猜想智慧的歷程

猜想是對(duì)研究的對(duì)象或問(wèn)題進(jìn)行觀察、分析、比較、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料和知識(shí)做出符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的思維方法。數(shù)學(xué)猜想則是人們?cè)谝延兄R(shí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行直覺(jué)試探，從而形成某種假設(shè)的一種思維活動(dòng)。它可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力。

那么，教師在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)猜想，親歷這段智慧的歷程呢?

一、從無(wú)到有——讓猜想在操作中萌發(fā)

猜想是通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)材料的觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)而作出的符合一定經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測(cè)性想象的過(guò)程。小學(xué)生的思維特點(diǎn)是以具體思維為主，且具有好動(dòng)好奇的心理特點(diǎn)。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中有目的、有組織地讓學(xué)生觀察、實(shí)踐、操作，通過(guò)擺一擺、量一量等操作活動(dòng)，有利于引導(dǎo)學(xué)生在觀察操作中進(jìn)行猜想、創(chuàng)新。

例如，在教學(xué)“圓的周長(zhǎng)”時(shí)，教師在學(xué)生清晰周長(zhǎng)的概念，復(fù)習(xí)了長(zhǎng)方形、正方形等圖形的周長(zhǎng)計(jì)算方法后，讓學(xué)生猜想：圓的周長(zhǎng)的計(jì)算方法是怎樣的？這是學(xué)生在學(xué)習(xí)直線圖形的周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上第一次學(xué)習(xí)曲線圖形的周長(zhǎng)。學(xué)生缺乏猜想的基礎(chǔ)，一時(shí)是無(wú)法得出正確的猜想的。此時(shí)，教師可通過(guò)一些輔助性的問(wèn)題，為學(xué)生的猜想指明方向，提供猜想的“拐杖”。教師可出示圓形紙片（或物體），提問(wèn)：“要知道這些圓形紙片（或物體）上圓的周長(zhǎng)，你想到了什么好方法？如果采用你的方法，需要哪些工具？這些工具又該怎么使用呢？ ”學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察、思索、討論后，提出方法：（1）用繩子、絲帶、皮筋等量出圓的周長(zhǎng)，再量出繩子、絲帶、皮筋等的長(zhǎng)度。教師及時(shí)建議：用這種方法測(cè)量，選擇繩子比較合適。因?yàn)槠そ钣袕椥浴⒔z帶易斷裂。（2）把圓直接放在直尺上滾動(dòng)，量出圓的周長(zhǎng)。（3）用繩子量出圓的2個(gè)直徑的長(zhǎng)度，試一試能否圍成這個(gè)圓。如果不行，再量出3、4個(gè)直徑的長(zhǎng)度，看可不可以圍成這個(gè)圓。教師肯定方法后，讓學(xué)生先選擇自己喜歡的方法，再選擇合適的工具，最后獨(dú)立嘗試、操作。顯然，在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師少了一些“指令”、統(tǒng)一規(guī)定，少了一些暗示、傳授，而學(xué)生多了一些自由選擇權(quán)、獨(dú)立嘗試的自主權(quán)。針對(duì)方法（3），學(xué)生提出猜想：圓的周長(zhǎng)是不是3、4個(gè)直徑的長(zhǎng)度？顯然這是一個(gè)很了不起的猜想，因?yàn)樗プ×耸挛锏谋举|(zhì)，知識(shí)的關(guān)鍵。教師趁勢(shì)追問(wèn)：“你為什么會(huì)有這樣的猜想？”學(xué)生自然會(huì)想到：用圓規(guī)畫(huà)圓，半徑越長(zhǎng)，圓就越大，也就是直徑越長(zhǎng)，圓的周長(zhǎng)就越大。所以，猜圓的周長(zhǎng)與直徑有關(guān)。而操作活動(dòng)的結(jié)果，會(huì)讓學(xué)生進(jìn)一步猜想到圓的周長(zhǎng)是直徑的3倍或4倍左右。

在學(xué)習(xí)新知的過(guò)程中，學(xué)生從一開(kāi)始的得不出猜想，到通過(guò)充分的操作活動(dòng)，能結(jié)合操作活動(dòng)的結(jié)果，利用已有經(jīng)驗(yàn)，讓猜想在操作中自然地萌發(fā)，使數(shù)學(xué)課堂充滿了生機(jī)和活力。這樣基于實(shí)踐操作的猜想，有根有據(jù)，讓學(xué)生體驗(yàn)到探索和發(fā)現(xiàn)的喜悅，感受到數(shù)學(xué)的無(wú)窮魅力。

二、從片面到完善——讓猜想在反思中漸進(jìn)

一位數(shù)學(xué)教育家曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程就是濃縮的數(shù)學(xué)發(fā)展史的過(guò)程，所以教給學(xué)生發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，這樣才符合教學(xué)規(guī)律，才更有利于學(xué)生的發(fā)展。”在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力時(shí)，必須要重視猜想的過(guò)程，關(guān)注它的循序漸進(jìn)性。否則，學(xué)生在運(yùn)用猜想后所得到的結(jié)論解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，就會(huì)出現(xiàn)“我知道要運(yùn)用剛才得到的某個(gè)猜想的結(jié)論，但就是不會(huì)用它來(lái)解決問(wèn)題”這樣的困惑。所以，在教學(xué)中，教師必須想方設(shè)法地讓學(xué)生理解猜想后得到的結(jié)論，并掌握這些結(jié)論。這就要求教師在運(yùn)用猜想這個(gè)手段得到結(jié)論前，要注重設(shè)計(jì)猜想的情境。在學(xué)生簡(jiǎn)單地得出片面的猜想后，教師不要急于把結(jié)論直接告訴學(xué)生，而是要讓學(xué)生逐步地去猜想，漸漸地完善，直至逼近最后的正確結(jié)論。這不失為一個(gè)事半功倍的好辦法。此時(shí)，教師要耐心地等待，抓住契機(jī)，在關(guān)鍵處、難點(diǎn)處巧妙點(diǎn)撥。

例如，在教學(xué)“求一個(gè)小數(shù)的近似數(shù)”時(shí)，教師出示了例1：“2.953保留兩位小數(shù)，它的近似數(shù)是多少？”有的學(xué)生猜測(cè)是3.00，也有的學(xué)生猜測(cè)應(yīng)該是2.95、3.10……教師本想讓學(xué)生從求整數(shù)近似數(shù)的方法遷移思考求小數(shù)近似數(shù)的方法，但教師馬上意識(shí)到，如果在這時(shí)打斷學(xué)生的爭(zhēng)辯再按照原本的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行引導(dǎo)，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情是一個(gè)很大的打擊。但是，如果不及時(shí)進(jìn)行正確地引導(dǎo)，這些片面的猜想會(huì)適得其反，反而不利于學(xué)生掌握新知。于是，教師就讓不同意見(jiàn)的學(xué)生各自說(shuō)出自己的猜想過(guò)程，“說(shuō)說(shuō)你是怎樣想到這個(gè)答案的？”這樣巧妙地讓學(xué)生暴露出思維的“盲點(diǎn)”與“誤區(qū)”，同時(shí)，讓學(xué)生無(wú)意識(shí)地對(duì)自己的猜想進(jìn)行了反思。

學(xué)生反思后，有的認(rèn)為：因?yàn)?.953接近3，所以2.953≈3，但因?yàn)橐Ａ魞晌恍?shù)，所以根據(jù)小數(shù)的性質(zhì)，2.953≈3.00；也有的認(rèn)為：因?yàn)?.953要保留兩位小數(shù)，所以我認(rèn)為應(yīng)該看小數(shù)部分的第三位，千分位上是3，不滿5，要舍去，所以2.953≈2.95；還有的認(rèn)為：因?yàn)?.953接近3，但是要保留兩位小數(shù)，十分位和百分位上的數(shù)都滿5了，要向前一位進(jìn)1，所以2.953≈3.10。

……

聽(tīng)完發(fā)言后，教師再讓學(xué)生根據(jù)他們的猜想過(guò)程，結(jié)合求整數(shù)近似數(shù)的方法去認(rèn)真地思考、討論，哪一個(gè)猜想的方法是正確的。學(xué)生提出了不少的疑問(wèn)：要保留兩位小數(shù)，為什么要把它們先看成整數(shù)呢？運(yùn)用四舍五入方法求整數(shù)近似數(shù)的時(shí)候，要看省略尾數(shù)左起的第一位。那么求保留兩位小數(shù)的近似數(shù)，應(yīng)該看哪一位呢……學(xué)生在質(zhì)疑和思辨中，逐漸掌握了求小數(shù)近似數(shù)的方法。

三、從預(yù)設(shè)到生成——讓猜想在沖突中升華

預(yù)設(shè)與生成是辯證對(duì)立的統(tǒng)一體，課堂教學(xué)既需要預(yù)設(shè)，也需要生成，預(yù)設(shè)與生成是課堂教學(xué)的兩翼，缺一不可。在實(shí)際教學(xué)中，往往不可避免地會(huì)發(fā)生教師所預(yù)設(shè)的學(xué)生猜想與眼前的事實(shí)不符的矛盾、沖突。此刻也就是每個(gè)學(xué)生的認(rèn)知在原有水平上的發(fā)展過(guò)程。教師應(yīng)及時(shí)地選準(zhǔn)師生、生生互動(dòng)中的生成點(diǎn)，認(rèn)真地傾聽(tīng)學(xué)生的困惑，及時(shí)地對(duì)學(xué)生提出帶有指導(dǎo)性的意見(jiàn)，并以此為資源，準(zhǔn)確地加以升華。

例如，在教學(xué)“軸對(duì)稱圖形”時(shí)，當(dāng)學(xué)生提出“雖然平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，但特殊平行四邊形——菱形是軸對(duì)稱圖形”的猜想時(shí)，教師不能因?yàn)閷W(xué)生的猜想偏離了教師的“預(yù)案”而回避、否定，而應(yīng)巧妙地升華師生互動(dòng)中意想不到的生成點(diǎn)。教師可通過(guò)立即引導(dǎo)學(xué)生剪一剪、折一折、說(shuō)一說(shuō)等這些行之有效的活動(dòng)進(jìn)行驗(yàn)證，讓學(xué)生明確這個(gè)猜想是正確的。教師隨即指出：這個(gè)猜想不但讓我們知道了菱形是軸對(duì)稱圖形，更告訴了我們一個(gè)道理，一般的平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，但特殊的平行四邊形——菱形，卻是軸對(duì)稱圖形。看來(lái)，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，具體的問(wèn)題還得具體分析。

葉瀾教授曾經(jīng)針對(duì)生成性的課堂打過(guò)一個(gè)形象的比喻：課堂應(yīng)是向未知方向挺進(jìn)的旅程，隨時(shí)都有可能發(fā)現(xiàn)意外的通道和美麗的圖景，而不是一切都必須遵循固定線路而沒(méi)有激情的行程。在教學(xué)中，當(dāng)學(xué)生的猜想偏離預(yù)設(shè)的軌道時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)選擇師生互動(dòng)中所生成的有代表性的資源，組織學(xué)生辨析、評(píng)判，自主探索正確結(jié)論。

學(xué)生的猜想是數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的結(jié)果。在整個(gè)猜想過(guò)程中，學(xué)生滿懷興趣，從無(wú)到有，從片面到完善，從預(yù)設(shè)到生成，積極參與了對(duì)智慧的挑戰(zhàn)，經(jīng)歷了挫折與失敗、曲折與迂回、成功與興奮，親自體驗(yàn)了充滿思想情感、智慧的創(chuàng)新歷程，讓課堂從知識(shí)的傳授走向了智慧的生成。

（責(zé)編 藍(lán) 天）