種子與珍珠

一、疑惑

教學(xué)完長(zhǎng)方體的體積的計(jì)算后，有這樣一道習(xí)題：

題1：一個(gè)包裝盒，如果從里面量長(zhǎng)28厘米，寬20厘米，體積為8.4立方分米。爸爸想用它包一件長(zhǎng)25厘米、寬16厘米、高18厘米的玻璃器皿，是否可以裝下？

學(xué)生在解決這個(gè)問題時(shí)，大多是從比較體積的大小入手：25×16×18=7200（立方厘米）=7.2（立方分米），因?yàn)?.4立方分米>7.2立方分米，所以可以裝下。多數(shù)學(xué)生認(rèn)為，只要包裝盒的體積比玻璃器皿的體積大，就可以裝下。經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，在我校223名五年級(jí)學(xué)生中，大約有95%的學(xué)生都是這樣認(rèn)為的。可實(shí)際上，8400÷28÷20=15（厘米），根本裝不下。

這樣的一個(gè)數(shù)學(xué)問題，竟然有那么多的學(xué)生都走入了誤區(qū)。

二、思考

這是什么原因呢？第一，學(xué)生剛剛學(xué)完長(zhǎng)方體的體積計(jì)算，在思考和體積有關(guān)的問題時(shí)，就會(huì)不由自主地用體積公式進(jìn)行計(jì)算，這是一種思維定勢(shì)。第二，學(xué)生的思維中還沒有形成如何把玻璃器皿裝入包裝盒的空間想象，也就是說學(xué)生在立體圖形的空間觀念的建立上僅僅是初步的。在這兩個(gè)原因中，最根本的原因應(yīng)該是第二個(gè)。學(xué)生對(duì)于立體圖形的空間想象能力比較弱，所以思維定勢(shì)就會(huì)對(duì)其造成一定的干擾。

學(xué)生在一年級(jí)的時(shí)候就已經(jīng)認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體和正方體，為什么到了五年級(jí)對(duì)于立體圖形的空間想象能力還是那么弱呢？我通過對(duì)前面的教材進(jìn)行了研究后發(fā)現(xiàn)，在教材的安排中，類似的問題在五年級(jí)上冊(cè)的“多邊形的面積”這個(gè)單元“整理與復(fù)習(xí)”后的練習(xí)十九中的思考題（見題2）出現(xiàn)；在與教材配套的課堂作業(yè)本中，在“三角形的面積”一課的課后也曾出現(xiàn)（見題3）。

題2：（1）右圖是用手工紙剪的一課小樹，

它的面積是多少？（單位：cm）

（2）用一張長(zhǎng)45 cm、寬21 cm的手工紙，

能剪幾棵這樣的小樹？

題3：某班要做一些如右圖所示的直角三角

形小紅旗，一張長(zhǎng)1.2m、寬0.8m的長(zhǎng)方形紅

紙能做這樣的小紅旗多少面？

題2、題3這兩道題很有代表性，題3中的小紅旗做下來剛好，沒有剩余的紙；而題2的剪小樹則有剩余的紙，不能單純地考慮面積之間的關(guān)系。

如果把這3道題按題3、題2、題1的順序串起來看的話，知識(shí)點(diǎn)的層次性馬上就出來了。學(xué)生在這類問題的解決上其實(shí)是經(jīng)歷了一個(gè)從平面圖形到立體圖形這樣一個(gè)發(fā)展過程的，從教材的習(xí)題編排就可以窺見一斑。那么，學(xué)生的這個(gè)難點(diǎn)能不能分散開來，提前在平面圖形的教學(xué)中滲透呢？

三、嘗試

帶著這樣的思考，在新一輪的五年級(jí)中，我們進(jìn)行了嘗試。把作業(yè)本中的題3放到 “多邊形的面積”這個(gè)單元的復(fù)習(xí)課去解決。

以一個(gè)班的教學(xué)為例，教師首先出示如下題目。

題3：某班要做一些如右圖所示的直角三角形小紅旗，一張邊長(zhǎng)為0.6dm、寬0.6dm的正方形紅紙能做這樣的小紅旗多少面？（為方便學(xué)生的操作，改變了一下數(shù)據(jù)）

教師先讓學(xué)生自己動(dòng)手操作畫一畫、剪一剪，在學(xué)生感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，再讓學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解答。學(xué)生都能計(jì)算：0.6×0.6=0.36（平方分米），0.2×0.3÷2=0.03（平方分米），0.36÷0.03=12（個(gè)）。

接著，教師出示變式：“某班要做一些如右圖所示的直角三角形小紅旗，一張長(zhǎng)0.8dm、寬0.7dm的長(zhǎng)方形紅紙，能做這樣的小紅旗多少面？”學(xué)生有的陷入思考，有的忙于計(jì)算，還有的在畫草圖……

一部分學(xué)生有些茫然，因?yàn)橛瞄L(zhǎng)方形的面積除以三角形的面積除不盡，有余數(shù)；一部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)了玄機(jī)，躍躍欲試。

師：哪位同學(xué)覺得有困難，可以和大家交流一下。

生1（困惑地）：老師，我發(fā)現(xiàn)用長(zhǎng)方形的面積除以三角形的面積除不盡。

生2：老師，我剛才也是這樣除不盡，后來發(fā)現(xiàn)不能這樣做。我們剛才在第一題時(shí)已經(jīng)剪過了，如果在這道題也去剪的話，剪下來還有多的！

生3（激動(dòng)地）：是的，是的，我畫過了，剪不完的，還有多的。這個(gè)是要畫一畫的，我畫出啦，還是12個(gè)！

生4：是的，是12個(gè)！

生5：錯(cuò)了，可以剪16個(gè)！

師：這可奇怪了，為什么用長(zhǎng)方形的面積除以三角形的面積除不盡呢？請(qǐng)同學(xué)們自己再畫畫圖或者剪一剪吧！

（學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)…… ）

生6：我知道了，在0.8 dm的地方剪0.3dm只能剪兩個(gè)，還有剩余的。

生7：是的，兩條邊都有剩余的，不能剪完。不能剪完的時(shí)候就不能用長(zhǎng)方形的面積去除以三角形的面積。只有剛好可以剪完的時(shí)候，才可以用面積除以面積！

生（激動(dòng)地）：對(duì)的，對(duì)的，只有剛好剪完，才能除！

師：同學(xué)們真棒，自己動(dòng)手發(fā)現(xiàn)了這個(gè)知識(shí)！剛才有同學(xué)爭(zhēng)論，有的說能剪12個(gè)，有的說能剪16個(gè)，你們說說是幾個(gè)？

（教師把學(xué)生不同想法的草圖投影在大屏幕上，見下圖，讓學(xué)生自己說說是怎樣想的）

師：是在0.7dm的地方剪0.2dm好，還是0.8dm的地方剪0.2dm好呢？

生8：在 0.8dm的地方剪0.2dm好，因?yàn)閯倓偤茫瑳]有剩余。

生9：對(duì)！0.8dm的地方剪0.2dm好，沒有多余，而且0.7dm的地方不管剪0.2dm還是剪0.3dm都有多的！

師：看來，剪的時(shí)候還要有方法呀！

生10：老師，我覺得要先看看哪條邊剪得剛剛好，就先剪，再剪有多的。

師：說得真好，同學(xué)們聽明白了嗎？我們來試試吧！將一個(gè)長(zhǎng)40cm、寬12cm的長(zhǎng)方形紙片，剪成長(zhǎng)6cm、寬8cm的長(zhǎng)方形小紙片，能剪幾個(gè)？說說怎么剪？并列式計(jì)算

（學(xué)生開始探究）

生11：我是這樣剪的，從40cm里剪寬8cm，從12cm里面剪6cm，都剛剛好。所以，我可以用大長(zhǎng)方形的面積除以小長(zhǎng)方形的面積，即40×12=480（cm2），6×8=48（cm2），480÷48=10（個(gè)）。

生12：老師，我的剪法和他是一樣的，但我的算式和他的不一樣。5×2=10（個(gè)），因?yàn)閺?0cm里剪寬8cm可以剪5個(gè)，從12cm里面剪6cm可以剪2個(gè)。

師：哎，聽明白了嗎？他是從長(zhǎng)和寬剪的個(gè)數(shù)上來研究的。這也是一種很好的方法！

師：剛才我們研究過的：某班要做一些如右圖所示的直角三角形小紅旗，一張長(zhǎng)0.8dm、寬0.7dm的長(zhǎng)方形紅紙能做這樣的小紅旗多少面？ 在不能正好剪完的情況下，我們不能用長(zhǎng)方形的面積除以三角形的面積，剛才是通過畫一畫知道可以做16面，如果長(zhǎng)方形的長(zhǎng)變成80m，寬變成70m呢？再去畫一畫你覺得方便嗎？

（這個(gè)問題給了學(xué)生極大的挑戰(zhàn)：對(duì)呀，像這樣的情況能不能列出算式來呢？幾個(gè)學(xué)生踴躍地站了起來：可以列出來的！可以的！）

生13：用4×2×2就可以了！

生14：對(duì)！0.8dm里面能剪4個(gè)0.2dm，0.7dm里面能剪2個(gè)0.3dm，這樣剪出來的是長(zhǎng)方形，一個(gè)長(zhǎng)方形里面又有兩個(gè)三角形，所以可以用4×2×2=16（個(gè)）。

對(duì)于生14精彩的回答，學(xué)生們都不由自主地給他鼓掌！

通過一系列的操作活動(dòng)，學(xué)生有了具體的感知，形成了解題策略。這樣一來，再解決課本上的思考題就水到渠成了。

四、效果

有了平面圖形中的鋪墊與滲透，我在教學(xué)五年級(jí)下冊(cè)長(zhǎng)方體的體積計(jì)算后，把教材中的題1安排在當(dāng)堂作業(yè)的練習(xí)中，發(fā)現(xiàn)約有89%的學(xué)生都能算出包裝盒的高進(jìn)行比較。只有11%的學(xué)生通過體積去比較?？吹贸觯哑矫鎴D形作為突破口，果然取得了喜人的效果，大多數(shù)學(xué)生能對(duì)題目產(chǎn)生一些空間想象。還有少數(shù)學(xué)生的空間觀念還是比較弱，還需要教師以后不斷地培養(yǎng)。

同時(shí)，對(duì)此內(nèi)容，我又在練習(xí)課中安排了一道變式練習(xí)，繼續(xù)拓展延伸：一個(gè)包裝盒，如果從里面量長(zhǎng)25cm，寬18cm，體積為7.65dm3。爸爸想用它包一件長(zhǎng)17cm、寬16cm、高24cm的玻璃器皿，是否可以裝下？

五、反思

1．平面圖形是立體圖形的基礎(chǔ)。

學(xué)生空間觀念的培養(yǎng)，學(xué)生的空間想象能力，一直是小學(xué)數(shù)學(xué)空間與圖形教學(xué)中的難點(diǎn)。而這種隱形的能力，教師一般無法很直觀地看到，往往只能從學(xué)生的練習(xí)中觀察出來。數(shù)學(xué)知識(shí)的體系是階梯形螺旋上升的，前面學(xué)習(xí)的知識(shí)會(huì)影響到后面學(xué)習(xí)的知識(shí)。從知識(shí)本身而言，如果學(xué)生的腦海中一片空白，讓學(xué)生對(duì)立體圖形的擺放有一個(gè)空間想象，那是非常困難的。空間想象力的最重要的因素就是“表象”，沒有生動(dòng)平面圖形的表象，就很難建立立體圖形的表象。歸根結(jié)底，要想解決好這個(gè)問題就要從平面圖形入手，平面圖形是立體圖形的基礎(chǔ)。如果學(xué)生能對(duì)平面圖形有了比較好的空間想象能力，那么，他們對(duì)立體圖形的想象就不會(huì)是空中樓閣般地虛無縹渺。

所以，基于這樣的思考，這個(gè)難點(diǎn)的突破就應(yīng)該在平面圖形上，通過平面圖形的操作，就可以提前孕伏，降低難點(diǎn)。從教學(xué)實(shí)施的效果來看，學(xué)生通過對(duì)平面圖形的畫畫、剪剪、想想，產(chǎn)生了具體的表象，就可以對(duì)平面圖形進(jìn)行生動(dòng)的想象。而這種想象力也能比較容易地遷移到立體圖形中來，產(chǎn)生對(duì)立體圖形的具體表象。

2．操作——體驗(yàn)，學(xué)生空間觀念培養(yǎng)的基石。

眾所周知，人的腦海中各種各樣的想象，源于生活中形形色色的各種事物在人腦中的表象。1000個(gè)讀者的心中有1000個(gè)哈姆雷特，不同的人有著自己不同的體驗(yàn)和想象。學(xué)生要對(duì)抽象的立體圖形產(chǎn)生形象的想象，就必須建立在充分的體驗(yàn)和感知上。動(dòng)手操作最能帶給學(xué)生最形象、最直觀的體驗(yàn)。

在本案例中，在操作上，學(xué)生先是剪一剪，最直觀地看到長(zhǎng)方形里面剪出三角形；接著，慢慢地上升為讓學(xué)生畫一畫，在紙上把實(shí)物抽象成圖形；最后在腦海中形成表象。在學(xué)生的認(rèn)知沖突上，教師先讓學(xué)生參與分層活動(dòng)，使學(xué)生逐步地豐富并完善自己的空間觀念，為后面長(zhǎng)方體體積的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

正因?yàn)橛辛梭w驗(yàn)，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，多數(shù)學(xué)生都能夠觸類旁通，對(duì)于長(zhǎng)方體的問題能迎刃而解，自然地想到要考慮包裝盒的高能不能容納玻璃器皿的高。

3．解決數(shù)學(xué)問題，需要建模。

在本案例中，教師是通過建立數(shù)學(xué)模型來解決這一類的問題。教師先是選擇了平面圖形中的實(shí)際問題，把它轉(zhuǎn)化為初步的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)尋找適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來解決問題——在剪一剪、畫一畫等操作中體驗(yàn)；在長(zhǎng)方體體積的教學(xué)中再一次完善數(shù)學(xué)模型，解決了課本中的習(xí)題后，又進(jìn)行了變式練習(xí)，讓學(xué)生感知：有時(shí)候變化一下玻璃器皿的擺放方向就可以把玻璃器皿放入包裝盒。

建模其實(shí)也是學(xué)生自我建構(gòu)的過程。通過模型的變化，通過各種各樣的變式，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)才能不斷地完善。建模的過程需要教師不斷地提供具有代表性的素材，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)模型的建立，在解決這類平面、立體圖形中的容納問題時(shí)能有一個(gè)理性的全方位的思考，能夠靈活地解決生活中的實(shí)際問題。那么，這樣的建模就真的非常有意義。

4．隱性的種子比顯性的珍珠更需要教師的“慧眼”。

在本案例中，學(xué)生的錯(cuò)誤帶有共性，不是一個(gè)學(xué)生的錯(cuò)誤，而是約95%的學(xué)生的錯(cuò)誤。這樣的普遍性就一定有研究的必要。研究好了，就不是解決了幾個(gè)學(xué)生的問題，而是解決了一批學(xué)生的問題。

研究什么？有些教師著重以這道題為載體，進(jìn)行了拓展，取得了良好的效果。我也曾經(jīng)在雜志上看到，一位教師把包裝盒的這道題挖得很深、講得也非常透徹。

可反思一下，教師不僅僅要“治標(biāo)”，更重要的是要分析問題產(chǎn)生的原因——尋找隱性的種子，從而“治本”。從整個(gè)知識(shí)點(diǎn)的脈絡(luò)上來看，因?yàn)槠矫鎴D形的教學(xué)沒有給學(xué)生直觀的感知，所以很多學(xué)生在這一塊的空間想象力缺失了。如果在教學(xué)類似的平面圖形中的問題時(shí)沒有操作，沒有體驗(yàn)，學(xué)生又哪里來的感知與想象呢？

在本案例中，在平面圖形中的滲透和突破好比種子，種子不一定閃閃發(fā)光，不見得賞心悅目，可它是生命，有活力。一粒珍珠再漂亮也是一粒珍珠，它缺乏活力，難以生長(zhǎng)。種子可能長(zhǎng)成參天大樹，可能吐出萬紫千紅，更可能變成一串美麗的珍珠項(xiàng)鏈！

隱性的種子比顯性的珍珠更需要教師的“慧眼”，也對(duì)教師提出了更高的要求，需要教師對(duì)小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)的體系有更深的了解，更加關(guān)注教科書、作業(yè)本、課堂，更善于思考，更善于發(fā)現(xiàn)！

有的教師重視種子，有的教師喜歡珍珠，但是我更喜歡種子！

（責(zé)編 藍(lán) 天）