數形結合思想在有規律計算中的應用

數形結合是數學解題中常用的思想方法，所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想。我們在研究抽象的“數”的時候，往往要借助于直觀的“形”，在探討“形”的性質時，又往往離不開“數”。數形結合可以使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，它兼有“數”的嚴謹與“形”的直觀。華羅庚先生說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”小學生在探究有規律的計算過程中，通過“數”與“形”的結合，有助于把握計算的本質，找到規律。

一、以形助數，揭示數量關系

以形助數是數形結合的一個分類，將數轉化為形，能使許多抽象的關系直觀化、形象化，可以使一些較復雜的問題簡單化。有規律的計算用以形助數不僅能避免繁雜冗長的計算與推理，而且對問題會有更深刻更全面的認識，使學生在解題中更得心應手。

例如，解決這樣一個問題：一杯牛奶，小明第一次喝了半杯，第二次又喝了剩下的一半，就這樣每次都喝了上一次剩下的一半，問小明喝了四次后，一共喝了這杯牛奶的幾分之幾？列式為+++，學生大多通過通分求得四次共喝這杯牛奶的幾分之幾。這時我提出問題：如果繼續這樣喝下去，可以+、+……還用通分的方法去計算顯得較麻煩，顯然這并不是最好的解題策略。觀察這組加數有何特點，能不能探索到計算規律呢？一石激起千層浪，這時“數形結合”的解題思想應運而生。如右圖， 用正方形表示“1”，一次又一次地平均分，在畫圖的同時讓學生體會到各加數之間的關系，用正方形中的相關部分分別表示每一個加數，整個圖形的陰影部分表示這些加數的和，很顯然，陰影部分面積＝1-空白部分面積。

學生將有規律的分數求和轉化成圖形時，發現了這樣的規律：在加法算式中，如果后一個加數依次是前一個加數的，結果就等于第一個加數的2倍減去最后一個加數。

數形結合的方法能有效將題目中抽象的數量關系直觀形象地表示出來，從而降低解題難度。通過畫圖，不僅能讓我們學會解決某一道題，更重要是能讓我們找到解決一類題的方法，發現其中的規律。學生正是在這樣的學習過程中，體會“數形結合”的思想。

二、以數解形，拓展解題思路

“形”具有形象直觀的優勢 ，但也有其粗略 、繁瑣和不便于表達的劣勢，只有以簡潔的數學描述、形式化的數學模型表達“形”的特性，才能更好地體現數學抽象化與形式化的魅力。利用點陣圖可以很好地體現以數解形的特點。

學生在圖形的幫助下，了解圖形中點的個數1，4，9，16，25……這些有規律的數是完全平方數。這些看似簡單的圖形是否蘊藏著奧秘呢？帶領學生動手畫一畫，探究規律。如右圖：以5乘5的正方形點陣為例，通過拐角分，你發現了什么，用算式如何表示？學生小組交流合作，嘗試著列出算式：1=1，1+3=4，1+3+5=9，1+3+5+7=16，1+3+5+7+9=25。再提問思考：以此類推1+3+5+7+9+11=？1+3+5+……+99=？從中你發現了什么規律？學生積極探索著圖與數之間的規律：從圖來看，每一個正方形數都可以寫成幾個連續奇數的和，奇數的個數與點陣中的行數和列數相同。從數來看，從1開始的n個奇數相加等于n乘n：1+3+5+7+9+……+（2n-1）=n×n。

點陣圖除了拐角分，還可以怎樣分？讓學生換角度去思考，大膽的猜想，動手分一分。這時有學生提出還可以斜著分。如右圖：斜著分，觀察圖形可以寫成的計算形式是：1+2+3+4+5+4+3+2+1=25。那么，其他的點陣圖是否也能找到這樣的規律呢？再嘗試著畫畫其他的點陣圖，驗證一下。如果是n×n點陣圖，你會怎樣表示呢？研究發現每一個正方形數都可以寫成從 1開始連續加到點陣中的行數再遞減加到1的連加算式，進而學生們發現了求和的重要公式：1+2+3+4……+（n-1）+n+（n-1）+……+4+3+2+1=n×n。

同一個圖形，從不同角度去看，會發現不同的規律。以“形”為起點 ，使學生探究出更多的“數”計算規律。數形結合能給我們解決問題帶來一個全新的思路，由形想數，利用數來研究形的各種性質，尋求規律，可以從不同的角度培養學生思維的靈活性。運用數形結合思想解題，不僅直觀易于尋找解題途徑，而且能避免繁雜的計算和推理，簡化解題過程。

數形結合百般好，可以將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化，不僅有利于學生順利地、高效率地學好數學知識，更有利于學生學習興趣的培養、智力的開發、能力的增強，使教學收到事半功倍之效。在實際教學中，數和形往往是緊密結合在一起，相互并存的。因此，教師要把數和形結合起來考察，根據問題的具體情形，把圖形的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形的問題，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，使數與形相得益彰。

（責編 黃春香）