＜0時，二次函數的圖象在x軸下方，此時－1＜x＜3. 故答案為A.

變式2 （2011山東日照）圖3是二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b>2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為－3和1；④a－2b+c>0． 其中正確的命題是______．

■

■ 此題仍與原型1一樣，以函數圖象為載體，并對原型1的結論進行拓展和延伸. 把原型1中的結論——對圖象單一分析（分析函數圖象在x軸以下部分x的取值范圍）轉化成變式2中對圖象的多角度分析（分析a，b，c的符號，圖象經過的已知點，對稱軸位置及圖象與x軸的交點）.

■ ①由圖象可知二次函數的圖象過（1，0），所以a+b+c=0. 故①正確. ②由圖象可知二次函數圖象的對稱軸為x＝-1，因此由－■=－1可推出b=2a. 故②錯誤.③根據圖象關于對稱軸x＝-1對稱和過（1，0），得出圖象與x軸的另一個交點是（-3，0）. 故③正確. ④由圖象可知二次函數的圖象開口向上，故a>0. 所以b=2a>0. 所以a－2b+c=a+b+c－3b=－3b＜0. 故④錯誤. 所以答案為①③.

■

2011年，在國家央行加息的壓力下，某公司決定研制一種新型節能產品并加以銷售，現準備在一線城市和二線城市兩個不同地方按不同銷售方案進行銷售，以便開拓市場． 若只在一線城市銷售，銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數關系式為y=－■x+150，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費62500元，設月利潤為 W■（元）． 若只在二線城市銷售，銷售價格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為a元/件（a為常數，10≤a≤40），當月銷量為x（件）時，每月還需繳納■x2元的附加費，設月利潤為 W■（元）．

（1）當x=1000時，y=_____?搖元/件，W■=?搖_____元.

（2）分別求出 W■，W■與x間的函數關系式（不必寫x的取值范圍）.

（3）當x為何值時，在一線城市銷售的月利潤最大？若在二線城市銷售，月利潤的最大值與在一線城市銷售月利潤的最大值相同，求a的值.

（4）如果某月要將5 000件產品全部銷售完，請你通過分析，幫公司決策，選擇在二線城市還是在一線城市銷售才能使所獲月利潤較大？

■ （1）當x=1000時，y=140，W■=－■x+150-20x-62500=120×1000-62500=57500.

（2）依題意，得W■=x（y-20）-62500=－■x2+130x-62500，W■=（150-a）x－■x2.

（3）當x=－■=6500時，W■最大. 由題意得，■=■，解得a■=30，a■=270（舍去），所以a=30.

（4）當x=5000時，W■=337500，W■=-5000a+500000． 若W■＜W■，則a＜32.5；若W■=W■，則a=32.5；若W■＞W■，則a＞32.5． 所以，當10≤a＜32.5時，選擇在二線銷售；當a=32.5時，在一線和二線銷售都一樣；當32.5＜a≤40時，選擇在一線銷售．

變式1 （2011天津）某商品現在的售價為每件35元，每天可賣出50件．市場調查反映：如果調整價格，每降價1元，每天可多賣出2件． 請你幫助分析，當每件商品降價多少元時，可使每天的銷售額最大，最大銷售額是多少. 設每件商品降價x元，每天的銷售額為y元．

（1）請補充完整以下表格：

■

（2）由以上分析，用含x的式子表示y，并求出問題的解.

■ 此題以原型2中的商品銷售情景為背景，并把原型1中的部分條件和結論改變. 如把原型1中直接已知的一次函數關系的形式y=－■x+150替換成“每降價1元，每天可多賣出2件”的規律形式. 規律中蘊涵銷售量與售價之間的一次函數關系.

■ （1）

■

（2）根據題意，每天的銷售額為y=（35－x）（50+2x）（0

變式2 （2011四川南充）某工廠在生產過程中要消耗大量電能，消耗每千度電產生利潤與電價是一次函數關系，經過測算，工廠產生利潤y（元/千度）與電價x（元/千度）的函數圖象如圖4所示.

（1）當電價為600元/千度時，工廠消耗每千度電產生的利潤是多少？

（2）為了實現節能減排目標，有關部門規定，該廠電價x（元/千度）與每天用電量m（千度）的函數關系為x=10m+500，且該工廠每天用電量不超過60千度，為了獲得最大利潤，工廠每天應安排使用多少度電？工廠每天消耗電產生利潤最大是多少元？

■

■ 此題的第（1）問變原型2中的直接給出銷售價格y（元/件）與月銷量x（件）的函數關系式為通過函數圖象求出利潤y（元/千度）與電價x（元/千度）的函數關系式.

■ （1）設工廠產生利潤y（元/千度）與電價x（元/千度）的函數解析式為y=kx+b. 因為該函數圖象過點（0，300），（500，200），所以500k+b=200，b=300， 解得k=－■，b=300. 所以y=-■x+300（x≥0）. 當電價x=600元/千度時，該工廠消耗每千度電所產生的利潤y=－■×600+300=180元/千度.

（2）設工廠每天消耗電產生的利潤為w元，由題意得w=my=m－■x+300=m－■（10m+500）+300= -2（m-50）2+5000.

由題意知m≤60，所以當m=50時，w■=5000. 所以當工廠每天消耗50千度電時，工廠每天消耗電產生的利潤最大，且為5000元.