除數(shù)是小數(shù)的除法有余數(shù)嗎?

在一次集體備課活動(dòng)中，一位教師提出這樣的問題：“除數(shù)是小數(shù)的除法有余數(shù)嗎？”真可謂一石激起千層浪，這個(gè)問題立即引起了大家的熱議。教師們主要有兩種不同的觀點(diǎn)，他們各執(zhí)一辭，誰也說服不了誰。

A方觀點(diǎn)：

小數(shù)除法根本沒有余數(shù)的說法。小數(shù)除法應(yīng)該研究計(jì)算結(jié)果是否是循環(huán)小數(shù)，而不是是否有余數(shù)。小數(shù)除法法則中說到“除數(shù)是小數(shù)的除法，先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，然后按照除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法來計(jì)算”，而除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法法則中有一句“如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)的末尾添0，再繼續(xù)除”，也沒有提到最終的余數(shù)的問題。如果說除到哪一位，剩下的是余數(shù)，那到底除到哪一位呢？這樣的話，余數(shù)豈不是不確定啊，何談?dòng)鄶?shù)？

B方觀點(diǎn)：

小數(shù)除法也應(yīng)當(dāng)是有余數(shù)的。如“0.09÷0.04商2，余數(shù)是（ ）”，這類題目是考查余數(shù)所在的數(shù)位問題，要不商2以后，余下的部分不叫余數(shù)又叫什么呢？

刨根究底：

看來，小數(shù)除法到底有沒有余數(shù)還真是教師們普遍困惑的問題，值得思量、探究。為得到比較權(quán)威的解釋，我查閱了金成梁編著的《小學(xué)數(shù)學(xué)疑難問題研究》一書，這本書在第47頁對(duì)帶余除法的定義是：一個(gè)整數(shù)除以另一個(gè)不為零的整數(shù)，得到整數(shù)商后還有余數(shù)，這樣的除法叫做“帶余除法”。帶余除法的定義也可以這樣表述：已知兩個(gè)整數(shù)a、b（a≠0），要求這樣的兩個(gè)整數(shù)q、r，使得q、r滿足b=aq＋r，0

看來，“帶余除法”是定義在自然數(shù)集上的一種運(yùn)算。只要除數(shù)不為零，不完全商和余數(shù)都存在，并且都是唯一的。按照這一說法，小數(shù)除法應(yīng)該沒有余數(shù)這一說法。

但是，王相國在《不完全商與小數(shù)的帶余除法》（山東教育， 1998， Z3）一文中，又作出了這樣的描述：在實(shí)際解答小數(shù)帶余除法的過程中，由于有很多師生不明確小數(shù)帶余除法的意義，故得不出一個(gè)確定的答案。如1.82÷1.26，商是多少?余數(shù)是多少？很多師生做出很多不同的答案：①商是1，余數(shù)是0.56；②商是1.4，余數(shù)是0.056；③商是1.44，余數(shù)是0.0056……

王相國在文中還作了進(jìn)一步闡述：要說明這一問題，關(guān)鍵是要明確不完全商的概念。當(dāng)a÷b不能得到整數(shù)商時(shí)，如果a最多包含q個(gè)b。也就是說，a大于qb而小于（q+l）b，即當(dāng)qb

從上面不完全商的概念可以看出：①不論a、b（b≠0）是整數(shù)還是小數(shù)，均可作帶余除法；②不完全商是一個(gè)整數(shù)；③做帶余除法的方法為：按照除法運(yùn)算法則作a÷b，當(dāng)商到個(gè)位仍不能除盡時(shí)，所得到的整數(shù)部分商為不完全商，而被除數(shù)減去除數(shù)與不完全商的積所得的差，即為余數(shù)；④對(duì)于確定的數(shù)a、b，不完全商與余數(shù)是唯一的。

按照這一說法，小數(shù)除法也可能存在余數(shù)。

思考與結(jié)論：

這兩個(gè)結(jié)論看似矛盾，但如果能夠理清不完全商和帶余除法這兩個(gè)概念的定義范圍，這個(gè)難題就可以迎刃而解了。從上述內(nèi)容可以看出，不完全商和帶余除法是分別定義在不同集合上的兩個(gè)概念。帶余數(shù)除法是在數(shù)論中作的定義，僅限于自然數(shù)范圍；而不完全商是在有理數(shù)范圍內(nèi)作的定義，在這個(gè)定義域之內(nèi)，除不完全商為整數(shù)、除數(shù)不為0外，被除數(shù)、除數(shù)和余數(shù)還可為小數(shù)。

因此，在研究小數(shù)除法是否有余數(shù)這一問題時(shí)，如果不考慮數(shù)的范圍，簡(jiǎn)單地給一個(gè)“有”或“無”的結(jié)論都是不夠嚴(yán)密和科學(xué)的。我們可以通過兩個(gè)角度來理解小數(shù)除法中的余數(shù)：一是按不完全商定義來理解，余數(shù)可以為小數(shù)；二是因?yàn)橛?jì)算除數(shù)是小數(shù)的除法時(shí)，先要將除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)進(jìn)行計(jì)算。因此，我們還可以理解為小數(shù)除法借用了整數(shù)帶余數(shù)除法中余數(shù)的概念。在利用商不變規(guī)律把小數(shù)除法轉(zhuǎn)化成整數(shù)除法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，不完全商不變，但余數(shù)要和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)。所以，要得到原來的余數(shù)，還要縮小相同的倍數(shù)。

（責(zé)編 藍(lán) 天）