一個基本模型的變式及應(yīng)用

勾股定理，相信同學(xué)們都很熟悉，不過換個角度思考，相信同學(xué)們會受益良多. a2+b2=c2，從代數(shù)的角度上看，它就是a，b，c這三個數(shù)的平方之間的關(guān)系，但，如果能聯(lián)想到正方形的面積公式，則容易想到，a2，b2，c2不就可以分別表示三個正方形的面積嗎？而且由它們的等量關(guān)系可預(yù)測，這三個正方形肯定還具備某些特殊的位置關(guān)系. 從這個角度逐漸思考下去，你還會獲得一些有趣的結(jié)論.

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在北師大版數(shù)學(xué)教材第一章第一節(jié)探索勾股定理中，是通過測量和數(shù)格子的方法得到正方形的面積的，從而推出勾股定理. 而根據(jù)勾股定理，我們很容易知道在任意一個直角三角形中，以兩直角邊為邊的正方形的面積之和等于以斜邊為邊的正方形的面積，如圖1，即S1+S2=S3 . 這是因?yàn)閍2+b2=c2. 我們把這個圖形稱作應(yīng)用勾股定理求幾個圖形之間面積關(guān)系的一個基本模型.

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經(jīng)過仔細(xì)研究，該模型還可以有以下幾種變式：

■如圖2，當(dāng)以Rt△ABC三邊為直徑向外作半圓時，三個半圓面積S■，S■，S■之間有何關(guān)系？

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■ 如圖，S■=π■2， S■=π·■2，S3=π■2，由AC2+BC2=AB2得S1+S2=S3 .

■如圖3，當(dāng)以Rt△ABC三邊向外作等邊三角形時，三個等邊三角形的面積S■，S■，S■間有何關(guān)系？

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■ S■=■AC2，S■= ■BC2，S■=■AB2，由AC2+BC2=AB2得S■+S■=S■ .

■當(dāng)分別以Rt△ABC三邊為斜邊向外作等腰直角三角形時，三個等腰直角三角形的面積S■，S■，S■間有何關(guān)系？

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■ S■=■AC2，S■=■BC2，S■=■AB2， 由AC2+BC2=AB2得S■+S■=S■ .

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■在圖5所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7 cm，則正方形A，B，C，D的面積的和是______?搖cm2．

■ 根據(jù)基本模型易知答案為49.

■如圖6，分別以直角三角形的三邊為邊長向外作正方形，然后分別以三個正方形的中心為圓心，正方形邊長的一半為半徑作圓，記三個圓的面積分別為S■，S■，S■，則S1，S2，S3之間的關(guān)系是（ ）

A. S■+S■>S■ B. S■+S■=S■

C. S■+S■

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■ 根據(jù)基本模型易知S■+S■=S■，答案為B.

■如圖7，已知Rt△ABC的兩直角邊分別為6，8，分別以其三邊為直徑作半圓，求圖中陰影部分的面積．

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■ 根據(jù)以AC為直徑的半圓面積與以BC為直徑的半圓面積的和等于以AB為直徑的半圓面積，可知圖中陰影部分的面積就等于△ABC的面積，即24.

■如圖8，直線m上有三個面積分別為S■，S■，S■的正方形，則S■，S■，S■間有何關(guān)系？

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■ 解法1：考慮到基本圖形，容易想到將面積為S■的正方形移到如圖9所示的位置，因而只需證明△ABC≌△BDE，從而CB=DE. 所以S■+S■=S■ .

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解法2：思路同解法1，如圖10.

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■如圖11，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，分別以AB，DC，AD為邊向外作正方形，則三個正方形的面積S■，S■，S■ 間有何關(guān)系？

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■ 解法1：如圖12，過點(diǎn)A作AE∥DC交BC于點(diǎn)E，則四邊形AECD為平行四邊形. 所以AE=CD，AD=EC=BE. 因?yàn)椤鰽BE為直角三角形，所以AB2+BE2=AE2. 所以S■+S■=S■ .

解法2：如圖13，過點(diǎn)D作DE⊥BC交BC于點(diǎn)E，則四邊形ABED為矩形. 所以AB=DE，AD=BE=EC. 因?yàn)镈E⊥BC，所以△DCE為直角三角形. 所以CE2+DE2=CD2. 所以S■+S■=S■.

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■如圖14，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠BCD=90°，BC=2AD，則三個正方形的面積S■，S■，S■間有何關(guān)系？

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■ 過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，則四邊形ABED為平行四邊形. 所以AB=DE，AD=BE=EC. 因?yàn)椤螦BC+∠BCD=90°，所以∠DEC+∠ECD=90°. 所以△DCE為直角三角形. 所以DE2+CD2=CE2. 所以S■+S■=S■.

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從上面所有例題可以看出，無論題目的背景和問題如何變化，都有圖形上的共同特征：將幾個面積問題引導(dǎo)到一個直角三角形中，再由勾股定理來解決. 在平時學(xué)習(xí)中，只要善于總結(jié)，抓住一些問題的本質(zhì)，就能輕松解決一些看似復(fù)雜的問題，真正提高思維能力、解題能力.