解析三角形的難點

■三角形中的分類討論問題

近年來，各地中考試題中涉及“分類討論”的問題十分常見，因為這類試題不僅考查數學基本知識與方法，而且考查了思維的深刻性. 在解決此類問題時，同學們常因考慮不周導致失分，因而成為三角形問題的一個難點.

■ （2010山東濟南）如圖1，在矩形ABCD中，AB=4，BC=4■，點E是折線段A－D－C上的一個動點（點E與點A不重合），點P是點A關于BE的對稱點，在點E的運動過程中，使△PCB為等腰三角形的點E的位置共有（ ）

A． 2個?搖?搖?搖B． 3個?搖?搖?搖C． 4個?搖?搖?搖D． 5個

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■?搖要使△PCB為等腰三角形，則定邊長CB有兩種可能：一是CB為底，可根據A與P關于BE對稱，確定有兩點P. 二是CB為腰，此時有兩種情況，一種是B為頂點、C為底邊的端點，此時無滿足條件的點P；另一種情況是，C為頂點、B為底邊的端點，此時有兩點P. 綜上可知，共有4個，答案為C.

■三角形中的動態問題

三角形中的動態問題按圖形分，有點、線、三角形運動變化三類；按運動類型分，有平移、翻折、旋轉三類. 解題時，需在運動變化的過程中研究相伴隨的數量關系（如等量關系、變量關系）、圖形位置關系（如圖形的特殊狀態、圖形間的特殊關系）等. 策略為“以靜制動”，即把動態問題變為靜態問題，抓住變化中的“不變量”，以不變應萬變.

■ （2011廣東）如圖2，△ABC與△EFD為等腰直角三角形，AC與DE重合，AB=EF=9，∠BAC＝∠DEF＝90°，固定△ABC，將△EFD繞點A順時針旋轉，當DF邊與AB邊重合時，旋轉中止. 不考慮旋轉開始和結束時重合的情況，設DE，DF（或它們的延長線）分別交BC（或它的延長線）于點G，H，如圖3.

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（1）始終與△AGC相似的三角形有______及______.

（2）設CG＝x，BH＝y，求y關于x的函數關系式（只要求根據圖3的情況說明理由）.

（3）當x為何值時，△AGH是等腰三角形？

■?搖（1）由∠GCA=∠H+∠CAF=45°，∠GAF=∠GAC+∠CAF=45°知∠GAC=∠H，又∠AGC=∠HGA，所以△AGC∽△HGA. 由∠AGC=∠B+∠BAG=45°+∠BAG，∠BAH=∠BAG+∠EAF=∠BAG+45°知∠AGC=∠BAH. 又∠GAC =∠H，所以△AGC∽△HAB. 故答案為△HGA及△HAB.

（2）由（1）可知△AGC∽△HAB，所以■=■，即■=■，所以y=■.

（3）由（1）知△AGC∽△HGA，所以要使△HGA是等腰三角形，只需要△AGC為等腰三角形即可. 要使△AGC為等腰三角形，有以下三種情況：

①當∠GAC=∠ACG=45°時，△AGC為直角三角形. 所以x=AC·sin∠ACG=AC·sin45°=■.

②當∠AGC=∠ACG=45°時，點G與點B重合，所以x=BC=■=9■.

③當∠AGC=∠GAC時，x=CG=AC=9.

綜上可知，當x=9或x=■或x=9■時，△HGA是等腰三角形.