數(shù)學思想在勾股定理中的運用

數(shù)學思想是溝通數(shù)學問題與數(shù)學知識、數(shù)學方法之間的聯(lián)系，是產(chǎn)生問題思路的想法. 數(shù)學學習中，要提高分析問題和解決問題的能力，形成用數(shù)學的意識解決問題，這些都離不開數(shù)學思想. 數(shù)學思想是數(shù)學的生命與靈魂，是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁.

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分類思想是一種重要的數(shù)學思想，是針對數(shù)學對象的共性與差異性將其分為不同種類，從而克服思維的片面性，有效地反應思維的全面性與嚴謹性的思想方法. 分類要做到不重不漏，從而獲得完整的解答.

■ 如果一個直角三角形的兩條邊長分別是3 cm和4 cm，那么這個三角形的周長是多少？（精確到0.1cm）

■ 這是華東師大版初中二年級（八年級）（上）（2010年7月第八次印）P51練習中的第2題. 本題只知道3 cm與4 cm是直角三角形的兩邊長，并沒有說明它們都是直角邊，因此長度為4 cm的邊可以是直角邊，也可以是斜邊，故需分類討論.

■ （1）當4 cm為直角邊的長時，第三邊的長為■=5 cm，此時這個三角形的周長為3＋4＋5=12 cm.

（2）當4 cm為斜邊的長時，第三邊的長為■=■cm，此時這個三角形的周長為3+4+■≈9.6 cm.

綜上可知，這個直角三角形的周長為12 cm或約為9.6 cm.

■ （2010浙江東陽）已知等腰三角形的一個內(nèi)角為40°，則這個等腰三角形的頂角為（ ）

A. 40° B. 40°或100°

C. 100° ?搖 D. 70°或50°

■ 此內(nèi)角是等腰三角形的頂角還是底角，不確定，故需要分類討論. 當40°為底角時，根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°容易知道頂角為100°；當40°為頂角時，顯然頂角為40°. 綜上可知，該等腰三角形的頂角為40°或100°.

■ B.

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方程思想是從分析問題的數(shù)量關系入手，適當設定未知數(shù)，把已知量與未知量之間的數(shù)量關系轉(zhuǎn)化為方程（組）模型，從而使問題得到解決的思維方法.

■ 如圖1，在矩形ABCD中，AB=5 cm，在邊CD上適當選定一點E，沿直線AE把△ADE折疊，使點D恰好落在邊BC上一點F處，且△ABF的面積是30 cm2，求此時DE的長.

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■ 幾何問題常常可轉(zhuǎn)化為方程問題進行解決，本題可根據(jù)勾股定理列出方程，通過解方程得到答案.

■ 設DE=x cm，則CE=（5-x）cm，EF=x cm. 因為四邊形ABCD是矩形，所以∠B=90°，BC=AD. 所以S△ABF =■AB·BF. 所以■BF·AB=30. 所以BF=12 cm. 由勾股定理得AF=■=13 cm，所以AD=AF=13 cm. 所以BC=13 cm. 所以CF=BC-BF=1 cm. 由勾股定理得12+（5－x）2=x2，解得x=2.6，所以DE=2.6 cm.

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將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹、歸納轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡單的問題，這就是轉(zhuǎn)化思想.

■ 如圖2，一圓柱體的底面周長為20 cm，高AB為4 cm，BC是上底面的直徑，一只螞蟻從點A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點C，試求出爬行的最短路程（精確到0.01 cm）.

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■ 螞蟻實際上是在圓柱的半個側(cè)面內(nèi)爬行，如果將這半個側(cè)面展開，可得到矩形ABCD，根據(jù)“兩點之間，線段最短”，所求的最短路程就是側(cè)面展開圖矩形對角線AC之長.

■ 將圓柱半個側(cè)面展開，如圖3，在Rt△ABC中，BC=底面圓周長的一半=10 cm，所以AC=■=■=■≈10.77 cm. 所以最短路程約為10.77 cm.

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數(shù)形結合思想是把代數(shù)、幾何知識相互轉(zhuǎn)化，相互利用，即分析其代數(shù)定義，又揭示其幾何定義，使數(shù)量關系和圖形巧妙和諧地結合在一起，并充分利用這種結合，尋求解題思路，使問題得到解決的一種解題思想.

■?搖已知a，b，c，d均為正數(shù)，且a2＋b2=c2，a2=c■，求證：ab=cd.

■ 由條件可作出如圖4所示的直角邊的長為a，b，斜邊長為c的直角三角形，欲證ab=cd，顯然只需證d等于斜邊上的高即可.

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■ 由題意可得Rt△ABC，使∠ACB=90°，AC=b，BC=a，由a2+b2=c2知AB=c，作CD⊥AB于點D，因為CD⊥AB，∠ACB=90°，所以∠ADC=∠ACB=90°. 又因為∠B=∠B，所以△ACB∽△CDB. 所以■=■. 所以BC2=BD·AB，即BD·c=a2. 又因為a2=c·■，所以BD=■. 所以CD2=BC2－BD2=a2－（a2－d2）=d2. 又CD>0， 所以CD=d. 因為S■=■AB·CD=■AC·BC，所以cd=ab.

■ 已知a，b均為小于1的正數(shù)，求證：

■+■+■+■≥2■.

■ 本題可利用有關的幾何圖形及幾何知識來使其直觀化、明了化，體現(xiàn)以形助數(shù)，數(shù)形結合.

■ 如圖5，構造邊長為1的正方形ABCD，E，G分別在BC，CD上，CE=a，CG=b，EF∥CD交AD于點F，GH∥BC交AB于點H，HG交FE于點M，則有BE=1-a，GD=1-b，MG=a，ME=b，AF=1-a，F(xiàn)M=1-b，AC=BD=■.

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（1）當a，b都不等于■時，由勾股定理得AM=■=■，CM=■=■，BM=■=■，DM=■=■.

由三角形三邊關系得AM+CM>AC，BM+MD>BD，所以AM＋CM＋BM＋MD>AC＋BD=2■.

（2）當a=b=■時，AM+CM+BM+MD=4×■=2■.

綜上可知，■+■+■+■≥2■.

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在△ACB中，若■AB=c，AC=b， BC=a，∠C=90°■，則■有a2＋b2=c2. 又因為（a＋b）2=a2＋b2＋2ab，所以（a＋b）2=c2＋2ab（※）. 若把a＋b，c，ab視為三個獨立的整體，則這三個量中，只要知道其中兩個量，就能求出第三個量，這就是整體思想的應用.

將要解決的問題作為一個整體，通過研究問題的整體形式、整體結構或作整體處理后，達到順利而又簡捷地解決問題的目的，這就是整體思想.

■ 在Rt△ABC中，∠C=90°，斜邊AB的長為c，c=10，兩直角邊的長分別為a，b，且a+b+c=24，求△ABC的面積.

■ S■=■ab，若單獨求a，b，則要解一個二元二次方程組，但把ab視為一個整體，利用公式（※），則能巧妙地求出S△ABC .

■ 因為a＋b＋c=24，c=10，所以a＋b=24－c=14.?搖所以（a＋b）2=196，a2＋b2＋2ab=196. 又因為a2＋b2=c2=100，所以2ab=196－（a2＋b2）=96. 所以ab=48. 所以S△ABC=■ab=24.