數(shù)學(xué)猜想：基于數(shù)學(xué)事實(shí)的合情推理

猜想是在對研究的對象、問題進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等的基礎(chǔ)上，依據(jù)已有的材料及知識做出符合一定的經(jīng)驗(yàn)與事實(shí)的推測性的思維方法。雖然猜想是直觀判斷，但決不是盲目亂猜，它是在一定知識結(jié)構(gòu)中提出，以扎實(shí)的基礎(chǔ)知識為依據(jù)，使學(xué)生不僅把知識掌握牢固，而且能受到科學(xué)發(fā)現(xiàn)的方法教育，從而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。不難看出，數(shù)學(xué)猜想不僅是思維能力的范疇，也是義務(wù)教育階段培養(yǎng)的目標(biāo)之一。因此，教師在數(shù)學(xué)課堂中要倡導(dǎo)學(xué)生猜想，但這種猜想不是天馬行空，而是建立在數(shù)學(xué)規(guī)律基礎(chǔ)上的合情推理。

一、數(shù)學(xué)猜想的有效路徑

數(shù)學(xué)猜想思維是通過一定的思維方法進(jìn)行的。數(shù)學(xué)猜想思維的基本方法是學(xué)生數(shù)學(xué)猜想思維能力的基本要素。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想能力，就一定要幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)猜想思維的基本方法。

（一）通過歸納進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想

“歸納猜想”依據(jù)邏輯學(xué)觀點(diǎn)，是選取個(gè)別性知識做前提所推出一般性結(jié)論的猜想。小學(xué)階段，教師可以通過實(shí)例激發(fā)學(xué)生對“猜想”的興趣，并以合情推理進(jìn)行探索，歸納猜測出數(shù)學(xué)結(jié)論，且可證明結(jié)論正確。數(shù)學(xué)中很多著名定理皆采取不完全歸納法先發(fā)現(xiàn)后證明。比如，哥德巴赫（德國著名數(shù)學(xué)家）由3+7=10、3+17=20、13+17=30等算式發(fā)現(xiàn)兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和等于“偶數(shù)”，哥德巴赫進(jìn)行深入探索，發(fā)現(xiàn)：6=3+3；8=3+5；10=3+7=5+5；12=5+7；14=3+11=7+7；16=3+13=5+11。于是，哥德巴赫得出：任何不小于4的偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)相加的形式。此即為著名的“哥德巴赫猜想”，雖然迄今還是一個(gè)猜想，可數(shù)學(xué)家們在此猜想證明的活動中，發(fā)現(xiàn)及發(fā)明了很多的數(shù)學(xué)定理，為“數(shù)學(xué)發(fā)展”及“社會發(fā)展”作出巨大貢獻(xiàn)。在實(shí)際教學(xué)中，教師也可以依照教學(xué)內(nèi)容對學(xué)生進(jìn)行“歸納猜想”訓(xùn)練。比如，教學(xué)“多邊形的內(nèi)角和”時(shí)，可由內(nèi)角和為180°的三角形入手，從而得出四邊形內(nèi)角和為360°、五邊形內(nèi)角和為540°。進(jìn)而令學(xué)生直接猜想九邊形內(nèi)角和是多少度，n邊形內(nèi)角和為多少度，并進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生驗(yàn)證自己的猜想。

（二）通過聯(lián)想進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想

聯(lián)想猜想，由“熟悉與陌生”彼此溝通聯(lián)系，也已成為思考解決新問題的手段與策略。比如，教學(xué)“三角形面積公式”之后，學(xué)生可通過對比輕松地猜測出“梯形面積公式”的推導(dǎo)方法；在學(xué)習(xí)“圓柱體積公式”推導(dǎo)之時(shí)，可啟發(fā)學(xué)生對“圓面積公式”推導(dǎo)方法展開聯(lián)想猜想。比如教學(xué)中常見的一個(gè)例子：已知甲、乙、丙三人中僅一人會開車。甲說：“我會開汽車。”乙說：“我不會開車?！北f：“甲不會開車。”若三人僅一人說的是真話，那么誰會開車呢？教師讓學(xué)生展開聯(lián)想：甲說：“我會開車。”丙說：“甲不會開車?！奔滓苍S會開車，也許不會開，甲與丙肯定有一人講的是真話。若三人中僅有一人說真話，此人又在甲與丙中，那么乙說的是假話。因?yàn)橐抑v的是“我不會開車”，因此會開車的是乙。通過上述例子，讓學(xué)生大膽展開聯(lián)想猜想，只要學(xué)生找對知識生長點(diǎn)，即可充分發(fā)揮聯(lián)想猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動中的價(jià)值。聯(lián)想猜想，是展開數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵模式，是培育學(xué)生良好的“思維品質(zhì)”的主要方法。

（三）通過類比進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想

類比猜想，是指依據(jù)一類事物具有的某種特質(zhì)，得出與其相似的事物亦應(yīng)具有此種特性的猜想性判斷，是以對比為基礎(chǔ)的由特殊至一般的聯(lián)想手段。類比猜想是“由此及彼”及“由彼及此”的聯(lián)想手段，具有啟發(fā)思維、提供線索、觸類旁通的作用，對發(fā)展思維及創(chuàng)造思維非常有益。與歸納相同，類比在小學(xué)數(shù)學(xué)活動中不難發(fā)現(xiàn)。通過類比，由加法、減法運(yùn)算定律極易聯(lián)想到乘法、除法的運(yùn)算定律，由除法各部分彼此關(guān)系，也能聯(lián)想到分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)等。并且，類比猜想是系統(tǒng)掌握新知識、鞏固舊知識，讓新舊知識融會貫通的主要手段。實(shí)踐教學(xué)活動中，教師可有意誘導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識彼此的對比。如“分式與分?jǐn)?shù)”“分?jǐn)?shù)和除法”“乘法與加法”等的類比。鞏固舊知識，發(fā)現(xiàn)新知識，極大提升學(xué)生的學(xué)習(xí)效能。另外，教師可將“需解決的問題”和類似“已解決的問題”展開對比，讓學(xué)生進(jìn)行猜想。比如，教學(xué)“3的倍數(shù)特征”之時(shí)，一般先讓學(xué)生由“2與5倍數(shù)特征”猜測3的倍數(shù)也許會有何特征。在“2與5倍數(shù)特征”的思維定勢下，學(xué)生一般會有個(gè)位是“3、6、9”的數(shù)皆為3的倍數(shù)的猜測。此時(shí)，教師不需急著否定學(xué)生的猜測，可給出“13、23、16、76、19、89”一組數(shù)據(jù)讓學(xué)生觀察、驗(yàn)證，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突，調(diào)動學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲，啟發(fā)學(xué)生深入探究。

當(dāng)然，規(guī)律的發(fā)現(xiàn)本身就是一個(gè)不斷更新的過程，以上舉例只是滄海一粟。在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生的猜想可能貌似天馬行空，毫無路徑可言，但未必就不是一種新思考路徑的產(chǎn)生。所以，教師在教學(xué)中要持有開放的心態(tài)。

二、數(shù)學(xué)猜想教學(xué)的若干建議

數(shù)學(xué)是猜想最活躍的領(lǐng)域之一，猜想在數(shù)學(xué)中作用甚大，利用它可以發(fā)現(xiàn)解題思路，發(fā)現(xiàn)新原理、新公式等。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生大膽猜想。下面結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談一點(diǎn)教學(xué)建議。

（一）依據(jù)直觀教學(xué)，誘發(fā)猜想欲望

小學(xué)生以形象思維為主。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中要充分利用直觀教學(xué)手段，讓學(xué)生在觀察或動手中，誘發(fā)他們的猜想欲望。如在教學(xué)“圓柱體側(cè)面積”時(shí)，教師可以讓每個(gè)學(xué)生在課前都準(zhǔn)備好一張標(biāo)有長、寬數(shù)量的長方形紙，在課堂上指導(dǎo)他們通過下面的操作過程來探究知識，尋找規(guī)律。首先，先讓學(xué)生將長方形的紙卷成圓筒狀，再推平，這一卷一推，就使學(xué)生發(fā)現(xiàn)，一個(gè)圓柱的側(cè)面經(jīng)過展開（推平）可以轉(zhuǎn)化為平面圖形（長方形）。其次，讓學(xué)生重復(fù)上面的實(shí)驗(yàn)，并仔細(xì)觀察這個(gè)長方形的長和寬與卷成的圓柱形各部分之間的關(guān)系。學(xué)生通過觀察和操作，得到了感性知識，并逐步上升為理性認(rèn)識。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生大膽猜想，尋找圓柱形的側(cè)面積公式。如果有部分學(xué)生不能猜得結(jié)果，那么可讓他們做下面一組題：把圓柱的側(cè)面（ ）得到一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的長等于圓柱的（ ），寬等于圓柱的（ ），因?yàn)殚L方形的面積等于長乘寬，所以圓柱的側(cè)面積等于（ ）。這樣，這部分學(xué)生也能得到圓柱形的側(cè)面積公式了。至此，學(xué)生的求知欲望完全被激發(fā)起來了，教師就很自然地過渡到新課的教學(xué)上來。

（二）借助經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)猜想能力

蘇聯(lián)的克魯捷茨基在《中小學(xué)數(shù)學(xué)能力心理學(xué)》一書中舉了這樣一個(gè)例子：有一位學(xué)生在做題“四根管子通向水池，第1、2、3號管打開后，水池12分鐘可以灌滿；第2、3、4號管打開后，水池15分鐘可以灌滿；第1、4號管打開后，水池20分鐘可以灌滿。如果四管同時(shí)打開，問水池需要多少時(shí)間可以灌滿？”時(shí)，起初試著用列方程的方法去解，結(jié)果沒有解出。然后，她突然有所領(lǐng)悟：“管子的兩倍，……一分鐘可灌滿水池的……一組管子每分鐘灌滿水池的1/10。于是10分鐘可以把水池灌滿?！?這一解答，連她本人也說不上是怎樣想出來的。這種情況教師或許碰到過，學(xué)生或許也碰到過。無一步一步的分析，無清晰的推理步驟，而對問題突然間的領(lǐng)悟、理解或給出答案，有時(shí)會讓人欣喜若狂。在教學(xué)中，教師要讓學(xué)生用熟悉的知識和經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系、類比不熟悉的知識，從已有知識經(jīng)驗(yàn)中獲得對新知識的啟示，使之頓悟，培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力。

（三）利用推理，驗(yàn)證猜想結(jié)果

在綜合性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)情境中，固然需要對問題實(shí)質(zhì)進(jìn)行大膽的猜想，然而，猜想畢竟是猜想，它不一定是正確的，還需要利用推理進(jìn)行驗(yàn)證。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意把猜想訓(xùn)練和邏輯思維訓(xùn)練有機(jī)地結(jié)合起來。

由于小學(xué)生受知識和邏輯思維能力的限制，小學(xué)數(shù)學(xué)中有許多結(jié)論是不加以證明的，這給猜想的驗(yàn)證帶來一定的困難。但教師要給學(xué)生對某一問題的猜想作出明確的表示，讓學(xué)生信服為什么猜想是正確的或是錯(cuò)誤的。盡管猜想在解決問題時(shí)能發(fā)揮特有的作用，產(chǎn)生新的奇妙的數(shù)學(xué)意境，但它不是解決一切問題的“靈丹妙藥”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容恰當(dāng)運(yùn)用猜想，片面強(qiáng)調(diào)猜想是失之偏頗的。

總之，猜想不是胡思亂想和任意拼湊。它是一種科學(xué)的思維活動，它是以已有的表象（如數(shù)量關(guān)系的描述、圖象的示意等）為引發(fā)物，按邏輯思維的規(guī)律而進(jìn)行的思維活動。猜想的思維基礎(chǔ)往往是歸納推理，即由特殊到一般的推理。也就是對特殊情況的結(jié)論進(jìn)行一番分析，去偽存真，由表及里，找出共性（即本質(zhì)的東西），由此猜想一般性的結(jié)論該是什么。猜想能力是創(chuàng)造性思維能力的表現(xiàn)形式之一。形成科學(xué)的、智慧的猜想思維能力非朝夕之功，它需要教師長期寓猜想思維能力的培養(yǎng)于平時(shí)的教學(xué)之中，持之以恒，不斷突破，方能有所收獲。唯有如此，才能實(shí)現(xiàn)皮亞杰指出的“在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須有猜想的地位”之目的。

（江蘇省江陰市英橋國際學(xué)校 214400）