小小紙帶 別樣精彩

普通的紙帶，對(duì)同學(xué)們來說很不起眼，然而紙帶實(shí)質(zhì)是一組平行線，它具備平行線的相關(guān)性質(zhì). 最近幾年，試題中出現(xiàn)了一部分這類試題，即以紙帶的打結(jié)、重疊、折疊、包貼等操作為背景的試題，這些題不但能鍛煉同學(xué)們的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰Γ夷苷{(diào)動(dòng)同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，增強(qiáng)同學(xué)們的探究能力.

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■ 將一張等寬的紙帶按圖1的方式打一個(gè)結(jié)，然后拉緊、壓平，可以得到一個(gè)______.

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■ 本題由于是填空題，效率最高的辦法當(dāng)然是同學(xué)們親自按照要求動(dòng)手操作，操作后可得到如圖2的圖形，所以同學(xué)們可以很直觀地看出得到了正五邊形.

■ 嚴(yán)格來說，本題需要進(jìn)行證明，但不是所有同學(xué)都能做到這一點(diǎn)，況且本題是填空題，目的也是降低難度，使得大多數(shù)同學(xué)能實(shí)際操作. 同學(xué)們?nèi)绻皇窃陬^腦里憑空想象，而不去實(shí)踐操作，得到正確答案會(huì)比較難.

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■ 如圖3，兩張等寬的紙帶交叉重疊在一起，重疊部分四邊形ABCD是什么圖形？請(qǐng)說明理由.

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■ 對(duì)于本題，同學(xué)們較容易得到平行四邊形，但是否是特殊的平行四邊形，需要仔細(xì)思考. 由等積法可得出鄰邊相等，所以四邊形ABCD是菱形. 如圖，作CD，BC邊上的高AE，AF，由題意得AB∥CD，AD∥BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形. 因?yàn)閮杉垪l等寬，所以AE=AF. 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚拿娣e=AE×CD=BC×AF，所以CD=BC. 所以平行四邊形ABCD為菱形．

■ 本題不僅需要思維的直觀性，更需要思維的深刻性.

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紙帶的折疊是紙帶問題的常見形式，折疊涉及軸對(duì)稱等相關(guān)知識(shí). 按照折疊次數(shù)又可以分成以下幾類：

1. 折疊一次

■ 如圖4，一條兩邊平行的紙帶寬度為8 cm，現(xiàn)將紙帶折起壓平（兩條相對(duì)的長邊應(yīng)相交），那么重疊部分△ABC面積的最小值是______.

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■ 圖4是折疊后的結(jié)果，為了便于分析，常用的方法是把原始圖形補(bǔ)充完整，進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)形后見圖5. 由于紙帶的兩直線平行，所以△ABC的高不變，且∠ACB=∠DBC，即當(dāng)三角形的底邊AC最短時(shí)，重疊部分三角形的面積最小. 由折疊知∠ABC=∠DBC，所以∠ACB=∠ABC，即AC=AB. 所以AB最短時(shí)重疊部分三角形的面積最小. 顯然當(dāng)AB⊥BD時(shí)（如圖6），AB最短，由AC=AB=8 cm，推出S■=■×8×8=32 cm2.

■ 本題判斷出當(dāng)AC最短以及什么情況下AC最短時(shí)，重疊三角形的面積最小是解題的關(guān)鍵，當(dāng)然，其中的補(bǔ)形起到了很大的作用.

2. 折疊兩次

■ 圖7是長方形紙帶，∠DEF=20°，將紙帶沿EF折疊成圖8，再沿GF折疊成圖9，則圖9中的∠CFE的度數(shù)是______.

■ 在圖8中，延長AE到點(diǎn)H（圖10），由第一次折疊得∠GEH=2∠HEF=40°，因?yàn)镋H∥GF，所以∠HEF=∠EFG=20°，∠FGD=∠HEG=40°. 在圖9中，由第二次折疊得∠FGD=40°，因?yàn)镕C∥GD，所以∠DGF+∠GFC=180°. 所以∠GFC=180°-40°=140°. 所以∠CFE=∠GFC-∠GFE=140°-20°=120°．

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■ 本題由于連續(xù)折疊兩次，所以可采用實(shí)踐操作和補(bǔ)形相結(jié)合的方法. 從動(dòng)態(tài)中找到不變量是解題的關(guān)鍵.

3. 折疊多次

■ 生活中，有人喜歡把傳送的紙條折成■的形狀，折疊過程是這樣的（陰影部分表示紙條反面）：

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如果由信紙折成的長方形紙帶（圖11）長為26 cm，寬為x cm，分別回答下列問題：

（1）為了保證能折成圖14的形狀（即紙條兩端均超出點(diǎn)P），試求x的取值范圍.

（2）如果不但要折成圖14的形狀，而且為了美觀，希望紙條兩端超出點(diǎn)P的長度相等，即最終圖形是軸對(duì)稱圖形，試求在開始折疊時(shí)起點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離（用x表示）．

■ （1）按圖中方式折疊后可得到除去兩端后紙條的長度為5x，由于這個(gè)長度應(yīng)大于0，小于紙條總長度，即0＜5x＜26，所以0＜x＜■．?搖

（2）由題意得AM=AP+x，因?yàn)閳D14為軸對(duì)稱圖形，所以AM=■+x=13-■，即點(diǎn)M與點(diǎn)A的距離是13-■cm.

■ 本題由于折疊次數(shù)太多，應(yīng)該動(dòng)手實(shí)踐，這樣比較形象、直觀，能方便地得出除去兩端后紙條的長度和AM的長度，僅憑想象是很難得到正確結(jié)果的.

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■ 圖15是一個(gè)三棱柱包裝盒，它的底面是邊長為10 cm的正三角形，三個(gè)側(cè)面都是矩形，現(xiàn)將寬為15 cm的彩色矩形紙帶AMCN裁剪成一個(gè)平行四邊形ABCD（如圖16），然后用這條平行四邊形紙帶按如圖17的方式把這個(gè)三棱柱包裝盒的側(cè)面進(jìn)行包貼（要求包貼時(shí)沒有重疊部分），紙帶在側(cè)面纏繞三圈，正好將這個(gè)三棱柱包裝盒的側(cè)面全部包貼滿．

（1）請(qǐng)?jiān)趫D15中計(jì)算裁剪的角度∠BAD.

（2）計(jì)算按圖17方式包貼這個(gè)三棱柱包裝盒所需的矩形紙帶的長度．

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■ （1）由圖16的包貼方法知，AB的長等于三棱柱的底邊周長，又底面是邊長為10 cm的正三角形，所以AB=30 cm. 因?yàn)榧垘У膶挒?5 cm，所以sin∠BAD=sin∠ABM=■=■=■. 所以∠DAB=30° .

（2）由三棱柱側(cè)面展開圖求出BC和MB的長，即是所需的矩形紙帶的長度. 在圖17中將三棱柱沿過點(diǎn)A的側(cè)棱剪開，得到如圖18的側(cè)面展開圖． 將圖18的△ABE向左平移30 cm，△CDF向右平移30 cm，拼成如圖19中的平行四邊形ABCD，此平行四邊形即為圖16中的平行四邊形ABCD． 在圖19中，由題意得BC=BF+CF=2CF=2×■=40■，所以所需的矩形紙帶的長度為MB+BC=30×cos30°+40■=55■cm.

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■ 本題涉及空間圖形和平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，利用立體圖形的側(cè)面展開圖進(jìn)行求解是基礎(chǔ)，找出圖中所蘊(yùn)涵的等量關(guān)系和進(jìn)行圖形適當(dāng)平移是解題關(guān)鍵. 它是一道不錯(cuò)的壓軸題，難度較大.

上述幾個(gè)例題以同學(xué)們喜聞樂見的紙帶為背景，融趣味性、知識(shí)性和實(shí)踐性于一體，展示了數(shù)學(xué)的豐富內(nèi)涵. 通過讓同學(xué)們動(dòng)手、動(dòng)腦、補(bǔ)形等，尋找其中的變量與不變量，親身經(jīng)歷知識(shí)的形成與發(fā)展過程，既考查了同學(xué)們的實(shí)踐能力，又考查了同學(xué)們的思維能力，引導(dǎo)同學(xué)們將實(shí)踐變?yōu)檎嬷瑢⒏行陨仙秊槔硇裕雇瑢W(xué)們真正感受到數(shù)學(xué)的樂趣.