對數(shù)學(xué)新課程中分類討論思想的再認(rèn)識

摘 要：分類討論是初中數(shù)學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。在新課程實(shí)施中重新認(rèn)識分類討論思想，加強(qiáng)分類討論思想在學(xué)生學(xué)習(xí)活動中的滲透，讓學(xué)生在獲得數(shù)學(xué)知識、技能和活動經(jīng)驗(yàn)的同時獲得數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的思維能力，更好地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)新課程；分類討論；再認(rèn)識

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009-010X（2012）04-0055-03

全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)”。分類討論作為最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，它既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種重要的解題方法。在新課程實(shí)施中，教師根據(jù)學(xué)生的年齡特征、認(rèn)知規(guī)律和知識積累，在遵循科學(xué)性前提下，采用逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則，向?qū)W生適時滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想，對于發(fā)展學(xué)生的思維能力、養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣有著重要的意義。

一、什么是分類討論思想

分類討論是指當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時，需要對研究對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，然后逐類討論，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的答案。像這種先分類再討論，把問題“分而治之，各個擊破”的解決問題的思想就是分類討論思想。

二、分類討論思想在新課程實(shí)施中的地位和作用

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)思想蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括，如歸納、演繹、抽象、轉(zhuǎn)化、分類、模型、數(shù)形結(jié)合、隨機(jī)等。學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)、感悟數(shù)學(xué)思想”。分類討論思想作為一種基本的數(shù)學(xué)思想，在學(xué)生基礎(chǔ)知識的獲得，基本技能的形成，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，思維能力的發(fā)展，創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力的培養(yǎng)方面占有非常重要的地位。按照數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，在學(xué)生學(xué)習(xí)活動中，積極引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)踐、思考、探索、交流等方式，讓學(xué)生在獲得知識、形成技能、發(fā)展思維的同時，借助數(shù)學(xué)知識的載體功能，將分類討論思想向?qū)W生逐級滲透，螺旋上升，逐步積累，不斷完善，對于培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性和完整性，養(yǎng)成縝密思考的良好品質(zhì)，提高和發(fā)展學(xué)生的思維能力有著舉足輕重的作用。

三、分類討論的基本原則

分類討論思想的核心是對問題進(jìn)行合理分類，要做到合理分類，需遵循分類討論的四個基本原則：

（一）同一性原則

分類必須按確定的同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，不能同時使用幾個不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，否則會導(dǎo)致分類的混亂。

例如：三角形 銳角三角形等腰直角三角形等邊三角形鈍角三角形

顯然，以上對三角形分類時，既按邊又按角同時使用了兩個標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類，造成了分類的混亂。

（二）完備性原則

分類應(yīng)當(dāng)完整，即分類后子項(xiàng)的外延之和應(yīng)等于母項(xiàng)的外延，而不能出現(xiàn)分類后母項(xiàng)外延的遺漏。

例如：若a為實(shí)數(shù)，則∣a∣＝ a（a＞0）﹣a（a﹤0）

很明顯，分類后丟掉了a=0的情況，造成分類后子項(xiàng)的外延出現(xiàn)了遺漏，導(dǎo)致分類不完整。

（三）互斥性原則

分類后的每個子項(xiàng)都應(yīng)當(dāng)互不相容，相互排斥，不能出現(xiàn)分類后一些事物既屬于這個子項(xiàng)又屬于那個子項(xiàng)，造成子項(xiàng)外延的重疊。

例如：若a為實(shí)數(shù)，則∣a∣＝ a（a≥0）﹣a（a≤0）

這里，分類后兩個子項(xiàng)就出現(xiàn)了a=0在外延上的重疊，違背了子項(xiàng)外延互斥性原則。

（四）逐級性原則

有些數(shù)學(xué)問題只需一次性分類，有些數(shù)學(xué)問題則需多次分類。多次分類是由于被討論對象比較復(fù)雜，需把首次分類后的子項(xiàng)作為新的母項(xiàng)再進(jìn)行分類，直至滿足需要為止，進(jìn)而達(dá)到解決整個問題的目的。

例如:論證方程（a-1）x2+2x-6=0的實(shí)數(shù)根的情況。

解：當(dāng)a-1=0即a=1時，方程為一元一次方程，其實(shí)數(shù)根為x=3

當(dāng)a-1≠0即a≠1時，方程為一元二次方程，其實(shí)數(shù)根為

當(dāng)△＞0即a＞■時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)△= 0 即a=■時， 方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根當(dāng)△＜0即a＜■時， 方程沒有實(shí)數(shù)根

綜上所述，當(dāng)a=1時，方程有唯一一個實(shí)數(shù)根。

當(dāng)a＞■且a≠1時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。

當(dāng)a=■時，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根。

當(dāng) a＜■時，方程沒有實(shí)數(shù)根。

四、分類討論的一般步驟和結(jié)論歸納形式

分類討論的一般步驟是：①確定分類討論的對象及被討論對象的全域；②確定分界點(diǎn)，統(tǒng)一分類標(biāo)準(zhǔn)，合理進(jìn)行分類，并做到不重不漏，分層而不越級；③逐類討論，分級進(jìn)行；④綜合歸納，得出結(jié)論。

分類討論的結(jié)論歸納形式一般有三種:

①并列形式。格式為：當(dāng)……時，有……；

當(dāng)……時，有……。

②并集形式。格式為：……或……。

③交集形式。格式為：……且……。

五、分類討論的常見類型

引起分類討論的因素較多，但常見的類型主要有以下幾種：

1.根據(jù)定義、性質(zhì)、法則、公式、定理進(jìn)行分類討論；

2.根據(jù)運(yùn)算的要求進(jìn)行分類討論；

3.根據(jù)圖形的形狀或位置變化進(jìn)行分類討論；

4.當(dāng)條件或結(jié)論開放時進(jìn)行分類討論；

5.當(dāng)問題中條件較少，需通過分類來補(bǔ)充條件時進(jìn)行分類討論。

六、學(xué)生在分類討論中存在的問題

（一）在分析問題時，缺乏分類討論的意識

例如：已知等腰三角形的兩邊長為8和6，求這個三角形的周長。

錯解：等腰三角形的周長為8+8+6=22

分析：學(xué)生初解該類型題時，常因缺乏分類討論的意識，僅考慮腰為8或腰為6中的某一種情況，而得出周長為22或20的單一性答案，造成問題丟解。

正解：當(dāng)腰長為8時，等腰三角形周長為8+8+6=22

當(dāng)腰長為6時，等腰三角形周長為6+6+8=20

所以，等腰三角形的周長是22或20.

（二）有分類討論的意識，但在分類時存在盲目性

分類討論的關(guān)鍵是確定分類標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生分類時常因不能準(zhǔn)確找到分類標(biāo)準(zhǔn)的分界點(diǎn)，導(dǎo)致對問題盲目分類，出現(xiàn)求解上的失誤。

例如：如圖，一個等邊三角形的邊長和與它一邊相切的圓的周長相等，當(dāng)這個圓按箭頭方向從某一位置沿等邊三角形的三邊做無滑動旋轉(zhuǎn)，直到回到原出發(fā)位置時，該圓自轉(zhuǎn)了（ ）圈。

（A）2 （B）3 （C）4（D）5

錯解：選（B） 正解：選（C）

分析：因?yàn)閳A與等邊三角形相切且做無滑動旋轉(zhuǎn)，很多學(xué)生盲目認(rèn)為按圓在AB邊、BC邊、CA邊上分類討論即可，因?yàn)檫呴L等于圓的周長，所以經(jīng)過一條邊剛好轉(zhuǎn)了1圈，在三條邊旋轉(zhuǎn)當(dāng)然轉(zhuǎn)了3圈，故選（B）。然而卻忽略了圓在頂點(diǎn)B、C、A處旋轉(zhuǎn)的情況，由圖（2）不難分析，圓經(jīng)過一個頂點(diǎn)時旋轉(zhuǎn)了120°，經(jīng)過三個頂點(diǎn)共轉(zhuǎn)了

120°×3=360°恰好為一圈，所以應(yīng)選（C）。

（三）在分類討論時存在主觀臆斷性

在分析數(shù)學(xué)問題時，一般當(dāng)遇到數(shù)量的大小或符號不能確定以及圖形位置或形狀不確定時考慮分類討論，但分類討論絕不能憑主觀臆斷，一開始就分類討論，而是在計算或推理的過程中逢時而生，自然展開。

七、教師在新課程實(shí)施中滲透分類討論思想的對策

在初中數(shù)學(xué)課程改革中，教師對分類討論思想的滲透還存在一些不到位的地方，表現(xiàn)為：①在思想意識上，對分類討論思想的重要性認(rèn)識不足；②在教材運(yùn)用上，對分類討論思想挖掘不深，如對分類討論思想在教材中的設(shè)置把脈不清，對分類討論思想在教材中的層次缺少深度思考，對分類討論思想的滲透缺乏整體規(guī)劃與設(shè)計；③在教學(xué)過程中，對分類討論思想滲透不強(qiáng)，教師往往關(guān)注知識的生成多，思想方法的滲透少，側(cè)重就題論題多，思想方法的提煉少，注重知識系統(tǒng)多，思想方法的歸納少；④在實(shí)踐應(yīng)用上，對分類討論思想提升不夠，教師將分類討論過多的停留在簡單訓(xùn)練的層面上或訓(xùn)練模式的創(chuàng)新上，而忽視對思想方法的抽象與概括。那么，如何將分類討論思想在新課程實(shí)施中有效地滲透呢？我覺得不妨從以下二個方面著手：

（一）加強(qiáng)對數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的學(xué)習(xí)，充分挖掘教材中蘊(yùn)藏的分類討論思想，明確分類討論思想在不同階段的目標(biāo)要求

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)把讓學(xué)生獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)思想方法作為教學(xué)的總體目標(biāo)。人教版教材第一章《有理數(shù)》在學(xué)習(xí)了正負(fù)數(shù)后，以有理數(shù)的分類及絕對值的意義為載體最先拉開了分類討論思想滲透的序幕。在以后的學(xué)習(xí)活動中，隨著學(xué)習(xí)的深入，分類討論思想由“隱性”向“顯性”、由“方法”向“思想”逐步滲透，不斷提升，最終實(shí)現(xiàn)由“思想”指導(dǎo)“方法”，達(dá)到水到渠成的功效。因此，教師在新課程實(shí)施中必須站在全局的高度統(tǒng)攬教學(xué)，對分類討論思想的滲透既有整體規(guī)劃和設(shè)計，又有明確而具體的目標(biāo)和要求。

（二）在新課程實(shí)施中遵循逐級遞進(jìn)、螺旋上升的原則，將分類討論思想有機(jī)滲透到每個階段的教學(xué)之中

1.滲透“分類方法”，感知“分類思想”。由于初中生的數(shù)學(xué)知識比較貧乏，抽象思維能力較為薄弱，對數(shù)學(xué)思想方法還缺乏足夠的了解，因此，在新課程實(shí)施中必須以知識的學(xué)習(xí)為載體，注重數(shù)學(xué)概念的生成過程、知識的發(fā)展過程和問題的解決過程，通過教師的啟發(fā)引領(lǐng)，向?qū)W生逐步滲透“分類方法”，讓學(xué)生在展開思維獲取知識的同時初步感知分類思想。

2.訓(xùn)練“分類方法”，領(lǐng)悟“分類思想”。教師在新課程實(shí)施中要充分挖掘教材中體現(xiàn)分類討論思想方法的各種元素，根據(jù)學(xué)生年級的不同、知識的不同和認(rèn)知能力的不同，對“分類方法”展開由淺入深、由易到難、由隱到顯的層次性訓(xùn)練，使分類討論思想在訓(xùn)練過程中多次孕育，不斷領(lǐng)悟，初步形成。

3.掌握“分類方法”，運(yùn)用“分類思想”。學(xué)生對于“分類方法”的掌握需經(jīng)歷一個學(xué)習(xí)、思考、訓(xùn)練、鞏固的體驗(yàn)過程。同樣，“分類思想”的形成也是在“分類方法”的漸進(jìn)生成過程中逐步領(lǐng)悟、不斷完善建立起來的。在新課程實(shí)施中，只有把分類方法提升到分類思想的高度加以認(rèn)識，才能變知識的生成過程為數(shù)學(xué)思想方法的形成過程，從而把分類討論思想進(jìn)行有效遷移和靈活運(yùn)用。

4.提煉“分類方法”，完善“分類思想”。在學(xué)生自主探究學(xué)習(xí)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對分類討論思想適時而恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行提煉和概括，讓分類討論思想在概念教學(xué)中不斷內(nèi)化，在歸納總結(jié)中不斷強(qiáng)化，在問題解決中不斷深化。同時，教師還要鍛煉學(xué)生對分類討論思想進(jìn)行自我提煉、自我揣摩和自我概括，使分類討論思想不斷提升和完善。

總之，在初中數(shù)學(xué)課程改革中，教師若只重視學(xué)生對知識的探究學(xué)習(xí)而忽視分類討論思想的滲透，學(xué)生的知識水平就只能停留在膚淺的層面而難以提高；相反，教師若過于單純地強(qiáng)調(diào)分類討論思想而忽略對知識的探究學(xué)習(xí)，就會使教學(xué)變成無源之水，學(xué)生的學(xué)習(xí)也難以達(dá)到知識技能和思想方法的和諧統(tǒng)一協(xié)調(diào)發(fā)展，因此，在新課程實(shí)施中，教師不僅要注重學(xué)生數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)和技能的提高，更要重視揭示知識發(fā)生發(fā)展過程中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。