學生理解性錯誤成因分析及教學對策探究

學生已有的知識經驗與科學概念表面相似，結構也相似，那就能促進理解的達成；當已有的知識經驗與科學概念結構不同，表面相似，則容易導致各種理解錯誤的產生。學生的理解性錯誤往往由于主客觀不一致所導致。教師應根據小學生在數學知識的表征、數學模式識別以及數學學習的自我監控等理解過程中的共性規律，采取教學應對措施，幫助學生防錯糾錯。為此，筆者進行了教學實踐、調查、分析研究，提出如下建議。

1．回歸知識本原。

這里的“本原”指的是隱藏在客觀事物背后的數學知識、數學規律，又表現為隱藏在數學知識背后的本質屬性，還表現為統攝具體數學知識與技能的數學思想方法。從舊知到新知是概念的一次擴展，也是學生數學理解上的一個重要拐點。在教學時，教師要遵循“還原”理念，讓新知牢牢地穩固在知識本原這根中心軸上，以保證知識更好地再生。任何脫離本原的教學，都因為不可能“螺旋式”前進，從而變成難點。

例如，畫平行線是小學生學習的難點，要經歷“貼、靠、移、畫”四個步驟。學生不明白為什么要“靠”，用什么“靠”。其實，從運動的觀點觀察直線的位置關系，平行是直線平移運動的狀態。因此，平行的數學本質是直線的平移運動，畫平行線的本質是使畫直線的工具發生平移運動。教師教學中可以“窗戶軌道”作為載體，把生活原型提煉成數學模型，借助“事理”理解“數理”，讓學生不僅知其然，而且知其所以然，數學操作技能的形成就會“像呼吸一樣自然”生長。

2．制造認知沖突。

學生常常在我們稱為“教學難點”的地方出錯，仔細分析一下就會發現，這種情況常常發生在知識的不連續處，或者是特殊知識系列的起點處。美國華盛頓大學物理教育家莉蓮·麥克德莫特提出，轉變學生前概念需經歷“引出、挑戰、轉換”一系列過程。這就需要教師善于預見學生的認知錯誤，為學生創設有效便捷的學習環境，防患于未然。針對學生的易錯點，教師可精心設計一些“陷阱”， 暴露學生的前概念，從而巧妙地在新知和已有認知結構之間引發沖突，強化首次感知。

例如，學生解答“一根繩長3/5米，用去1/5，還剩全長的幾分之幾”這道題，普遍錯誤率較高。因為學生在潛意識里早就形成了“解題就是用題目給的數據加減乘除”的認識，再加上學生對分數表示數量和分率這兩種形式的區分度不敏感，于是出現了用“3/5-1/5=2/5”這樣的錯誤。為防患于未然，在新授分數應用題教學時，我決定制造一次強刺激。我不作任何提示，直接呈現上述樣例，指名數學課代表解答?；凇懊餍切?，全班學生竟然不假思索，一致認為課代表的錯誤解法是對的。我默不做聲，狠狠地打上了一個大大的“×”，給學生的心靈來了一次巨大的沖擊。學生一下子愣住了，奇怪，怎么全班都錯了？思維的大門在疑惑中開啟，隨即，深刻的反思糾偏在熱烈地進行：在數量和分率的辨析中，在不能犯“人減狗的錯誤”的比喻中，在繩長與結果變與不變的驗證中，單位“1”這個“天外來客”深深地“印刻”在學生的腦海中。在期末的檢測中，我班此類題正確率達98%。

3．重視多元表征。

表征是信息在頭腦中的呈現方式。有研究人員把學生對概念的表征分為五種：書面符號表征、圖形表征、相關情境表征、實物操作性表征以及日常語言表征。表征類型與內涵的缺乏，以及表征之間聯系的不豐富、不穩定、強度與自洽程度不夠，都將導致個體對數學理解的不全面、甚至是誤解。教師要關注學生經驗世界中表現出來的對數學理解上的最本真的狀態，從某些優勢性的表征類型入手，給予學生表征間聯系的豐富機會，幫助學生全面、精確、深刻地理解知識的本質特征，促進數學理解的深入。

五年級學生用倒推的策略解決類似“小軍原有一些畫片，送給小明一半還多1張，還剩25張。小軍原有多少張畫片”這樣的問題時，由于學生對“送了一半多一張”不能正確表征，出錯率較高。究其原因，一方面本題涉及兩個角色同時發生變化，學生弄不明白該從誰的角度出發進行思考，見“多”就加；另一方面本題還牽涉到倒推“序”的問題，即在倒過去想的時候，不僅要逆著事情變化的順序進行，還要注意把后發生的變化先倒回去，再把先發生的變化倒回去，直至事情發生的初始狀態。

經過研討，我們采用了“畫路線變化圖”這一教學方法，快捷地“可視化”地呈現變化過程。教師引導學生針對兩種不同的變化路線圖，展開激烈的辨析討論：究竟哪一種變化圖是正確的？

學生紛紛用自己的方式對“送了一半多一張”的意思進行表征：

①言語表征：把“送了一半多一張”這一句話分開來敘述，“先送一半，再送一張”。

②圖形表征：

③計算表征：學生計算出結果順推，從而求證路線圖的正確性。

……

在教學中，教師為學生提供了具有豐富表征形式的學習機遇，使學生建立了多元表征形式之間的相互支持與彼此聯系，促進學生理解的生成和完善。

4．強化變式對比。

比較、對照和分組，是發展數學理解不可或缺的步驟。在形成新概念、學習新知識后，教師要引導學生將相近、相似、易混、易錯和一些形式上相似，實質不同，容易混淆的內容進行比較，讓學生在比較中鑒別隱含在不同問題背后的實質性數學內涵。例如，學生學習了乘法分配律后，出現了題①的錯誤，我即時呈現題②，讓學生進行對照比較，分析異同，為什么題②可以用分配律進行簡算，而題①卻不行。通過辨析，學生理解到題②可以簡算的真正原因是因為“除以一個數就是乘以這個數的倒數”，其本質是運用了乘法分配律。

① 5÷（+） ② （+）÷5

＝5÷+5÷ ＝÷5+÷5

＝7+9 ＝+

＝16 ＝

5．養成反思習慣。

反思是學生對自己認知過程、認知結果的監控和體會。它既包括問題表征的反思、對策略選擇的反思、對模式識別的反思、對推理過程的反思，也包括解題后對問題及方法的反思。教師引導學生進行反思、學會反思、養成批判與反思的習慣，可以減少或避免錯誤的發生。例如，當學生出現了0. 75÷0.12=6……3這一典型錯誤時，我首先引導學生觀察分析：“你從哪兒看出余數有問題？”學生很快找到了三種判斷錯誤的方法：與除數比，與被除數比，用6×0.12＋3≠0. 75進行驗算。緊接著，我又問：“出現這類錯誤的主要原因在哪里？想一想，自己為什么沒有得到正確的答案？應該怎樣糾正？”這樣教學不僅讓學生“知其錯”，更“知其所以錯”。學生在糾正錯誤的同時，深化了對知識的理解。在平時的教學實踐中，教師要指導學生將一些典型錯例記錄下來，并按照知識體系整理歸類。教師可以結合教學進度，安排專門的錯例剖析課，讓學生在找錯、改錯中，反思問題所在，剖析出錯的根源，促進數學理解的深度建構。

總之，教師對學生的錯誤要持積極的態度，把學生的錯誤看做是其數學成長歷程中的一個階段，幫助學生析錯、糾錯、防錯。這就要求我們教師在教學中應通過緊扣知識本原，制造認知沖突，加強知識間的分析比較，培養學生良好的反思習慣，促進學生發展。

（責編 藍 天）