源于拓展與延伸的中考幾何題

近幾年來，全國各地中考數學命題的趨勢之一是尊重教材，遵照課標，比例占70%的基本題是由課本上的例題、習題或者中考模擬題改造而來的，即使是要求較高的“壓軸題”的解題思路及解法也能從課本或者模擬題中找到原型．

中考命題專家通過變換課本原題或者模擬題的視角、解題策略編成的中考題，背景公平，可讓同學們處于較為平和、熟悉的考試環境，而且解題方法記憶猶新、觸類旁通，可增強同學們的自信心． 另外，這也有利于改變課堂教學題海戰術和課后大運動量重復訓練的傾向，轉為注重提高同學們的數學素養．

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在一塊如圖1所示的三角形余料上裁剪下一個正方形，如果△ABC為直角三角形，且∠ACB=90°，AC=4，BC=3，正方形的四個頂點D，E，F，G分別在三角形的三條邊上，求正方形的邊長．

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■ 作CH⊥AB于點H，交GF于點M，設GD=GF=x，因為四邊形DEFG為正方形，所以CM⊥GF. 由勾股定理可得AB=5，根據三角形的面積不變性，可求得CH=■，因為GF ∥AB，所以∠CGF=∠A ，∠CFG=∠B. 所以△ABC∽△GFC. 所以■=■，即■=■，解得x=■. 所以正方形的邊長為■.

變式1 （2011山西）如圖2，在△ABC中，AB=AC，點D，E分別是邊AB，AC的中點，點G，F在BC邊上，四邊形DEFG是正方形，若DE=2 cm，則AC的長為（ ）

A. 3■cm ?搖?搖?搖 B. 4 cm

C. 2■cm?搖?搖?搖?搖 ?搖D. 2■cm

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■ 本題是原型1的簡單變形，要根據等腰三角形內接正方形的邊長求出等腰三角形的邊長，需運用三角形的中位線性質以及等腰三角形的“三線合一”性質．

■ 過點A作AM⊥BC于點M，由題意知DE是等腰三角形ABC的中位線，所以DE∥BC，DE=■BC. 因為DE=2 cm，所以BC=4 cm．又AB=AC，AM⊥BC，所以MC=■BC=2 cm. 因為點E是邊AC的中點，EF∥AM，所以FC=1 cm． 在△EFC中，因為正方形DEFG的邊長是2 cm，所以根據勾股定理得EC=■cm，所以AC=2■ cm，故選D．

變式2 （2011貴州遵義）如圖3，在Rt△ABC中，∠C=90°，放置邊長分別為3，4，x的三個正方形，則x為（ ）

A． 5 B． 6

C． 7 D． 12

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■ 本題也是原型1的直接變形，要運用相似三角形的判定、性質，以及正方形的性質進行解題．由于該圖中出現三個正方形和一些直角三角形，所以很容易發現里面所有的直角三角形都是相似的．

■ 易得△DEF∽△GHI，所以■=■，即■=■，解得x=7或x=0（舍去）． 故答案為C.

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已知：如圖4，AB是半圓O的直徑，OD是半徑，BM切半圓于點B，OC與弦AD平行，且交BM于點C． 求證：CD是半圓O的切線.

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■ 因為OC∥AD，所以∠DOC=∠ADO，∠DAO=∠BOC. 而OD=OA，∠ADO=∠DAO，所以∠DOC=∠BOC． 又因為OD=OB，OC是公共邊，所以△ODC≌△OBC. 所以∠ODC=∠OBC. 因為BM切半圓于點B，所以∠OBC=90°. 所以∠ODC=90°. 所以CD是半圓O的切線.

變式1 （2009浙江義烏）如圖5，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連結OC交⊙O于點E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點G．

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（1）求證：點E是■的中點.

（2）求證：CD是⊙O的切線.

（3）若sin∠BAD=■，⊙O的半徑為5，求DF的長．

■ 本題是原型2的直接變式，圖形上添加了一條弦DF．

問題（1）中可根據AD∥OC得∠A=∠COB，從而判定■=■.

問題（2）可連結OD，只要證明∠CDO=90°即可.

問題（3）可在△ADG中用勾股定理求解．

■ （1）連結OD，因為AD∥OC，所以∠A=∠COB. 因為∠A=■·∠BOD，所以∠BOC=■∠BOD. 所以∠DOC=∠BOC. 所以■=■.

（2）由（1）知∠DOE=∠BOE，因為CO=CO，OD=OB，所以△COD≌△COB. 所以∠CDO=∠B. 又因為BC⊥AB，所以∠CDO=∠B=90°. 所以CD是⊙O的切線.

（3）在△ADG中，因為sinA=■=■，設DG=4x，則AD=5x，AG=3x. 又因為⊙O的半徑為5，所以OG=5－3x. 因為OD2=DG2＋OG2，所以52=（4x）2＋（5－3x）2，解得x1=■，x2=0（舍去）. 所以DF=2DG=8×■=■．

變式2 （2011湖南湘潭）已知：AB是⊙O的直徑，AB=8，點C在⊙O的半徑OA上運動，PC⊥AB，垂足為C，PC=5，PT為⊙O的切線，切點為T．

（1）如圖6，當點C運動到點O時，求PT的長.

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（2）如圖7，當點C運動到點A時，連結PO，BT，求證：PO∥BT.

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（3）如圖8，設PT2=y，AC=x，求y與x的函數關系式及y的最小值．

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■ 本題在原型2的基礎上添加了圖形的移動條件，增加了探究的難度． （1）中可連CT，得到Rt△PTO，進而利用勾股定理進行求解. （2）中可連結AT，先證得PA是⊙O的切線，再利用同一平面內垂直于同一條直線的兩條直線平行進行證明. （3）中可連結PO，OT，再利用勾股定理探究y與x之間的函數關系，并根據函數的性質求出y的最小值.

■ （1）連結OT，當點C運動到點O時，因為PT為⊙O的切線，所以OT⊥PT. 在Rt△PTO中，PT=■=■=■=3．

（2）連結AT，當點C運動到點A時，因為PC⊥AB，所以PA是⊙O的切線． 因為PT為⊙O的切線，所以PA=PT，PO平分∠APT.所以PO⊥AT． 因為AB是⊙O的直徑，所以∠ATB是直角，即BT⊥AT. 所以PO∥BT．

（3）連結OP，OT，因為AC=x，所以 CO=OA-AC=4-x． 在Rt△PCO中，PO2=PC2+CO2=52+（4－x）2，在Rt△POT中，PO2=PT2+OT2=PT2+42，所以PT2+42=52+（4－x）2，即y+42=52+（4－x）2． 所以y=9+（4－x）2=x2－8x+25．當x=4時，y的最小值為9． 所以y與x的函數關系式為y=x2－8x+25，y的最小值是9.