在知識發生過程中建構數學概念

高中數學課程標準指出：數學教學中應加強對基本概念和基本思想的理解和掌握，對一些核心概念和基本思想要貫穿高中數學教學的始終，幫助學生逐步加深理解。在落實新課標的實踐中，我們認識到，加強概念發生過程教學，注意學生對概念實質理解和運用，避免過度抽象和形式化，是提高學生數學思維能力的關鍵。

一、注重探求概念的形成過程，避免結論直接呈現

新課標指出，學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，高中數學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數學的方式。這些方式有助于發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創造”過程，可以通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識。因此，在數學概念教學中要強化學生對概念的“探求”過程：“情境——疑問——探求——結論——辨析——獲得”，學生在“探求”親身“經歷”概念的發展過程，可以讓學生產生獲得概念的愉悅感，拓展學生的思想方法和提升學生的創造力。對于情景的設置，教師可以先提供背景材料，讓學生在其中發現和提出問題，材料既要符合學生已有的經驗，又要隱含構建新概念的問題情景，隱含新概念所描述事物的本質。也可以直接由教師提出問題。解決問題的探求過程可以是開放的，讓學生大膽假設和猜想，合作交流，教師注意把握方向，及時引導學生朝著揭示概念的本質特征的方向上來。讓學生認識到提出新概念的必需性和合理性，并在此基礎上歸納概括出概念的本質特征。

例如在等差數列概念的教學中，采用以下引入過程。

在現實生活中，經常會遇到下面的特殊數列。

1.我們經常這樣數數，從0開始，每隔5個數一次，可以得到數列：

0，_______，_______，________，_______，……

2.水庫的管理人員為了保證優質魚類有良好的生活環境，用定期放水清庫的辦法清理水庫中的雜魚，如果一個水庫的水位為18m，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m，那么從開始放水算起，到可以進行清理工作的那天，水庫每天的水位組成數列（單位：m）：

18，_______，________，________，_______，5.5．

3.我國現行儲蓄制度規定銀行支付存款利息的方式為單利，即不把利息加入本金計算下一期的利息。按照單利計算本利和的公式是：

本利和＝本金×（1＋利率×存期）。

例如，按活期存入10000元錢，年利率是0.72%，那么按照單利，5年內各年末的本利和組成的數列是

______，______，_______，_______，______．

問題：上面的數列有什么共同特點？你能用數學語言（符號）描述這些特點嗎？

讓學生通過親身體驗各個數列中項的形成，得到規律，發現3個數列有一個共同的特點：從第二項起后一項減前一項的差值是一個常數，從而得到概念，經歷了一個數學發現和創造的過程。

二、注重理解概念的實質，避免過度形式化

張奠宙先生講過，“教科書里的數學知識，是形式化地擺在那兒的。準確的定義、邏輯的演繹、嚴密的推理，一個字一個字地線性地印在紙上。這是知識的學術形態，學生比較難懂。要把數學知識轉化為教育形態，一是靠對數學的深入理解，二是要借助人文精神的融合。人文修養不足，只能就事論事，沒有文采，深邃的數學文化，結果成干巴巴的教條，學生學而無趣，最終不得已成為考試的奴隸”。

如何把數學概念轉化為一種教育形態？那就是強調學生理解概念的實質，讓數學概念呈現一種符合學生的認知能力和認知水平的狀態，從而被學生吸納，不排斥數學的形式化，也不過度追求概念的形式化。教學過程還要注意數學符號的使用和轉化，注意文字、符號和圖形之間的轉換，強調符號感，適度形式化。

例如在向量概念的教學中，可這樣引入，首先思考以下問題：

1.在數學或其他學科中，你接觸過哪些類型的量？這些量本質上有何區別？

2.既有大小又有方向的量應如何表示？

學生分析討論，可能會回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質量；……物理學中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移……

然后引導學生慢慢抽象出數量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念，分析兩種量的區別和聯系，從而強調向量的表示方法：用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。向量不僅可以用有向線段表示，也可用a、b、c…表示，還可用表示向量的有向線段的起點和終點字母表示，如AB，向量AB的大小就是向量AB的長度（模），記作|AB|。長度為零的向量叫零向量，記作0或0。長度等于1的向量叫作單位向量。

三、注重融合概念的運用，避免知識脫離實際

數學概念是對空間形式和數量關系的反映，數學概念來源于現實，并服務于現實。因此，數學概念教學也要聯系實際，并大力加強和數學應用的聯系。數學概念教學應提供概念的實際背景，反映數學概念的應用價值，使學生體驗數學概念在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系，促進學生逐步形成和發展數學應用意識，提高實踐能力。應用問題要來源于生活，貼近生活，注重學生的親身實踐，注重符合學生認知水平，在應用的基礎上建立概念模型。例如：在函數的概念教學中，首先引入以下實例：

1.一枚炮彈發射后，經過60s落到地面擊中目標。炮彈的射高為4410m，且炮彈距地面的高度h隨時間t的變化規律是h＝294t－4.9t2，（0≤t≤60，0≤h≤4410）。

2.近幾十年來，大氣層中的臭氧迅速減少，因而出現了臭氧層空洞問題。下圖中的曲線顯示了南極上空臭氧層空洞的面積從1979年到2001年的變化情況。

3.國際上常用恩格爾系數反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高。下表中恩格爾系數隨時間（年）變化的情況表明，“八五”計劃以來，我國城鎮居民的生活質量發生了顯著變化。

問題：分析以上三個實例，對任一個給定的ｔ，射高ｈ、臭氧層空洞面積Ｓ、恩格爾系數是否有值與之對應？若有，有幾個？在學生充分分析和討論的基礎上，總結歸納以上三個實例的共同特點，從而建立變量之間的對應關系，得出函數概念的本質特征，充分體現了數學從實踐中來。

四、注重概念的人文價值，避免內容缺失文化

新課程標準強調數學是人類文化的重要組成部分，有它自己的文化淵源。在數學概念的教學中應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢，數學對推動社會發展的作用，數學的社會需求，社會發展對數學發展的推動作用，數學科學的思想體系，數學的美學價值，數學家的創新精神。在概念教學中，教師要善于挖掘素材和創設氛圍，滲透數學的人文價值于數學概念的教學中。例如在復數概念教學中，可以先閱讀以下文字：

數的概念是從實踐中產生和發展起來的。早在人類社會初期，人們在狩獵、采集果實等勞動中，由于計數的需要，就產生了1，2，3，4等數以及表示“沒有”的數0。自然數的全體構成自然數集N。隨著生產和科學的發展，數的概念也得到了發展。

為了解決測量、分配中遇到的將某些量進行等分的問題，人們引進了分數；為了表示各種具有相反意義的量以及滿足記數的需要，人們又引進了負數，這樣就把數集擴充到了有理數集Q，顯然N?奐Q。如果把自然數集（含正整數和0）與負整數集合并在一起，構成整數集Z，則有Z?奐Q、N?奐Z。如果把整數看作分母為1的分數，那么有理數集實際上就是分數集。

有些量與量之間的比值，例如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數表示，為了解決這個矛盾，人們又引進了無理數。所謂無理數，就是無限不循環小數。有理數集與無理數集合并在一起，構成實數集R。因為有理數都可看作循環小數（包括整數、有限小數），無理數都是無限不循環小數，所以實數集實際上就是小數集。

然后教師總結：數集因生產和科學發展的需要而逐步擴充，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，解決了在原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，分數解決了在整數集中不能整除的矛盾，負數解決了在正有理數集中不夠減的矛盾，無理數解決了開方開不盡的矛盾。但是，數集擴充到實數集R以后，像x2=-1這樣的方程還是無解，因為沒有一個實數的平方等于-1。由于解方程的需要，人們引入了一個新數虛數單位，于是引入復數的概念。

這樣既能讓學生了解數的發展過程，又培養了學生嚴密的邏輯思維能力。

總之，如何進行數學概念的教學對于我們數學教師來說，永遠都值得研究，同時在新課標的要求下，概念教學應該更加形式多樣化，要使教師成為學生學習能力的培養者，成為學生學習的激發者，輔導者，幫助學生“學會學習”和掌握知識。（責任編輯 劉永慶）