涉及一元二次方程的幾何題

涉及一元二次方程的幾何題，其實(shí)就是將一元二次方程的知識(shí)與三角形、四邊形等簡(jiǎn)單幾何圖形的性質(zhì)相結(jié)合進(jìn)行考查. 解題時(shí)，同學(xué)們需要根據(jù)具體的情況來確定求解思路，求解時(shí)還需注意題中的隱含條件，如告知某三角形的兩邊長(zhǎng)是某一元二次方程的根時(shí)，這時(shí)我們可以獲得以下有用信息：此一元二次方程有根，且它的兩根都為正數(shù).

1. 直接求出方程的根，以顯化題設(shè)

■ （2009湖北襄樊）如圖1所示，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，AE=BE=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x－3=0的根，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（ ）

■

A． 4+2■

B． 12+6■

C． 2+2■

D． 2+2■或12+6■

■ 由x2+2x－3=0得x■=1，x■= －3（舍去），所以AE=BE=EC=1. 所以BC=2，AB=■. 所以平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為4+2■，故答案為A．

2. 應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系，揭示線段之間的關(guān)系，以顯化題設(shè)或結(jié)論

■?搖如圖2所示，已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，OA，OB的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2+（2m+1）x+m2－4=0的兩根，求m的值．

■

■ 由根與系數(shù)的關(guān)系可得OA+OB=－（2m+1），OA·OB=m2－4，又由勾股定理得OA2+OB2=AB2=25，所以（OA+OB）2－2OA·OB=25. 所以（2m+1）2－2（m2－4）=25. 所以m2+2m－8=0. 所以m1= －4，m2=2. 又因?yàn)镺A+OB=－（2m+1）>0，所以m=-4.

3． 應(yīng)用根的判別式，求方程的根

■?搖已知：在△ABC中，AB，AC的長(zhǎng)為方程x2－6x+（m2+4m+13）=0的兩根，證明△ABC是等腰三角形并求AB，AC之長(zhǎng)．

■ 表面上看，此方程未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù)，似乎不能求出方程的根，注意到待證結(jié)論，啟示我們應(yīng)用根的判別式來證明．

因?yàn)锳B，AC的長(zhǎng)為方程x2－6x+（m2+4m+13）=0的兩正根，所以Δ=36－4（m2+4m+13）≥0. 所以（m+2）2≤0. 又（m+2）2≥0，所以（m+2）2=0. 所以Δ=0，方程有兩相等的實(shí)根. 所以AB=AC. 又AB+AC=6，所以AB=AC=3．

4． 巧構(gòu)輔助方程，以顯化題設(shè)

■ 已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足b+c=8，bc=a2－12a+52，試求△ABC的周長(zhǎng)．

■ 由題設(shè)及根與系數(shù)的關(guān)系可知b，c為方程x2－8x+a2－12a+52=0的兩實(shí)根，所以Δ=64－4（a2－12a+52）≥0. 所以（a－6）2≤0. 又（a－6）2≥0，所以a－6=0. 所以a+b+c=6+8=14.

5． 綜合利用相關(guān)知識(shí)求解

■?搖在等腰三角形ABC中，BC=8，AB，AC的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程x2－10x+m=0的兩根，則m=______．

■ （1）當(dāng)AB=AC時(shí)，方程有相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ=102－4m=0. 所以m=25.

（2）當(dāng)AB≠AC時(shí)，則BC=AB或BC=AC. 所以8為此方程的根. 由方程根的定義得64－80+m=0，所以m=16.

由上可知，m的值為16或25．