螺旋式上升背景下教學內(nèi)容呈現(xiàn)方式的研究

“改進學習方式和教學方式，培養(yǎng)創(chuàng)新意識”是普通高中數(shù)學課程標準教材編寫的一條重要指導思想。教材對學生的學習方式和教師的教學方式都要有引導作用。編寫教材應當遵循認知規(guī)律，關注學生的個性差異，提倡多樣化的學習方式，努力為學生創(chuàng)造自主探究、合作交流的空間，為教師營造教學創(chuàng)新的環(huán)境，為師生互動式教學提供民主的氛圍和豐富的資源[1]。而要達到這一目的，教材編寫應堅持螺旋上升的原則，既要在教學內(nèi)容的深度、廣度上做到螺旋上升，同時也應在知識的呈現(xiàn)方式上做到螺旋上升。本文結(jié)合蘇教版高中數(shù)學教材必修1、必修4函數(shù)圖像變換編寫的比較，談談對同一主題教學內(nèi)容呈現(xiàn)方式的認識。

一、蘇教版高中必修1、必修4函數(shù)圖像變換編寫的比較分析

1.教學內(nèi)容在深度、廣度上充分注意了螺旋式上升

螺旋上升是教材編寫應遵循的一般原則。螺旋體現(xiàn)在學習主題的相同而內(nèi)容的深度、廣度的不同；上升體現(xiàn)在層次的提升，以及課程內(nèi)容的深度、廣度的適度加深上，而不是簡單地再現(xiàn)或重復[2]。

圖像變換是高中函數(shù)學習的一項重要內(nèi)容，主要涉及到圖像的平移、伸縮（縱向和橫向）、翻折等。高中階段對于這些變換的研究主要體現(xiàn)在指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)圖像的變換上。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖像的變換出現(xiàn)在高中數(shù)學必修1教材上，三角函數(shù)圖像的變換出現(xiàn)在高中數(shù)學必修4教材上。從指數(shù)函數(shù)到對數(shù)函數(shù)，再到三角函數(shù)，研究圖像變換的載體改變了，教學內(nèi)容的深度也在改變；從平移變換到伸縮變換，教學內(nèi)容的廣度也隨之改變。教學內(nèi)容的呈現(xiàn)順序如下圖所示。

2.教學內(nèi)容呈現(xiàn)的方式過于依賴合情推理，未能做到螺旋式上升

引入合情推理和演繹推理是新課程教材的一大亮點，它有利于在知識傳授的同時滲透方法論的教育，有利于幫助學生掌握科學的學習方法。教材編寫者在編寫教材時除了將“合情推理和演繹推理”作為獨立的教學內(nèi)容外，同時還用合情推理和演繹推理來引領數(shù)學的發(fā)現(xiàn)。但在具體操作時，尚存在教學內(nèi)容呈現(xiàn)的方式過于依賴合情推理現(xiàn)象，忽視學生已有的學習基礎，忽視學生思維發(fā)展規(guī)律的現(xiàn)象，顯得機械單一。這對學生科學的探究素養(yǎng)的形成是不利的。對蘇教版高中教材指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)圖像變換編寫進行比較，可以發(fā)現(xiàn)這三部分教學內(nèi)容在呈現(xiàn)方式上都強調(diào)了以圖識性、數(shù)形結(jié)合的思想，基本都按“作圖觀察——理性思考——得出具體結(jié)論——一般化”的方式編寫。比較如下。

（1）作圖觀察

①指數(shù)函數(shù)圖像平移變換作圖如下：

②對數(shù)函數(shù)圖像平移變換作圖如下：

③三角函數(shù)圖像平移變換作圖如下（由于相位變換、周期變換和振幅變換呈現(xiàn)的方式完全相同，故此處只呈現(xiàn)相位變換教材編寫的方式）：

（2）理性思考

①指數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=2x-2中x=a+2對應的y值與函數(shù)y=2x中x=a對應的y值相等；

②對數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=log3(x+2)中x=a-2對應的y值與函數(shù)y=log3x中x=a對應的y值相等；

③三角函數(shù)：函數(shù)y=sin(x+1)圖像上橫坐標為t-1的點的縱坐標，與函數(shù)y=sinx圖像上橫坐標為t的點的縱坐標相同。

（3）得出具體結(jié)論

①指數(shù)函數(shù)：將函數(shù)y=2x的圖像向右平移2個單位長度，就得到函數(shù)y=2x-2的圖像；

②對數(shù)函數(shù)：將函數(shù)y=log3x的圖像向左平移2個單位長度，就得到函數(shù)y=log3(x+2)的圖像；

③三角函數(shù)：函數(shù)y=sin(x+1)圖像可以看做是將函數(shù)y=sinx圖像上所有的點向左平移1個單位而得到的。

（4）一般化

①指數(shù)函數(shù)：以“思考”的形式呈現(xiàn)：“函數(shù)y=ax+h與函數(shù)y=ax(a>0，a≠1，h≠0)的圖像之間有什么關系？”

②對數(shù)函數(shù)：以“思考”的形式呈現(xiàn)：“函數(shù)y=loga(x+b)與函數(shù)y=y=logax+(a>0，a≠1，b≠0)的圖像之間有什么關系？”

③三角函數(shù)：直接告知一般化結(jié)論：函數(shù)y=sin(x+φ)（其中φ≠0）的圖像可以看做是將函數(shù)y＝sinx的圖像上所有點向左（當φ>0）或向右（當φ<0）平行移動|φ|個單位長度而得到的。

教材教學內(nèi)容的呈現(xiàn)強調(diào)了從特殊到一般，利用歸納推理的方式進行數(shù)學發(fā)現(xiàn)，再進行邏輯推理。這是一種常用的數(shù)學研究的方法，學生在初三學習二次函數(shù)圖像的變換時實際上已經(jīng)接觸這種方法了。但這種方法是否適用于所有不同學段的學生？學生在不斷獲取新知的過程中，思維方式和學習能力是否始終不變？數(shù)學的重要結(jié)論是否一定要通過合情推理的形式發(fā)現(xiàn)呢？數(shù)形結(jié)合思想的運用是否一定要從形開始，依圖識性？能否依性作圖？能否改變教學內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，以適合不同層次學生發(fā)展的需要？

二、同一主題教學內(nèi)容呈現(xiàn)的基本原則

1.教學內(nèi)容的呈現(xiàn)應尊重學生已有的認知水平

布魯納的結(jié)構主義課程觀認為，課程要以與兒童的思維方式相符合的方式盡早讓學生掌握學科的基本結(jié)構，隨著年級的提升，使學科的基本結(jié)構不斷拓展和加深。教學內(nèi)容的呈現(xiàn)，應在學生原有認知結(jié)構基礎上，依據(jù)數(shù)學學習規(guī)律、相關內(nèi)容在不同模塊中的要求以及數(shù)學內(nèi)在的邏輯聯(lián)系，以核心知識(基本概念和原理、重要的數(shù)學思想方法)為支撐和聯(lián)結(jié)點，循序漸進、螺旋上升地組織學習內(nèi)容，形成結(jié)構化的教材體系[1]。而如何使得教學內(nèi)容在邏輯體系、思想方法等方面相對于原來的學習有所提升，則要求教學內(nèi)容在呈現(xiàn)方式上應尊重學生已有的認知水平，恰當?shù)匕盐諏W生的知識基礎、年齡特征以及思維水平。

高一年級的學生在學習指數(shù)函數(shù)圖像的平移變換之前，在初三已經(jīng)學習了二次函數(shù)圖像的平移變換，其研究方法是由特殊到一般，運用的是歸納推理的方式。在學習指數(shù)函數(shù)圖像的平移變換時，繼續(xù)沿用原先的方法，有利于鞏固所學，掌握用歸納推理進行探究。在學完指數(shù)函數(shù)圖像的平移變換后不久，便開始學習對數(shù)函數(shù)圖像的平移變換。如簡單地重復原先的工作，雖簡單易操作，但這樣的呈現(xiàn)方式，對于年齡不斷增長，思維水平不斷提升的學生來說，未免顯得過于單一而稚化，對科學探究方法的滲透是不利的。這些同一主題教學內(nèi)容呈現(xiàn)時，能否對探究的結(jié)論做到步步提升，以利于新知的形成，或是對探究的方法適度地改變，使不同層次、不同學段的學生感受到不同方法帶來的數(shù)學探究的樂趣。因此，在呈現(xiàn)同一主題教學內(nèi)容時，我們應當充分尊重學生已有的認知水平。

2.教學內(nèi)容的呈現(xiàn)應堅持演繹推理與合情推理并重

合情推理和演繹推理是兩種基本的邏輯推理，是進行數(shù)學發(fā)現(xiàn)、數(shù)學建構的常用推理方式。蘇教版高中數(shù)學教材以“問題情境—學生活動—數(shù)學建構—數(shù)學運用—回顧反思”的形式呈現(xiàn)教學內(nèi)容，有利于學生觀察、實驗、猜想和探究，對學生合情推理技能的形成有積極的作用。但很多結(jié)論在發(fā)現(xiàn)以后，只是進行了適當?shù)摹敖忉尅保鴽]有進行嚴格的論證。這種過多依賴合情推理的呈現(xiàn)方式，對培養(yǎng)學生的理性思維能力是不利的。

蘇教版必修1、必修4中函數(shù)圖像平移、伸縮變換具體結(jié)論的給出，基本都是以合情推理的方式，且均是以歸納推理的方式發(fā)現(xiàn)的。事實上，合情推理不是進行數(shù)學發(fā)現(xiàn)的唯一方式，演繹推理同樣在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中發(fā)揮著重要作用。演繹推理和合情推理是相輔相成、相伴而行的，比如說，演繹推理的大前提一般都必須借助于歸納推理從具體的經(jīng)驗中概括出來，而合情推理的結(jié)論又必須依靠演繹推理來證明其真?zhèn)涡浴＝虒W內(nèi)容在呈現(xiàn)方式上應堅持演繹推理與合情推理并重的原則，以便更好地發(fā)揮數(shù)學對培養(yǎng)人的推理能力的作用[3]。

3.教學內(nèi)容的呈現(xiàn)應注重本質(zhì)的揭示

教學內(nèi)容的呈現(xiàn)如過分依賴合情推理，過分追求外在的操作活動，往往會造成一種“過度稚化”的現(xiàn)象。數(shù)學知識自身的邏輯體系影響著教材的編排，時代在發(fā)展，課程內(nèi)容、呈現(xiàn)形式都在變化，但其實質(zhì)不變[4]。“過分強調(diào)兒童的需要和興趣，必然會影響知識的系統(tǒng)性和整體性，破壞學科本身內(nèi)在的邏輯聯(lián)系”[5]。“數(shù)學教材必須展示數(shù)學的內(nèi)在本質(zhì)”[6]。例如，在研究圖像變化時，由具體函數(shù)的特征歸納一般函數(shù)具有的規(guī)律，由圖形的特征去發(fā)現(xiàn)函數(shù)的性質(zhì)，是一種容易接受的方式，但從思維層面上看，也只是一種低層次的思維方式。對思維能力快速提高的高中生來說，能否采用由數(shù)到形的研究方式，即先理性地思考引發(fā)函數(shù)圖像產(chǎn)生變化的本質(zhì)原因是什么，再思考函數(shù)解析式的變化會帶來函數(shù)性質(zhì)發(fā)生了怎樣的變化？函數(shù)性質(zhì)的變化會致使圖像相應地產(chǎn)生怎樣的變化？無疑，這種回歸到函數(shù)本質(zhì)屬性的探究在思維層面上要明顯地高于簡單的歸納發(fā)現(xiàn)。

三、對函數(shù)圖像變換編寫的建議

1.用歸納推理的方式引領指數(shù)函數(shù)圖像變換的呈現(xiàn)。鑒于指數(shù)函數(shù)安排在必修1，學生從初中升入高中不久，尚處在初高中銜接階段，學生對高中的學習還很不適應，這時還不宜變化太大，應循序漸進，故仍適宜用類似于研究二次函數(shù)圖像變換的方式呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)圖像變換。

2.用類比推理的方式引領對數(shù)函數(shù)圖像變換的呈現(xiàn)。對數(shù)函數(shù)圖像變換由于緊接著指數(shù)函圖像變換，故可以運用類比推理的方式提出問題，引發(fā)學生思考，然后再由形到數(shù)，由特殊到一般地進行研究。但在對函數(shù)變換一般性結(jié)論總結(jié)的基礎上，可提出“函數(shù)y=f(x+a)與函數(shù)y=f(x)的圖像之間有什么關系？”從而將特殊函數(shù)圖像變換的規(guī)律提升到一般函數(shù)圖像變換的規(guī)律。這也與函數(shù)一章的主題相吻合，有利于揭示數(shù)學的本質(zhì)。

3.用演繹推理的方式引領三角函數(shù)圖像變換的呈現(xiàn)。由于在研究對數(shù)函數(shù)圖像變換時，已經(jīng)研究了函數(shù)y=f(x+a)與函數(shù)y=f(x)的圖像之間的關系，故對于三角函數(shù)圖像的平移，可以在回歸其函數(shù)本質(zhì)的認識基礎上，以演繹推理的方式直接得出，而無需再以歸納推理的方式進行；對于周期變換和振幅變換，為了幫助學生認識導致圖像變換的根本原因，數(shù)學結(jié)論的發(fā)現(xiàn)不應還停留在依圖識性的層面上，而應讓學生從解析式的變化上去認識函數(shù)性質(zhì)的變化，然后依性作圖，當然也可進一步通過計算機作圖讓學生有直觀的感知。這種“理性思考——得出具體結(jié)論——作圖驗證——一般化”的呈現(xiàn)方式在思維層次上要高于原先的“作圖觀察——理性思考——得出具體結(jié)論——一般化”，這正體現(xiàn)了思維的螺旋上升。

參考文獻

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[2] 孔凡哲．基礎教育新課程中螺旋式上升課程設計和教材編排問題探究．教育研究，2007（5）．

[3] 王曉輝，赫曉玲．兩類教材對初中生數(shù)學推理技能影響的比較研究．課程?教材?教法，2007（11）．

[4] 楊慧娟，裴昌根．60年來初中數(shù)學教材編寫的歷史沿革與啟示——以人教版為例．數(shù)學教育學報．2011（4）．

[5] 曲鐵華，于桂霞．中國近代中小學教材改革．教育研究，2006（4）．

[6] 李善良．論中小學數(shù)學教材編寫的基本原則．數(shù)學教育學報．2007（2）．

（責任編輯 劉永慶）