經歷學習過程 感悟思想方法

“數學廣角”是把傳統數學中的經典問題，采用生動有趣的生活事例呈現出來，使學生感受到數學思想方法的奇妙與價值。通過實驗、觀察、操作、推理等數學活動，激發學生探索數學問題的興趣和解決問題的意識，逐步發展數學思維能力。讓學生在活動中感悟數學思想方法，促進學生數學素養的提升。

第一學段：關注學生“操作體驗”， 感受數學思想方法

第一學段以簡單的排列組合、簡單的推理、集合思想、等量代換等內容蘊含數學的思想與方法。讓學生通過觀察、操作、實驗、猜測、推理與交流等活動，初步感受數學思想方法的奇妙與作用，逐步形成有序思考、全面思考的意識與方法，進而使學生“在解決問題的過程中，能進行簡單的、有條理的思考”。

第一學段的教材例題往往與生活聯系密切，學生會產生濃厚的學習興趣。讓低年級學生通過操作實踐活動，使他們在做中學，體驗生活中隱含的數學思想。

（一）加強活動操作，感悟排列組合的數學思想

例如人教版教材二年級上冊第八單元例1的教學。

出示：用1﹑2兩個卡片能擺成幾個兩位數？

師：你能用手中的兩張卡片擺成一個兩位數嗎？試一試。（學生動手擺卡片）

學生匯報。

生：我先擺1，再擺2就是12。

生：我先擺2，再擺1就是21。

其實這就是排列問題。兩個卡片的排列順序不同，就表示不同的兩位數。學生用這兩個卡片動手擺一擺，通過操作感受擺的方法以后，記錄結果，小組交流擺法。接著用三個卡片擺……在動手操作過程中體會怎樣擺才能保證不重復不遺漏，初步培養學生有序思考問題的意識。

在三年級學習的服飾搭配﹑球場的賽次問題，是學生更加系統地學習排列組合問題。衣服和褲子要不同搭配，找出不同穿法的組合數。學生先動手擺一擺，用連線來記錄不同的穿法，重點理解怎樣連線比較清楚完整，保證做到不重復不遺漏，這個過程的重點就是訓練學生有序地操作，培養學生全面思考問題的意識。

（二）借助故事情境，體會等量代換的數學思想

等量代換是數學中一種基本的思想方法，也是代數思想方法的基礎。本課通過《曹沖稱象》的故事情境，使學生初步感受等量代換的思想，為探究學習等量代換做準備。

例如三年級下冊數學廣角的教學。

感知“等量”“代換”。

師：這個故事叫《曹沖稱象》，大家覺得曹沖聰明嗎？聰明在哪里？

生：聰明！因為曹沖稱出了大象的質量。

師：大象和石頭都沉到畫線的地方說明什么？

生：大象質量和石頭質量相等。

師：曹沖的聰明體現在哪兒呢？

生：曹沖把大象換成了石頭。

生：用到很多石頭，多到和大象一樣重。

師：最后稱的是大象嗎？

生：是石頭。

生：大象不能直接稱，用相等的石頭代替。

師：曹沖的確很聰明，像這樣用一種相等的量來代替的過程叫等量代換，今天我們就來研究等量代換。

本課由經典故事“曹沖稱象”引入，這個故事學生非常熟悉，聰明的曹沖借助石頭知道了大象的重量。教師引導學生透過故事的現象看到等量代換的本質——石頭是個中間量，把大象的體重換成了重量相等的石頭，稱出了石頭的重量，也就知道了大象的體重。讓學生初步感知等量代換的含義，為下面的學習做好了鋪墊。創設這樣的故事情境能讓學生從中體會出數學味來。

生活中蘊含著大量的數學信息，學生學會了用“數學眼光”看社會，就能主動嘗試著運用所學知識和方法尋求解決問題的策略。

（三）解讀信息，關注數學思維訓練

人教版教材三年級下冊“等量代換”一課是利用天平的原理，通過解決一些簡單的問題，使學生初步體會等量代換的思想方法，為以后學習簡單的代數知識做準備。如何讓學生通過生活中容易理解的題材初步體會這種思想方法，并能夠用自己的方法解決問題是本課教學的目的。為此，根據提供的信息，有序思考、有效落實思維訓練是達成這一教學目標的根本。

師：研究兩個量的質量關系通常用天平。什么情況下表示兩個質量相等？

出示：1頭牛的質量=4只豬的質量 一只豬的質量=2只羊的質量（假設每只豬、每只羊的質量相等）。

師：從上面，你獲得了哪些信息？

生：1頭牛的質量=8只羊的質量。

師：同學們發現了牛和羊的質量關系，是通過誰知道的？（豬）

想知道牛和羊的質量關系，還能怎么說？

生：1頭牛的質量=4只豬的質量，1只豬的質量=2只羊的質量，4只豬的質量=8只羊的質量，所以1頭牛的質量=8只羊的質量。

生：2只羊的質量=1只豬的質量，8只羊的質量=4只豬的質量，就是1頭牛的質量。

生：還能用算式表示 2×4=8。

在進行深入分析、加深理解后，終于有許多同學發現了牛和羊的質量之間雖然沒有直接關系，但豬在中間起了橋梁作用。只有對已有的信息從不同的角度進行分析思考，找到它們之間的內在聯系，問題才能迎刃而解。等量代換其實也是解二元一次方程組的消元思想，通過等量代換消去一個未知數，從而求得原方程組的解。方程的實質就是用簡單的等式來代換復雜方程式的過程。這塊知識就是為以后學習代數做準備的。所以解讀信息的訓練是必不可少的。

由此可見，在第一學段里，學生通過觀察、操作、猜測、推理與交流等活動，初步感受了數學思想方法，在解決問題的過程中，學會了有條理、全面思考問題的方法，促進了學生數學思維的發展。

第二學段：注重學生“抽象建模”過程，踐行數學思想方法

實踐操作經驗是學生學好數學的基礎，“數學廣角”注重做中學，關注學生的活動體驗。為此，在第二學段通過研究數學中的經典問題，尋找解決問題的策略和方法，從而建立由具體到抽象的數學推理模型。同時，讓學生感悟數學思想，踐行數學方法，感受數學的魅力，培養學生分析、推理的能力，逐步形成探索數學問題的興趣與能力。

（一）化繁為簡，體現優化的數學思想

“化繁為簡”是數學探索發現的重要途徑，也是實踐數學優化思想的重要載體。如烙餅問題是人教版教材四年級上冊“數學廣角”第一課時的內容，向學生滲透簡單的優化思想，讓學生從中體會統籌思想在日常生活中的作用，感受數學的魅力。

師：家里的鍋每次只能烙兩張餅，兩面都要烙，烙熟一張餅的一面需要3分鐘，怎樣才能讓一家三口盡快吃上餅？（小組合作，用表格記錄）

反饋匯報。

生：烙一張餅要6分鐘，烙3張餅要18分鐘。

生：可以先烙兩張，再烙一張，這樣省時間。

師：還可以怎樣烙，更節省時間？

學生很快找到了用最少時間的規律。這樣，學生基本能理解烙餅的過程。但由于這一環節過早揭示了規律，學生在后面4張餅、5張餅的烙法上直接順應了3張餅的烙法，造成知識的負遷移。

通過反思，筆者發現，在這個環節做如下處理會更好：在烙4張餅、5張餅之前，加強3張餅烙法的對比——相同時間對比、不同時間對比，在對比中引發爭論，在感悟最優方法的基礎上再來計算烙餅所需的最少時間。這樣學生每次都能先去體會烙餅的最優方法，再聯系烙的方法來計算所需最少時間，避免了學生把研究烙餅的方法當成了找規律。在討論中深挖優勢，進行優化，才能逐步構建完善自己的知識體系。

同樣，在五年級下冊“找次品”教學中，教師不僅能讓學生體會到解決問題策略的多樣性，還能體會到運用優化的方法去解決問題的有效性。

例如教材例1 ： 5瓶鈣片，其中1瓶少了3片，你能設法把它找出來嗎？

小組活動，利用備好的學具進行試驗。

匯報交流。試驗中得出以下幾種結果：

生：隨機拿兩瓶，各放在天平上，正好找到少的那瓶。運氣很好，只稱一次。

生：把5瓶鈣片分成2-2-1三組，第一次天平兩邊各放2瓶，少的那邊再稱一次，就可以找到了。需要兩次。

有學生分別介紹了稱三次、四次的方法。

觀察討論，方法優化后得到：5瓶鈣片，至少稱兩次就能找出少的那瓶。

再如例2：有9個零件，其中有1個是次品（次品重一些），通過列表也發現至少稱兩次能找出次品。

那么零件數量為10個、11個……

這是由特殊到一般的數學分析模式，從中尋找規律，總結、提煉出最優的方法，就可以利用已經歸納出的方法去解決待測物品數更多的情況。當然，在“數學廣角”教學中還呈現著其他的數學思想，只要教師做有心人，關注數學知識背后的“思想”內涵，就能有效促進學生的數學發展。

（二）以小見大，有效建構數學的解題模型

有人說：數學是一門建構模型的學問。在建模過程中體現著數學的思想方法，實踐著數學的知識魅力。例如四年級下冊植樹問題、六年級的抽屜原理等都蘊含了數學建模過程，通過數形結合、歸納、發現等活動，獲得問題的解決。

如在植樹問題教學中出示：一條路全長500米，在路的一邊植樹（兩端都要栽），一共要準備多少棵樹苗？

師：對一邊、兩端你是怎么理解？

生：一邊只要想一條線段。

生：兩端就是首尾都要的意思。

師：還缺少什么？

師：現補充一個條件——每兩顆樹之間的間隔是5米，你能解決嗎？

在學生反饋時，教師要盡可能展示學生的解題方法。

方法1：500÷5=100（棵）

方法2：500÷5+1=101（棵）

方法3：500÷5+2=102（棵）

方法4：500÷5×2=200（棵）

討論時盡可能讓學生來闡述自己的想法，在有爭論的情況下教師提出：用什么辦法才能說得清楚呢？從簡單的情況入手解決復雜的問題，引導學生采用畫線段圖的方式，把一條線段平均分成4段，加上兩個端點，一共有5個點，也就是要栽5棵樹。透過現象發現規律，為學生建構數學模型提供了便捷途徑。讓學生在充分感知、體驗的基礎上，展開豐富的想象。在操作、思維的反復進行中，真正理解棵數為何比段數多1的道理，使學生經歷了數學化的思考過程，形成了對平分點的數量和段數之間關系的清晰認知。

“數學廣角”是實踐數學思想方法、積累數學活動經驗的重要內容。盡管“數學廣角”在整個小學數學教學中所占的份額不多，但是它的教學價值和在后續教學中的作用是不容忽視的。為此，在教學中教師要以學生為本，打開學生的思維空間，讓學生在學習活動中不斷地獲得、反思與感悟，從而促進學生的數學發展。雖然“數學廣角”內容有限，但挖掘的空間無限，多一點思考，多一些實踐，就能真正提高“數學廣角”教學的有效性。

（浙江省寧波市海曙區中心小學 315000）