從特殊到一般

一、問(wèn)題的提出

【例1】甲乙兩枚大小相等的硬幣。現(xiàn)將硬幣甲固定，讓硬幣乙沿硬幣甲的周圍滾動(dòng)，當(dāng)硬幣乙滾動(dòng)一周，回到原來(lái)位置時(shí)，硬幣乙旋轉(zhuǎn)了幾圈？

當(dāng)時(shí)很多人認(rèn)為硬幣乙旋轉(zhuǎn)了1圈，但如果我們親自拿硬幣做個(gè)試驗(yàn)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：硬幣乙竟然旋轉(zhuǎn)了2圈。

實(shí)際結(jié)果怎么會(huì)跟我們想象的不一樣？因?yàn)槲覀儗⒎浅Ｊ煜の矬w在直線上滾動(dòng)的規(guī)律運(yùn)用到物體在圓周上滾動(dòng)的情形，實(shí)際上這兩者卻有著重大區(qū)別。那應(yīng)該如何理解硬幣乙旋轉(zhuǎn)了2圈呢？

預(yù)備定理：一個(gè)圓滾動(dòng)前進(jìn)，這個(gè)圓的圓心所經(jīng)過(guò)路徑（軌跡）的長(zhǎng)度就等于這個(gè)圓所滾動(dòng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度。”

證明：如圖2，圓和直線l相切于A點(diǎn)，這個(gè)圓從A點(diǎn)開(kāi)始沿著直線滾動(dòng)一周后再和這條直線相切于A′點(diǎn)，這時(shí)圓心所經(jīng)過(guò)路徑長(zhǎng)度為線段OO′的長(zhǎng)度，圓周所滾過(guò)的路徑長(zhǎng)度為線段AA′的長(zhǎng)度，這兩個(gè)長(zhǎng)度是一樣的。

事實(shí)上，因?yàn)椤皥A是到定點(diǎn)（圓心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的點(diǎn)的軌跡”，滾動(dòng)時(shí)圓上的點(diǎn)前進(jìn)多少，圓心也會(huì)前進(jìn)多少。因此，不管圓怎樣滾動(dòng)，圓心所經(jīng)過(guò)軌跡的長(zhǎng)度一定會(huì)等于圓周所滾動(dòng)過(guò)的長(zhǎng)度。

利用以上的結(jié)論，對(duì)于例1，可以這樣去理解：甲硬幣固定不動(dòng)，乙硬幣沿甲硬幣的周圍自我滾動(dòng)，當(dāng)乙硬幣把甲硬幣的圓周滾完后又回到起始點(diǎn)時(shí)，乙硬幣的圓心所經(jīng)過(guò)的軌跡就是一個(gè)以甲硬幣的圓心為中心的圓。如圖3，設(shè)這個(gè)大圓的半徑為R，這個(gè)大圓的周長(zhǎng)=乙硬幣的圓心所經(jīng)過(guò)軌跡的長(zhǎng)度=2πR。利用預(yù)備定理：這個(gè)圓的圓心所經(jīng)過(guò)路徑（軌跡）的長(zhǎng)度就等于這個(gè)圓所滾動(dòng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度。所以當(dāng)硬幣乙沿硬幣甲的周圍滾動(dòng)一周后再回到起始點(diǎn)時(shí)，硬幣乙滾動(dòng)過(guò)的距離也等于2πR，而硬幣乙自己滾動(dòng)一周的長(zhǎng)度為2πr（本圓的周長(zhǎng)）。這里R=2r，所以2πR是2πr的2倍，即硬幣乙一共旋轉(zhuǎn)了2圈。

因此，只要看出這個(gè)滾動(dòng)物體的圓心所經(jīng)過(guò)的路徑（軌跡），并求出這個(gè)路徑（軌跡）的長(zhǎng)度，再用這個(gè)長(zhǎng)度去除以這個(gè)物體自身滾動(dòng)一周所經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度，就得到物體所旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)。

推廣到更一般的情況：當(dāng)圓乙在圓甲的外圓周上作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一周時(shí)，圓乙自身旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)為2π（R甲+R乙）÷（2πR乙）=（R甲 + R乙）÷R乙=+1。

二、思考

事物是普遍聯(lián)系的，我們不妨用由以上結(jié)論來(lái)類比出其他一些平面圖形旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的規(guī)律，并以合情推理的思想給出證明。我們知道圓從極限角度來(lái)看是一個(gè)正無(wú)窮邊形，它屬于正多邊形的范疇，于是對(duì)上面的結(jié)論做進(jìn)一步推廣。

1.圓在一個(gè)凸多邊形上滾動(dòng)的圈數(shù)

【例2】如圖4，三角形ABC的周長(zhǎng)為9.42厘米，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1厘米的圓從A點(diǎn)開(kāi)始沿著三角形的邊（圓和三角形的邊始終相切）作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)，當(dāng)圓這樣滾動(dòng)一周再回到原來(lái)位置時(shí)，這個(gè)圓自己旋轉(zhuǎn)了幾圈？

解析：首先觀察這個(gè)圓的圓心的軌跡。因?yàn)檫@個(gè)圓是從A點(diǎn)開(kāi)始滾動(dòng)的，所以一開(kāi)始圓就和三角形的邊AB相切于A點(diǎn)。當(dāng)這個(gè)圓從A點(diǎn)滾動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，圓就和三角形的邊AB相切于B點(diǎn)，這時(shí)圓心經(jīng)過(guò)軌跡的長(zhǎng)度就是線段AB的長(zhǎng)度，如圖4-1。

然后這個(gè)圓還要滾動(dòng)經(jīng)過(guò)B點(diǎn)，使圓和BC這條邊相切于B點(diǎn)。在這個(gè)過(guò)程中圓心的軌跡是怎樣的呢？如圖4-2，圓心的軌跡是“以B點(diǎn)為圓心，OB為半徑，∠OBO′為圓心角的一段圓弧”。這兒∠OBA+∠ABC+∠O′BC+∠O′BO=360°，而∠OBA=∠O′BC=90°，所以∠ABC+∠OBO′=180°， 即∠OBO′的度數(shù)和∠ABC的外角度數(shù)是一樣的。所以這段圓弧的弧長(zhǎng)為×2πr。

以此類推，當(dāng)這個(gè)圓從B點(diǎn)滾動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，圓心經(jīng)過(guò)軌跡的長(zhǎng)度就是線段BC的長(zhǎng)度，滾動(dòng)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)和三角形的邊AC相切于C點(diǎn)時(shí)，圓心軌跡為“以C點(diǎn)為圓心，OC為半徑，∠C的外角為圓心角的一段圓弧”。這段圓弧的弧長(zhǎng)為×2πr。這個(gè)圓從C點(diǎn)滾動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，圓心經(jīng)過(guò)軌跡的長(zhǎng)度就是線段CA的長(zhǎng)度，最后滾動(dòng)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)回到原來(lái)位置時(shí)，圓心軌跡的長(zhǎng)度為×2πr。

那么這個(gè)圓沿三角形的外側(cè)作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一周，最后再回到A點(diǎn)時(shí)，圓心經(jīng)過(guò)軌跡的長(zhǎng)度為“線段AB+BC+CA+×2πr+×2πr+×2πr= 三角形ABC的周長(zhǎng)+（++）×2πr。而三角形的外角和為360°，所以（++）×2πr=×2πr=2πr。所以圓心軌跡的長(zhǎng)度一共為（9.42+2πr），而這個(gè)圓滾動(dòng)一周經(jīng)過(guò)的長(zhǎng)度為2πr，根據(jù)上面的預(yù)備定律，那么這個(gè)圓共旋轉(zhuǎn)了（9.42+3.14）÷3.14=3+1=4（圈）。

簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是這個(gè)圓滾動(dòng)一周回到原來(lái)位置時(shí)，這個(gè)圓除了滾過(guò)三角形的外面一周外，還旋轉(zhuǎn)了三角形的外角360度，而任何物體旋轉(zhuǎn)360度就是旋轉(zhuǎn)了1圈，所以這個(gè)圓一共旋轉(zhuǎn)了（+1）圈。

那么當(dāng)這個(gè)圓在一個(gè)任意凸多邊形上滾動(dòng)一周時(shí)，這個(gè)圓又要旋轉(zhuǎn)幾圈呢？其實(shí)道理是一樣的。

【例3】如圖5所示，⊙O沿著凸n邊形A1 A2 A3…An-1An的外側(cè)（圓和邊相切）作無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一周回到原來(lái)的位置。

（1）當(dāng)⊙O和凸n邊形的周長(zhǎng)相等時(shí)，證明：⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)了兩圈；

（2）當(dāng)⊙O的周長(zhǎng)是a，凸n邊形的周長(zhǎng)是b時(shí)，請(qǐng)寫出此時(shí)⊙O自身轉(zhuǎn)動(dòng)的圈數(shù)。

解析：（1）證明：這個(gè)圓滾動(dòng)一周回到原來(lái)位置時(shí)，這個(gè)圓除了滾過(guò)這個(gè)凸n邊形的周長(zhǎng)外，還旋轉(zhuǎn)了凸n邊形的外角，而任何一個(gè)凸n邊形的外角都是360度，所以這個(gè)圓旋轉(zhuǎn)了（+1）＝2圈。

（2）這里凸n邊形的周長(zhǎng)=a，圓本身的周長(zhǎng)=b，所以圓旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)=+1。

結(jié)論：從上面兩個(gè)例題可以看出，當(dāng)一個(gè)圓在一個(gè)凸多邊形的外側(cè)上做無(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)一周時(shí)，這個(gè)圓自己旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)=凸多邊形的周長(zhǎng)÷圓的周長(zhǎng)+1。

2.一個(gè)正凸多邊形在另一個(gè)正凸多邊形上的旋轉(zhuǎn)圈數(shù)

【例4】如圖6，小正六邊形沿著大正六邊形的邊順時(shí)針?lè)较驖L動(dòng)，小正六邊形的邊長(zhǎng)是大正六邊形邊長(zhǎng)的一半。如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動(dòng)一周后回到出發(fā)時(shí)的位置，那么這個(gè)過(guò)程中線段OA繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了幾圈？

分析：大正六邊形周長(zhǎng)是小正六邊形周長(zhǎng)的2倍，猜測(cè)：小正六邊形旋轉(zhuǎn)了2+1=3圈。

證明：小正六邊形在大正六邊形一邊上旋轉(zhuǎn)時(shí)，OA繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了60度，當(dāng)小正六邊形由大正六邊形的一邊旋轉(zhuǎn)到另一邊時(shí)，OA繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)了120度，所以小正六邊形繞大正六邊形旋轉(zhuǎn)一周，回到原來(lái)位置時(shí)，OA繞O旋轉(zhuǎn)了六個(gè)60度和六個(gè)120度，共1080度，所以共旋轉(zhuǎn)了1080÷360=3圈。

3.一般的凸多邊形在凸多邊形上旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)

任意取兩個(gè)等腰直角三角形，不妨設(shè)小等腰直角三角形邊長(zhǎng)為1，大等腰直角三角形邊長(zhǎng)為2。那么小等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為，大等腰直角三角形斜邊長(zhǎng)為2。

我們知道一個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)幾圈，它的對(duì)應(yīng)邊也旋轉(zhuǎn)幾圈。首先（如圖7-1）小三角形繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)135度讓O點(diǎn)落在大三角形的斜邊上，此時(shí)O點(diǎn)離大三角形的一個(gè)頂點(diǎn)還有-1，如圖7-2；然后小三角形繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度，此時(shí)小三角形的邊OB超出大三角形的頂點(diǎn)2-，如圖7-3；接著小三角形繞大三角形右邊的頂點(diǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)135度，此時(shí)A點(diǎn)落在大三角形的直角邊上，離大三角形的直角頂點(diǎn)的距離為，如圖7-4；小三角形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)135度，此時(shí)B點(diǎn)剛好落在大三角形的直角頂點(diǎn)上，如圖7-5；小三角形繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)225度，此時(shí)O點(diǎn)落在大三角形的另一條直角邊上，離大三角形的一個(gè)頂點(diǎn)距離為1，如圖7-6；小三角形繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度，此時(shí)A點(diǎn)落在大三角形頂點(diǎn)上，如圖7-7；最后小三角形繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)270度，剛好回到一開(kāi)始的位置，如圖7-8。

在這個(gè)過(guò)程中，小三角形一共旋轉(zhuǎn)了135+90+135+135+225+90+270=1080度，而自己旋轉(zhuǎn)一圈為360度，所以1080÷360=3圈。

類比前面的結(jié)論，大三角形周長(zhǎng)是小三角形周長(zhǎng)的2倍，所以大三角形周長(zhǎng)÷小三角形周長(zhǎng)+1=3圈。結(jié)論又一次成立。

三、感想

一葉而知秋，窺一斑而知全貌。從特殊圖形——圓入手，通過(guò)先聯(lián)想、類比，再驗(yàn)證等手段，逐步得出了一般圖形的旋轉(zhuǎn)規(guī)律，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一種內(nèi)在的統(tǒng)一美和簡(jiǎn)潔美。

在興奮之余，靜下心來(lái)反思：當(dāng)研究出圓的旋轉(zhuǎn)圈數(shù)問(wèn)題后，是什么促使我們進(jìn)一步去研究另外的旋轉(zhuǎn)情況？又是什么讓我們把它們聯(lián)系起來(lái)考慮？這其實(shí)就是類比思想。

從學(xué)習(xí)論來(lái)分析，類比是一種主動(dòng)的學(xué)習(xí)，能幫助我們引起豐富的聯(lián)想并開(kāi)拓思路；從認(rèn)知論來(lái)分析，類比是一種有效的認(rèn)知策略，能使知識(shí)更加系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化；從心理學(xué)來(lái)分析，類比更是一種有效、主動(dòng)的遷移，使我們已有的經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)發(fā)生順應(yīng)性改造，建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；從解決問(wèn)題來(lái)考慮，它更是解決問(wèn)題的一種重要手段，因?yàn)轭惐仁且环N從特殊到一般的思想。波利亞曾經(jīng)認(rèn)為類比是“獲得發(fā)現(xiàn)的偉大源泉”就是最佳的詮釋。

（責(zé)編 金 鈴）