“分數加減法”的校本教研活動方案（一）

現行的幾套小學數學教材把“分數的加減法”分成兩段來教學。如現行人教版、蘇教版教材都在三年級上冊第一次教學“分數加減法”（下文簡稱“分數加減法的初步認識”）。在五年級下冊第二次教學“分數加減法”（下文簡稱“分數加減法的再認識”）。現行的浙教版教材把“分數加減法的初步認識”安排在三年級下冊，“分數加減法的再認識”安排在五年級下冊。本活動方案將針對“分數加減法的初步認識”與“分數加減法的再認識”展開研究。

一、活動目標

1.經歷閱讀、思考、解答并與同伴交流有關分數加減法的相關資料與問題。

2.能夠進一步明確分數加法的定義，分數加法定義的合理性。

3.能夠經歷分數加法交換律的證明過程，體會數學推理的嚴密性。

4.能夠進一步明確分數加法定義與減法定義的不同。明確分數減法定義的優點。

二、活動時間

教研組教師先不集中，每人自己安排時間閱讀并獨立解決本方案中的問題，先獨立思考解決問題，再閱讀本方案中的參考答案。時間約3小時。再以年級組（或教研組）為單位集中交流問題的答案，時間約1.5小時。

三、活動前準備

數學組的每一個教師解答下面的問題，并準備在年級組或全數學組交流。（注：本活動方案主要涉及分數加減法的算術理論，試圖讓教師通過對以下問題的解答，回憶與增加數學的本體性知識。）

1.想一想，寫一寫，什么叫分數的加法？閱讀下文關于分數加法的定義，并回答問題。

定義：有兩個分數，分別以其中一個分數的分母乘另一個分數的分子，把所得的兩個積的和作為分子，把兩個分數分母的積作為分母，所得的分數叫做這兩個分數的和。求兩個分數的和的運算叫做分數的加法。

如果兩個分數分別為 和 （b、d均不為零），

那么 +=，

其中 與都是加數，是它們的和。

問題：

（1）想一想，這樣定義的分數加法，是不是任意兩個分數就一定可以求出它們的和？也就是兩個分數的和是否一定存在？兩個分數的和是否唯一？為什么？

（2）在上面這個分數加法定義中，是否已經包含了分數加法的運算法則（分數加法的計算方法）？如果已經包含了，那么根據定義得到的分數加法的運算法則是怎樣的？請你寫一寫。

（3）根據分數加法的定義，計算 + ； + 。

（4）平時教師在計算同分母分數加法時，計算方法是“分母不變，分子相加”。用這樣的計算方法得到的結果與按照分數加法的定義得到的計算結果相等嗎？為什么會相等？請你舉一個例子說明。

（5）平時教師在計算異分母分數的加法時，如果兩個分數的分母不是互質數，通常用兩個分母的最小公倍數做公分母，進行通分，然后用這個公分母做和的分母，用通分后兩個分子的和做和的分子。用這樣的方法計算得到的結果與用分數加法的定義計算得到的結果相等嗎？為什么會相等？請你舉一個例子說明。

（6）上面的分數加法定義中并沒有區分同分母分數加法與異分母分數加法，為什么在小學數學教材中，要分成同分母分數加法與異分母分數加法兩塊內容來教學？

（7）先閱讀下面的文字，再以+ 為例，說明分數加法的含義與整數加法的含義是相同的。

如果兩個分數是和，b、d的最小公倍數是n ，即[b，d ]=n。

根據最小公倍數的含義，假設n=bq1，n=dq2

（q1 ，q2是自然數），

那么+= （根據分數的基本性質）

= （根據假設）

= （分數加法定義）

=（整數乘法分配律）

= （分數的基本性質）

由上面的過程可知 和相加，通分后是把aq1個與cq2個合并在一起，所以分數加法的含義與整數加法相同。例如，2+5，就是從2開始，接連數5個1，結果是7。分數是同分母的情況下，可以類似地進行。分數 +就是8等分后，以為分數單位，從開始接著數5個就得到，即+ =。從數軸上看，兩個分數相加，就是相應的兩條線段疊加后線段的長度。這和整數加法也是一樣的。

這種分數加法的實質是“數量相加”（也可以稱為分數的數量加法），也就是在計數單位統一的前提下，加法就是對計數單位的累計。本質上可以通過數數的方法來計算出結果。

2.在人教版教材五年級下冊分數加減法的教學中，先創設了一個三口之家吃餅的情境，然后列出分數加法的算式：+，接著運用圖示與對話來說明計算的過程。最后出示了一個問題：想想整數加法的含義，你能說出分數加法的含義嗎？

你估計，學生可能會怎樣表達分數加法的含義？你覺得，分數加法的含義怎樣表達，比較適合于五年級下冊的學生學習？

3.在學生還沒有學習分數加法前，如果讓學生獨立去計算+ ，你估計會有學生運用“分子、分母分別相加”的計算方法得到計算結果是 嗎？如果有這樣的學生，產生這樣的計算方法的原因主要是什么？當學生得出這樣的結果時，你如何反饋評價與引導？

4.下面有三個問題以及解決這三個問題的過程，你覺得這樣的解題過程是正確的嗎？為什么？

問題1：三（1）班共有50人，其中男生25人，男生占全班人數的幾分之幾？

答：把三（1）班的全班人數看成一個整體（單位1），平均分成50份，男生是25份，所以男生占全班人數是，根據分數基本性質可得：=，因此，也可以說男生占全班人數的。

問題2：三（2）班的總人數也是50人，其中男生也是25人，男生占全班人數的幾分之幾？

答：解決過程類似于上面的問題1，男生占全班人數的，也可以說是。

問題3：如果把上面問題1與問題2中的三（1）班與三（2）班合并在一起組成一個大班，那么，在這個大班中男生占全體人數的幾分之幾？

答：因為三（1）與三（2）班的總人數都是50人，所以合并以后大班的總人數是100人。又由于兩個班的男生人數分別都是25人，因此，合并以后大班的男生總人數是50人。把合并后的大班總人數看成一個整體（單位1），平均分成100份，男生是50份，所以男生占總人數是，也就是。算式是：

+ ===

5.從上面的問題3中我們可以看到，分數加法如果定義為“分子、分母分別相加，即+= ”的話，在有些情況下，也有其合理性。這種“分子、分母分別相加”的方法，有人稱它為分數的“比例加法”。請你再舉一個例子，說明這種分數的“比例加法”有其合理性。

6.從上文分數加法的定義中，我們可以知道，兩個分數相加的和還是一個分數，但這個作為計算結果的分數的分母不是原來兩個分數分母的和，分子也不是原來兩個分數分子的和。也就是分數加法的定義不是規定為：

而是規定為：

從外形上看，①式“很對稱”“很漂亮”，②式就不如①式“好看”。從計算繁簡程度看，用①式的方法計算“很方便”“很簡單”，用②式的方法計算就比①式來得“麻煩”。

（1）想一想，為什么分數加法不用①式來定義，也就是“分子、分母分別相加”來定義？如果用①式來定義分數的加法，有什么不合理的地方？閱讀下面的兩段文字，并歸納這種分數的“比例加法”的“缺點”。

大家知道，自然數可以看成特殊的分數，即把任意一個自然數都可以看成是分母是1的分數。如自然數2，可以看成 。自然數3可以看成，于是可得：2+3=+，如果按照“比例加法”，即按照“分子、分母分別相加”的方法計算可得：2+3=+ = = 。

這樣計算得到的結果與自然數加法2+3 =5相矛盾。

如果+== 成立，那么，等式的兩邊同時乘12，

根據等式的基本性質可得：（+）×12= ×12

根據乘法的分配律可得： ×12+×12= ×12

根據分數乘法的意義可得：6+9=8，不成立！

（2）想一想，用②式定義分數的加法有什么合理性？

7.人們對于一種運算的研究，常常是先研究這種運算的定義，再研究這種運算的性質或規律。現行人教版教材五年級下冊在“分數加減混合運算”這節中寫著：“整數加法的交換律、結合律對分數加法同樣適用。”

（1）你覺得這句話是什么意思？請你舉一個例子說明。

（2）請你證明分數加法交換律（要求寫出已知、求證、證明的過程以及每一步推理的根據）并體會數學推理的嚴密性。

8.從上文中我們可以看到，在定義分數加法時，先定義了什么叫兩個分數的和，然后再定義什么叫分數加法。想一想，寫一寫，什么叫分數減法？

閱讀下面的分數減法定義，并回答問題。

定義：已知兩個分數分別為和（b、d均不為零），求一個分數，使得與的和等于，這種運算叫做分數的減法。

記作： - =。

是被減數， 是減數， 是與的差。

問題：

（1）比較分數加、減法的定義，它們有什么不相同的地方？

（2）如果也要像分數加法那樣先定義兩個分數的差，然后再定義分數減法，那么，分數減法的定義應該怎么表達，請你寫一寫。

（3）上文中的分數減法定義有什么優點？

（4）根據上面分數減法的定義，對于任意兩個分數，它們的差是否一定存在？如果差存在，是否一定唯一？

附：部分問題的參考答案

1.（1）答：由上面的定義可以看出，兩個分數的和，其分母是確定的不為零的整數的積，分子是兩個確定的整數的積的和。根據整數加法和乘法的定義，這樣的分母和分子總是存在且唯一的，所以這樣定義兩個分數的和總是存在且唯一的，也就是說，分數集合對于加法運算是封閉的。

1.（2）答：分數加法的定義已經包含了運算法則：用兩個分數的分母的積做公分母，進行通分，然后用這個公分母做和的分母，用通分后兩個分子的和做和的分子。

1.（3）（4）（5）略。

1.（6）答：主要是考慮到計算的方便。特別是在同分母分數的加法中，沒有必要根據定義給出的方法去求出兩個分數的和。按照“分母不變，分子相加”的方法計算更為簡單。

1.（7）略。

2.略。

3. 答：會有部分學生這樣計算。產生這樣的算法的主要原因是受整數加法計算方法的負遷移。可以創設情境，結合圖示與分數的意義來解釋。如把一個長方形平均分成5份，先把1份涂上紅色，問紅色部分是整體的幾分之幾？再把2份涂上綠色，問綠色部分是整體的幾分之幾？紅色與綠色合起來稱為涂色部分，涂色部分是整體的幾分之幾？

4. 問題1與問題2的解決都是正確的。問題3得到的結論是正確的，但列出的算式是錯誤的。因為，在分數加法的定義中已經規定了：

+===1

因此，在解決問題3時，合并的含義與原來的“+”號已經不是同一種含義了。也就是不能列出 +這樣的算式，一旦列出這樣的算式就要根據定義來加。事實上，這里有了另一種加的含義。可以列出一個新的表達式+，這樣的加法也可以有新的計算方法，即 +=。

5.下面的兩個例子都是可以說明合理性的。

例1：甲容器中裝有糖水200克，含糖20克；乙容器中裝有糖水300克，含糖30克。那么將甲、乙兩個容器中的糖水混合在一起，混合后的糖水的濃度是多少？混合后糖水的濃度不是 +=而是 +=== 。

例2：某人投籃，第一次投了2個球，進了1個，這一次投籃的命中率是，第二次投了3個球，也只進了1個，第二次投籃的命中率是 。這個人兩次投籃共投了5個球，共進了2個，因此，兩次投籃的命中率是 ，即 +=。

6.（1）答：從中我們可以看到，這種分數的“比例加法”，它不能和自然數的加法相容。從中發現，這種分數的“比例加法”，不能與等式的基本性質或整數的運算定律或分數乘法的意義相容。

6.（2）答：合理性可以通過以下的過程來說明。

如果兩個分數分別為和 ，（b、d均不為零），

設x=，y=。如果整數的運算規律（包括定律、性質等）適合于分數，那么，由x=，y=，可得bx=a，dy=c。

則有bdx=ad， bdy=bc。

兩式相加可得：bdx+bdy=ad+bc

得 bd（x+y）=ad+bc

x+y =

可見把 +定義為和是 ，具有合理性，這樣的分數加法能夠與自然數中建立起來的一系列規律相容。

7.（1）略。

7.（2）已知兩個分數分別為 和 （b、d均不為零）。

求證：+= +。

證明：∵ += （根據分數加法的定義）

+= （根據分數加法的定義）

又∵ ad+cb=cb+ad （根據整數加法的交換律）

bd=db （根據整數乘法的交換律）

= （根據兩個分數相等的定義）

∴ +=+（根據等量代換）

8.（1）答：主要有以下幾點不同：①分數加法的定義是先定義兩個分數的和，再給出加法的定義。分數減法的定義不是先定義兩個分數的差，再給出減法的定義。②分數加法的定義中已經包含了加法的運算法則，也就是兩個分數的和是怎么求的，在加法的定義中已經有了說明。分數減法的定義中沒有明確包含運算法則。

8.（2）答：定義：有兩個分數，分別以其中一個分數的分母乘另一個分數的分子，把所得的兩個積的差作為分子，把兩個分數的分母的積作為分母，所得的分數叫做這兩個分數的差。求兩個分數的差的運算叫做分數的減法。

如果兩個分數分別為 和 ，（b、d均不為零）。

那么 -=，

其中 叫做被減數，叫做減數， 是它們的差。

8.（3）答：這樣給出的分數減法定義主要有以下優點：①充分利用分數加法的知識，把減法轉化為“求一個加數”的運算；②明確分數加減法之間的關系，即分數減法是分數加法的逆運算；③統一了分數加法與整數加法意義，也就是這樣定義的分數減法的意義與整數減法的意義完全相同；④文字表達簡潔。如果分數減法也類似于像分數加法那樣定義，那么，就要先定義兩個分數的差，再定義分數減法運算，文字表達就比較長，不如現在這樣的定義簡潔。

8.（4）略。

（浙江省杭州市上城區教育學院 310006）