初中數學“概率”教學解析

■

1. 一步實驗

■ 一只螞蟻在如圖1所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都會隨機地選擇一條路徑，則它獲得食物的概率是（ ）

A． ■ B． ■ C． ■ D． ■

■ B.

■ 一個不透明的盒子里裝有10個紅球和5個藍球，它們除顏色不同外，其余均相同，從中隨機摸出一個球，為藍球的概率是（ ）

A. ■ B. ■ C. ■ D. ■

■ C.

這類問題比較簡單，因為它的每一個結果只包含一個元素，同學們很容易就能分清楚有多少個等可能的結果，從而求出所要求的概率.

2. 兩步實驗

■ 如圖2，A，B兩個轉盤分別被平均分成三個、四個扇形，分別轉動A盤、B盤各一次． 轉動過程中，指針保持不動，如果指針恰好指在分割線上，則重轉一次，直到指針指向一個數字所在的區域為止．請用列表或畫樹狀圖的方法，求兩個轉盤停止后指針所指區域內的數字之和小于6的概率．

■

■ 畫樹狀圖如下：

■

列表如下：

■

由樹狀圖或者列表可知，總共有12種等可能結果，其中和小于6的有6種，所以P■=■=■.

■ 上海世博會自開幕以來，前往參觀的人絡繹不絕. 柳柳于星期六去參觀，她決定上午在三個熱門館：中國館（A），阿聯酋館（B），英國館（C）中選擇一個參觀，下午在兩個熱門館：瑞士館（D）、非洲聯合館（E）中選擇一個參觀. 請你用畫樹狀圖或列表的方法，求出柳柳這一天選中中國館（A）和非洲聯合館（E）參觀的概率（用字母代替館名）.

■ 樹狀圖和列表如下：

■

由上可知，共有6種等可能情況，其中選中A和E的情況只有1種，所以，選中中國館（A）和非洲聯合館（E）參觀的概率P=■.

■ 某班畢業聯歡會設計了即興表演節目的摸球游戲，游戲采用一個不透明的盒子，里面裝有五個分別標有數字1、2、3、4、5的乒乓球，這些乒乓球除數字外，其他完全相同，游戲規則是：參加聯歡會的50名同學，每人將盒子里的五個乒乓球搖勻后，閉上眼睛從中隨機地一次摸出兩個球（每位同學必須且只能摸一次）. 若兩個球上的數字之和為偶數，就給大家即興表演一個節目；否則，下一個同學接著做摸球游戲，依次進行.

（1）用列表法或畫樹狀圖法求參加聯歡會的某位同學即興表演節目的概率.

（2）估計本次聯歡會上有多少名同學即興表演節目.

■ （1）游戲所有可能出現的結果如下表：

■

從上表可以看出，一次游戲共有20種等可能結果，其中兩數和為偶數的共有8種. 將參加聯歡會的某位同學即興表演節目記為事件A，則P（A）=P（兩數和為偶數）=■=■.

（2）因為50×■=20，所以估計本次聯歡會上有20名同學即興表演節目.

■ “六一”兒童節前夕，我市某縣“關心下一代工作委員會”決定對品學兼優的“留守兒童”進行表彰，某校八年級8個班中只能選兩個班級參加這項活動，且八（1）班必須參加，另外再從其他班級中選一個班參加活動． 八（5）班有學生建議采用如下的方法：將一個帶著指針的圓形轉盤分成面積相等的4個扇形，并在每個扇形上分別標上1，2，3，4四個數字，轉動轉盤兩次，將兩次指針所指的數字相加，（當指針指在某一條等分線上時視為無效，重新轉動）和為幾就選哪個班參加，你認為這種方法公平嗎？請說明理由．

■ 方法不公平，用表格說明：

■

由表格可知八（2）班被選中的概率為■，八（3）班被選中的概率為■=■，八（4）班被選中的概率為■，八（5）班被選中的概率為■=■，八（6）班被選中的概率為■，八（7）班被選中的概率為■=■，八（8）班被選中的概率為■，所以這種方法不公平．

這種兩步實驗的題目，其每個結果都是由兩個元素組成的，所以同學們只要學會了畫樹狀圖或列表法都可以輕易解決，但一定要把有放回和無放回分清楚.

3. 三步或多步實驗

■ 某初級中學準備隨機選出七、八、九三個年級各1名同學擔任領操員．現已知這三個年級分別選送一男、一女共6名同學為備選人.

（1）請你利用樹狀圖或表格列出所有可能的選法.

（2）求選出“兩男一女”三名領操員的概率．

■ （1）用樹狀圖列出所有可能結果：

■

（2）由上圖可知，共有8種結果，且每種結果都是等可能的，其中“兩男一女”的結果有3種，所以P（兩男一女）=■．

■ A，B，C，D四名羽毛球運動員被隨機分為兩個小組，其中每組兩人，求A和B被分在同一組的概率.

■ 把兩個組分別看做甲組和乙組，則可列樹狀圖如下：

■

由圖可知共有6種等可能的結果，其中A和B被分在同一組的結果有2種，所以P（A，B在同一組）=■.（也可以用枚舉法解這道題）

■

1. 枚舉法

■ 端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗，今年某商場銷售甲廠家的高檔、中檔、低檔三個品種及乙廠家的精裝、簡裝兩個品種的盒裝粽子． 現需要在甲、乙兩個廠家中各選購一個品種． 如果各種選購方案被選中的可能性相同，那么甲廠家的高檔粽子被選中的概率是多少？

■ 共有6種選購方案：（高，精），（高，簡），（中，精），（中，簡），（低，精），（低，簡）． 因為甲被選中高檔粽子有2種方案，即（高，精）和（高，簡），所以甲家高檔粽子被選中的概率是■=■.

枚舉法，理論上適用于每一種概率題，它的優點是易入門、易理解，但缺點是易遺漏或重復.

2. 列表法

列表法適用于兩步實驗的題型，它的每個結果都由兩個元素組成，正好可以用表格當中的橫排和豎列展現出來，呈現出來的結果非常清楚，不過，使用時一定要分清楚有放回和無放回. 缺點是再多一步試驗，列表就無法解決了.

3. 樹狀圖法

樹狀圖法適用于兩步及兩步以上的實驗，也較為簡單易行，缺點為當結果較多時會感覺比較雜亂，從而會數錯，導致錯誤.

所以，對于不同的概率題，應該選擇與它相適宜的方法，這樣的話，解題的正確率就會高很多.