以“三角板”為背景的中考試題

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■ （貴州遵義）把一塊直尺與一塊三角板如圖1放置，若∠1=45°，則∠2的度數為（ ）

A. 115° ?搖B. 120°

C. 145°?搖 D. 135°

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■ 由三角形的內角和等于180°，即可求得∠3的度數，又由∠4是∠3的鄰補角，可求得∠4的度數，最后由兩直線平行，同位角相等，即可求得∠2的度數，故選D.

■中考鏈接

1. （湖北恩施）將一個直角三角板和一把直尺如圖2放置，如果∠α=43°，則∠β的度數是（ ）

A. 43° B. 47°

C. 30° D. 60°

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■ 此題實際上是例1中的圖形變式，類似例1的解法，即可得出答案為B.

2. （湖北黃石）將一個有45°角的三角板的直角頂點放在一張寬為3 cm的紙帶邊沿上，另一個頂點在紙帶的另一邊沿上，測得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖3，則三角板的最大邊的長為（ ）

A. 3 cm?搖 B. 6 cm

C. 3■cm?搖 D. 6■cm

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■ 由三角板的一邊與寬為3 cm的紙帶的一邊所在的直線成30°角可知45°角的三角板的直角邊為6 cm，則三角板最大邊的長為6■ cm，故選D.

以上三道題的特點是以同學們使用的三角板、直尺為素材，把關于平行線、垂線、角度的計算巧妙融合，問題設計回歸本源，操作性強. 試題入口起點低，面向全體同學，考查了特殊三角形的性質、數形結合思想的應用，以及從圖形中獲取信息的能力，符合同學們的生活常識和認知基礎，體現了數學與生活息息相關的基本理念.

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■ （山東棗莊）將一副三角板如圖4所示疊放在一起，若AB=14 cm，則陰影部分的面積是_______cm2.

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■ 由疊放圖易知，陰影部分是一個直角邊為7 cm的等腰直角三角形，故陰影部分的面積是24.5 cm2.

■中考鏈接

1. （山東東營）一副三角板，如圖5所示疊放在一起，則圖5中∠α的度數是（ ）

A. 75° B. 60°

C. 65° D. 55°

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■ 由三角形內角和定理可知∠α的度數是75°，故選A.

2. （山東威海）一副直角三角板如圖6放置，點C在FD的延長線上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，試求CD的長.

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■ 過點B作BM⊥FC，垂足為點M，由已知和特殊三角形的性質易得BC=10■，CM=15，MD=BM=5■，所以CD=CM－MD=15－5■.

3. （四川內江）如圖7，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，點D是AC的中點，將一塊銳角為45°的直角三角板如圖放置，使三角板斜邊的兩個端點分別與A，D重合，連結BE，EC. 試猜想線段BE和EC的數量及位置關系，并證明你的猜想.

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■ BE=EC，BE⊥EC. 理由如下：因為AC=2AB，點D是AC的中點，所以AB=AD=CD. 因為∠EAD=∠EDA=45°，所以∠EAB=EDC=135°. 因為EA=ED，所以△EAB≌△EDC. 所以∠AEB=∠DEC，BE=EC. 所以∠BEC=AED=90°. 所以BE⊥EC.

此組試題將三角形的面積，直角三角形的內角、邊，特殊角的三角函數值，以及全等三角形等知識，通過兩個三角板的位置疊放，構造在了同學們熟悉的特殊圖形之中. 問題情境公平，再現了同學們平時的數學學習活動，增強了考試的實用性和有效性.

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■ （江蘇揚州）如圖8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉n°后得到△EDC，此時點D在AB邊上，斜邊DE交AC邊于點F，則n的大小和圖中陰影部分的面積分別為（ ）

A. 30，2?搖 B. 60，2

C. 60，■?搖 D. 60，■

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■ 在Rt△ABC中，因為∠ACB=90°，∠A=30°，CD=BC，所以∠CDB=∠B=90°－30°=60°. 所以n°=∠DCB=60°. 易得Rt△ABC∽Rt△CDF，S■=■BC·AC=2■，由■=■=■可求得S■=■2·2■=■. 故選C.

■中考鏈接

1. （山東濱州）如圖9，在△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，AC=4 cm，將△ABC繞頂點C按順時針方向旋轉至△A′B′C的位置，且A，C，B′三點在同一條直線上，則點A所經過的最短路線的長為（ ）

A. 4■cm?搖 ?搖 B. 8 cm

C. ■π cm?搖 D. ■π cm

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■ 解題時只要利用手中的三角板親自動手操作就能搞清楚點A的運動軌跡是以點C為圓心、CA長為半徑的一段弧線，運用弧長公式計算易求得點A所經過的最短路線的長為■π cm，故選D.

2. （山東聊城）將兩塊大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC=∠B′A′C′=30°）按圖10的方式放置，固定三角板A′B′C′，然后將三角板ABC繞直角頂點C按順時針方向旋轉（旋轉角小于90°）至圖11所示的位置. AB與A′C交于點E，AC與A′B′交于點F，AB與A′B′交于點O.

（1）求證：△BCE≌△B′CF.

（2）當旋轉角等于30°時，AB與A′B′垂直嗎？請說明理由.

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■ （1）如圖11，在△BCE和△B′CF中，由∠B=∠B′=60°，BC=B′C，∠BCE=90°－∠A′CA=∠B′CF，可得△BCE≌△B′CF.

（2）當∠A′CA=30°時，AB⊥A′B′. 理由如下：因為∠A′CA=30°，所以∠B′CF=90°－30°=60°. 易得∠B′FC=60°，∠AFO=∠B′FC=60°，所以∠AOF=90°. 所以AB⊥A′B′.

3. （內蒙古包頭）在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠ABC=90°，一塊等腰直角三角板的直角頂點放在斜邊AC的中點O處，將三角板繞點O旋轉，三角板的兩直角邊分別交AB，BC或其延長線于點E，F，圖12和圖13是旋轉三角板所得圖形的兩種情況.

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（1）三角板繞點O旋轉，△COF能否成為等腰直角三角形？若能，指出所有情況（即給出△COF是等腰直角三角形時BF的長）；若不能，請說明理由．

（2）三角板繞點O旋轉，線段OE和OF之間有什么數量關系？用圖12或圖13加以證明.

（3）若將三角板的直角頂點放在斜邊上的點P處（如圖14），當■=■時，PE和PF有怎樣的數量關系？證明你發現的結論.

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■ （1）△COF能成為等腰直角三角形. 包括：當點F在BC中點時，CF=OF，BF=■；當點B與點F重合時，OF=OC，BF=0.

（2）如圖12，連結OB，則對于△OEB和△OFC，有OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°. 因為∠EOB+∠BOF=∠COF+∠BOF=90°，所以∠EOB=∠COF. 所以△OEB≌△OFC. 所以OE=OF. （圖13的證明方法與此類似）

（3）如圖14，過點P作PM⊥AB，垂足為點M，PN⊥BC，垂足為點N. 因為∠EPM+∠EPN=∠EPN+∠FPN=90°，所以∠EPM=∠FPN. 又因為∠EMP=∠FNP=90°，所以△EPM∽△FPN. 所以■=■. 因為△AMP和△PNC均為等腰直角三角形，所以Rt△PMA∽Rt△PNC. 所以■=■. 又因為■=■，所以■=■=■.

以上試題建立在三角板旋轉的基礎上，同學們在解題過程中通過實驗操作、觀察、猜想、論證，可發現圖形（三角板）旋轉過程中幾何基本元素之間的數量關系. 涉及的主要知識有三角形旋轉后構造的重疊部分的面積、有關線段和角的數量關系（相等）或位置關系（垂直或平行）、三角形全等與相似的判定和性質、直角三角形的性質和圓的有關內容.

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以上試題，突出體現了以下特點：

第一，試題結合三角板的具體情境，考查了同學們對基本幾何圖形的形狀、大小、位置關系及變換的認識，對重要幾何基本事實（核心概念）的理解和應用.

第二，試題注重讓同學們在應試過程中經歷操作、觀察、推理、想象等探索過程，強調在圖形運動（重疊、旋轉、平移）變化過程中研究幾何圖形的基本要素及其關系的能力.

第三，試題更加突出“合情推理”與“演繹推理”相輔相成的關系，考查了同學們優化解題途徑及方法的能力.