與四邊形有關的新題型

■閱讀理解題

解題的關鍵是理解新定義的含義，同時能根據新定義中的公式或證明方法解決問題.

■ （2011貴州貴陽） 閱讀 在平面直角坐標系中，以任意兩點P（x1，y1），Q（x2，y2）為端點的線段中點坐標為■，■．

運用?搖（1）如圖1，矩形ONEF的對角線交于點M，ON，OF分別在x軸和y軸上，O為坐標原點，點E的坐標為（4，3），則點M的坐標為______.

（2）在直角坐標系中，有A（-1，2），B（3，1），C（1，4）三點，另有一點D與點A，B，C構成平行四邊形的頂點，求點D的坐標．

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■?搖（1）因為四邊形ONEF是矩形，所以點M是OE的中點． 因為O（0，0），E（4，3），所以點M的坐標為2，■．

（2）設點D的坐標為（x，y），若以AB為對角線，AC，BC為鄰邊構成平行四邊形，則AB，CD的中點重合，所以■=■，■=■， 解得x=1，y=－1. 若以BC為對角線，AB，AC為鄰邊構成平行四邊形，則AD，BC的中點重合，所以■=■，■=■， 解得x=5，y=3. 若以AC為對角線，AB，BC為鄰邊構成平行四邊形，則BD，AC的中點重合，所以■=■，■=■， 解得x=-3，y=5.

綜上可知，點D的坐標（1，-1），（5，3）或（-3，5）．

■操作探究題

解題的關鍵是通過操作、觀察、分析、抽象、總結，將所給的實際問題轉化為數學問題，進而運用所學的數學知識解題.

■?搖?搖（2011湖南岳陽）如圖2，將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，得到△ABD和△ECF，固定△ABD，并把△ABD與△ECF疊放在一起.

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（1）如圖3，將△ECF的頂點F固定在△ABD的BD邊上的中點處，△ECF繞點F在BD邊上方左右旋轉，設旋轉時FC交BA于點H（點H不與點B重合），FE交DA于點G（點G不與點D重合）. 求證：BH·GD=BF 2.

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（2）如圖4，△ECF的頂點F在△ABD的BD邊上滑動（點F不與點B，D重合），且CF始終經過點A，過點A作AG∥CE，交FE于點G，連結DG，則FD+DG=______． 請予以證明．

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■?搖（1）由條件知∠B=∠D，因為點F在BD的中點處，所以BF=DF. 因為∠HFG=∠B，所以∠GFD=∠BHF. 所以△BFH∽△DGF. 所以 ■=■. 所以BH·GD=BF 2.

（2）FD+DG=BD. 因為AG∥CE，所以∠C=∠FAG，∠E=∠AGF . 因為∠E =∠CFE，所以∠AGF=∠AFG. 所以AF=AG. 因為∠C=∠FAG，∠C=∠BAD，所以∠BAD=∠FAG. 所以∠BAF=∠DAG. 又因為AB=AD，所以△ABF≌△ADG（SAS）. 所以BF=DG. 所以FD+DG=FD+BF=BD.