教科書中的“大約”與估算

在小學(xué)數(shù)學(xué)估算內(nèi)容的教學(xué)實踐中，有這樣的一種認(rèn)識，題目中如果有“大約”二字，就不能精確計算，一定要估算，得到的結(jié)果不允許是準(zhǔn)確值。這實際上是對估算的誤解，原因一方面是對估算本身的認(rèn)識不足，另一方面也可能是對“大約”的用法不夠明確。人民教育出版社和北京師范大學(xué)出版社出版的《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書—數(shù)學(xué)》（以下分別簡稱為《人教版教科書》和《北師大版教科書》），從一年級到六年級12冊書中，“大約”和“約”（包括“大概”）分別出現(xiàn)了270余次。為了澄清認(rèn)識，需要對“大約”在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的用法進行梳理。

按照《現(xiàn)代漢語詞典》的解釋，“大約”作為副詞后接數(shù)量時，一般表示不十分準(zhǔn)確但比較接近的意思。比如“北京到南京的距離大約1200千米”這句話中的“大約1200千米”所表達的意思是“1200千米”不準(zhǔn)確，但也差不多。“大約”并不是一個具有嚴(yán)格意義的數(shù)學(xué)術(shù)語，因此在不同語境的使用中，其含義是會出現(xiàn)差異的。

一、“無法準(zhǔn)確”中的“大約”

在數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的語言表達中，“大約”的第一種用法是表達“無法準(zhǔn)確”的數(shù)量或數(shù)量關(guān)系。比如圓周率是一個圓的周長與這個圓的直徑的比值，由于這個比值是無理數(shù)，[1]所以無法用整數(shù)或有限的十進小數(shù)表達，因此只能說“圓周率大約是3.14”或者“近似于3.14”。類似的例子還有化分?jǐn)?shù)為小數(shù)，如果將化為十進小數(shù)，由于結(jié)果是一個無限循環(huán)小數(shù)，如果用有限小數(shù)表達就不得不用上“約”或“近似于”這樣的詞匯，比如“約等于0.33”。為了準(zhǔn)確表達無限循環(huán)小數(shù)，數(shù)學(xué)家想出來的辦法是加上“循環(huán)點”，比如可以準(zhǔn)確地表達為“ =”。[2]

“無法準(zhǔn)確”的第二種情況是表達某類事物或動物的數(shù)量屬性。比如在《人教版教科書》二年級下冊第90頁中有這樣一句話：“世界上最小的鳥是蜂鳥，大約只有2克重。世界上最大的鳥是鴕鳥，大約有100千克重。”[3]這里所說的“蜂鳥”和“鴕鳥”，不是一只而是一類。當(dāng)然不可能每一只蜂鳥的體重都是2克，也不可能每一只鴕鳥的體重都是100千克。因此這里所使用的“大約”反映的是一類動物體重的普遍規(guī)律，即“蜂鳥的體重都近似于2克”以及“鴕鳥的體重都近似于100千克”。這里的“2克”或“100千克”應(yīng)當(dāng)是鳥類學(xué)家對大量蜂鳥和鴕鳥的體重進行稱量后所得到的平均值，因此這里的“大約”實際上是統(tǒng)計中“平均”的意思，因此也可以說“蜂鳥的體重平均為2克”以及“鴕鳥的體重平均為100千克”。

類似的例子還有“一條蠶大約吐絲1500米，小紅養(yǎng)了6條蠶，大約吐絲多少米？”其中的“一條蠶大約吐絲1500米”，實際上是蠶作為一類動物吐絲的普遍規(guī)律。題目中“小紅養(yǎng)的6條蠶”并不一定每條都吐絲1500米，因此利用“1500×6”計算出來的準(zhǔn)確結(jié)果9000米前仍然需要加上“大約”。諸如此類的問題表面看有“大約”，但并不屬于需要估算的問題。

第三種“無法準(zhǔn)確”的情況是對運動或變化的數(shù)量描述。在《北師大版教科書》三年級上冊第52頁有這樣的問題：“小東每分鐘走65米，從學(xué)校到家走了10分鐘，小東家到學(xué)校大約有多少米？”題目中敘述的“小東每分鐘走65米”，并不意味著小東每分鐘真的走65米，行走過程中時快時慢是很正常的事情，所以這里的“每分鐘走65米”也是一個統(tǒng)計意義的平均值，因此也可以表述為“小東每分鐘大約走65米”，或者“小東每分鐘平均走65米”。題目的問題“小東家到學(xué)校大約有多少米？”中的“大約”，并不是要求運用估算解決問題，而是伴隨著前面“大約走65米”而出現(xiàn)的。類似的例子還有：“中國大約有13億人口”，事實上人口數(shù)量每時每刻都在變化，只能用“大約”來表述。

還有一種因不可知因素的干擾造成的“無法準(zhǔn)確”的情況，也需要使用“大約”進行描述。在《人教版教科書》六年級下冊中有這樣一個問題：“一個圓柱形鐵皮水桶（無蓋），高12分米，底面直徑是高的，做這個水桶大約要用多少鐵皮？”利用鐵皮制作一個水桶自然需要對鐵皮進行剪裁或切割，過程中會出現(xiàn)邊角料，這樣的邊角料的數(shù)量是很難準(zhǔn)確計算出來的。因此題目中“大約要用多少鐵皮”中的“大約”應(yīng)當(dāng)是針對此而使用的，并不是要求計算過程要用估算。另外，這道題目的計算中還會用到無理數(shù)π，如果最后結(jié)果取了π的近似值，那么這里的“大約”就有了“近似”的含義。類似的例子還有《北師大版教科書》六年級上冊第69頁中有一個計算體積的問題：“如果把裝滿25千克大米的袋子看成長方體，量一量它的長大約是多少米，寬大約是多少米，高大約是多少米，算出它的體積大約是多少米？”題目中的“大約”并不是要求運用估算解決問題，而是針對測量可能產(chǎn)生的誤差而言的。

二、“可以準(zhǔn)確”與“大約”

估算中的大部分情況都是“可以準(zhǔn)確”表達或計算的，但鑒于計算者的主觀意愿以及為了使得計算簡單、快捷，有意把準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)或運算改變了。雖然作為結(jié)果的數(shù)據(jù)是不準(zhǔn)確的，但是可以滿足計算者的主觀意愿，這種主觀意愿往往表現(xiàn)為一個任務(wù)的目標(biāo)。

比如，需要購買4件單價為4.3元的商品，購買者首先面臨的問題目標(biāo)是“帶多少錢合適？”其主觀意愿應(yīng)當(dāng)包括兩個方面，第一是所帶錢數(shù)應(yīng)當(dāng)“夠”，其次是“合適”，也就是不要帶得太多。因此自然就會把“4.3”改變?yōu)椤?”進行計算，得到“帶20元錢就可以了”的結(jié)論。這種情況下，不會把“4.3”縮小為“4”進行計算，因為這樣計算的結(jié)果不能滿足“夠”的主觀意愿。通常也不會把“4.3”放大為“10”，因為這樣又違背了“不要太多”的主觀意愿。其中把“4.3”改變?yōu)椤?”的計算過程就是估算的過程。

在購買者購買商品的過程中，通常還會有想知道“應(yīng)當(dāng)找回多少錢”的主觀意愿。因此此時的問題目標(biāo)就是“應(yīng)當(dāng)找回多少錢”，針對這一問題目標(biāo)就需要計算“20 - 4.3×4 ”的準(zhǔn)確值，而不能夠使用估算了。

如果離開了購買者的主觀意愿，把這個情境下的問題目標(biāo)敘述為“大約需要多少錢？”那么通常的方法是將4.3改變?yōu)樽罱咏恼麛?shù)4，得到“大約16元”的結(jié)論。由此可見，在利用估算解決的問題中，“大約”并不意味著“最接近”，“是否能夠估算”以及“如何估算”是與問題的情境以及計算者的主觀意愿直接相關(guān)的。簡單地說，估算的過程是為了滿足人的主觀需要而出現(xiàn)的，這是估算區(qū)別于其他運算的主要特征，不妨稱之為估算目標(biāo)的主觀性特征。

通常的計算、簡算和近似計算往往對計算結(jié)果是有客觀要求的，同時人的主觀意愿都是追求準(zhǔn)確。特別是“近似計算”，通常是在“無法準(zhǔn)確”的情況下，不得已而為之的計算。比如在計算圓的周長或面積的時侯，由于無理數(shù)π 無法用有限十進小數(shù)表示，不得已采用四舍五入取近似值。雖然結(jié)果是不準(zhǔn)確的，但人的主觀意愿還是追求盡量準(zhǔn)確。因此近似計算與估算是有本質(zhì)上的差異的，不能將二者混為一談。

鑒于估算目標(biāo)的主觀性特征，在數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中應(yīng)當(dāng)特別注意問題情境與問題目標(biāo)的設(shè)計，如果設(shè)計不好就會給學(xué)生造成不知所措的感覺。比如這樣的問題：“小明有20支水彩筆，媽媽又給他買了12支，小明現(xiàn)在大約有多少支水彩筆？”其中的“大約”就令人費解。命題者的意圖可能是希望學(xué)生將“12”變?yōu)椤?0”，然后通過“20+10”計算出“大約30支”的結(jié)論。這就會讓學(xué)生難以理解，準(zhǔn)確計算出有32支并不困難，為什么要少算2支呢？類似的問題還有：“估計全家每天的住宿費是120元，如果住宿2周，估計住宿費約多少元？”此類問題的特點是把問題目標(biāo)定位于“（大）約有多少”，而沒有說明知道了“（大）約有多少”之后要干什么，因此估算的過程實際上是沒有目標(biāo)，自然估算方法的選擇也就缺少了依據(jù)。數(shù)學(xué)教科書和教學(xué)中還經(jīng)常出現(xiàn)“夠不夠”或“能不能”的問題目標(biāo)，比如《人教版教科書》二年級上冊第31頁的問題（見圖1）。

題目中列舉了三種商品價格分別為：熱水瓶28元、燒水壺43元和水杯24元，問題目標(biāo)是“100元夠不夠”。此類問題的教學(xué)通常都是“先估算，后判斷”，也就是先估算出三種商品的總價格“大約是多少”，然后通過比較與100的大小關(guān)系，進而得到“夠”或“不夠”的結(jié)論。應(yīng)當(dāng)說這樣的問題比前面僅僅把問題目標(biāo)定位于“大約有多少”進了一步，是把估算作為達成另外一個目標(biāo)的手段，通過估算得到一個與人的主觀意愿有關(guān)的判斷。

需要注意的是此類問題的思考順序并不是“先估算，后判斷”。針對圖1問題，教科書給出的一種解法是：“買熱水瓶后大約剩70元，買燒水壺后大約還剩30元，買水杯夠了”。其中“買熱水瓶后大約剩70元”是將熱水瓶單價“28元”放大為“30元”計算的，之后“買燒水壺后大約還剩30元”是將燒水壺單價“43元”縮小為“40元”計算的。因此此時所說的“大約還剩30元”不是真的“30元”，其準(zhǔn)確值是一個比30元小的數(shù)量。從“30元夠買水杯”并不能推理出比30元小的錢數(shù)也夠的結(jié)論。如果上述過程中把燒水壺的單價放大為“45元”，其中第二步就變?yōu)椤百I燒水壺后大約還剩25元”，由于兩次都是將單價放大，因此剩下錢數(shù)的準(zhǔn)確值一定比25元大，那么從“25元夠買水杯”就可以知道剩下的錢數(shù)一定“夠買水杯”了。

綜上說明“大約”后面的近似數(shù)與所表達的準(zhǔn)確數(shù)的大小關(guān)系也是與問題目標(biāo)緊密相關(guān)的。“大約有多少”估算方法的選擇需要結(jié)合問題目標(biāo)進行思考，估算與判斷不是“先因后果”的關(guān)系，而應(yīng)當(dāng)是“互為因果”的關(guān)系。

三、沒有“大約”的“大約”

有時問題表述中可能并不含有“大約”，但問題的思考過程或多或少都會與“大約”的含義相聯(lián)系。比如這樣一句話“小明2012年的年齡是8歲”，即使明確是按周歲計算，這個說法也是不準(zhǔn)確的。假定小明是2004年1月1日出生的，那么到了2012年1月1日，小明從出生開始計算就整整經(jīng)歷了8年，此時可以認(rèn)為是8歲。如果到了2012年11月30日，那么小明的年齡更準(zhǔn)確的說法就應(yīng)當(dāng)是“月齡”，即小明的月齡為（12×8+11）=107個月，可以換算為“8歲零11個月”，或者是“8歲”。比月齡更精確的說法當(dāng)然還可以有周齡、日齡以及時齡等。因此更加嚴(yán)格的說法應(yīng)當(dāng)是“小明2012年周歲的年齡大約是8歲”，只不過人們更習(xí)慣沒有大約的說法。

這個例子說明所謂的“準(zhǔn)確”是相對的，而且是與量綱（也就是計量單位）有關(guān)系的。比如如果用“千米”作為計量單位，那么可以說“北京到南京的距離是1157千米”，如果把計量單位改為“米”，那么這個距離就肯定不是“1157000米”。

因此在需要使用估算解決的問題的表述中，不一定非要含有“大約”之類的詞語。關(guān)鍵要看問題的目標(biāo)與情境的思考是否可以估算，也就是要讓估算自然出現(xiàn)，而不是用“大約”等詞匯“強迫”進行估算。下面以一個“設(shè)計班會”的情境為例進行說明。

班干部要組織一次40分鐘的主題班會，班主任老師希望全班43名學(xué)生要有超過一半都能夠發(fā)言。那么就需要給每個發(fā)言的限定時間，如何規(guī)定這個限定時間合適呢？

針對這一問題，首先要思考“超過43的一半至少應(yīng)當(dāng)是22”，因此確定第一個結(jié)論是“至少要有22名學(xué)生發(fā)言”。第二要思考除了學(xué)生發(fā)言需要占用時間之外，還有主持人的開場白以及老師的總結(jié)發(fā)言等等，假定這樣的時間確定為“10分鐘”，這個數(shù)據(jù)其實就不可能是完全準(zhǔn)確的，雖然沒有使用“大約”，但已經(jīng)有了大約的含義。接下來的思考就是剩余的30分鐘如何平均分配給22名學(xué)生，當(dāng)然就可以把其中的“22”看作“20”，計算出“30÷20=1.5”，這樣就可以得到每名發(fā)言同學(xué)的時間應(yīng)當(dāng)限定為“不超過1分半”。有了這樣估算的過程，就為給發(fā)言的學(xué)生提出要求確定了依據(jù)，同時也使得班會主持人在主持會議期間心中有數(shù)了。

再看一個“幾點起床”的例子，幾乎每一個走讀的小學(xué)生在家中都會設(shè)定一個早晨起床的時間。思考和討論的問題是：“你是怎樣確定自己起床時間的？”針對此需要思考的問題至少包括三個方面：

（1）幾點以前要到學(xué)校？

（2）上學(xué)路上需要多少時間？

（3）起床后洗漱、早餐等需要多少時間？

這些問題的表述中都可以加上“大約”，比如“上學(xué)路上大約需要多少時間”，但是否使用“大約”并不是最重要的，重要的是針對“怎樣確定起床時間”這一問題目標(biāo)，估算過程是自然而然地融入到問題的思考中了。而且這樣的問題，無論是答案還是過程都是因人而異的，這種“開放性”應(yīng)當(dāng)成為估算問題的一個特征，也是估算問題設(shè)計的一個原則。

綜上所述，在數(shù)學(xué)教科書中所使用的“大約”可以區(qū)分為兩種情況，一種是因為無法準(zhǔn)確不得已而使用的，這種情況應(yīng)當(dāng)把后接的數(shù)量理解為“近似值”，需要根據(jù)問題的要求確定其近似程度。第二種情況是可以準(zhǔn)確，但為了使得表述更加簡明或計算過程更加簡捷而有意更改為不準(zhǔn)確，這種情況下要特別注意更改本身不是目的，而是在達成問題目標(biāo)的基礎(chǔ)上盡可能使得計算簡捷。因此可以將估算的特征概括為：無需準(zhǔn)確、追求簡捷，達成意愿。

目前估算教學(xué)的一個誤區(qū)是，看見“大約”就要估算。這與數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中估算問題的設(shè)計有關(guān)，如果問題設(shè)計得好，即便其中沒有大約，估算的思考也會融入其中。此類問題設(shè)計的基本原則是問題的情境要真實、完整，問題的目標(biāo)要個性并且開放。

注釋：

[1]“無理數(shù)”英譯為“Irrational Number”，在數(shù)學(xué)中是相對于“有理數(shù)”的一個概念。“有理數(shù)”英譯為“Rational Number”，其中的“有理（Rational）”來源于“比（Ratio）”的意思。也就是說所謂有理數(shù)其實是“可比”的數(shù)，無理數(shù)是“不可比”的數(shù)。古希臘人崇尚“萬物皆數(shù)”，其中的數(shù)其實就是可比的數(shù)，也就是現(xiàn)在所說的整數(shù)以及整數(shù)之間的比。當(dāng)有人發(fā)現(xiàn)用一個正方形的邊長去測量這個正方形的對角線永遠量不盡時，對當(dāng)時人們關(guān)于數(shù)的認(rèn)識產(chǎn)生了巨大沖擊，因此被后人稱之為數(shù)學(xué)的第一次危機。從而拓展了人們對數(shù)的認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)除了整數(shù)和整數(shù)的比之外，還存在一種數(shù)是不能夠用整數(shù)或整數(shù)的比表達的，這種數(shù)就被稱之為無理數(shù)了。小學(xué)數(shù)學(xué)中的圓周率指的是一個圓的周長與這個圓的直徑長度的比，換言之就是如果用直徑去量周長，三次后再用周長剩余長度反過來測量直徑，如此反復(fù)，這個過程永遠量不盡。因此圓周率就是一個不可比的數(shù)，也就是無理數(shù)，用有限十進小數(shù)無法表達其準(zhǔn)確值，沿革歷史的約定俗成，就用希臘字母中的第16個字母“ π”表達其準(zhǔn)確值了。前面提及的邊長為1的正方形的對角線長度也是一個無理數(shù)，用符號“ ”表達其準(zhǔn)確值。

[2]到了大學(xué)的數(shù)學(xué)課程中還可以用無窮級數(shù)的方式表達為“ = ”。

[3]這里需要注意，“重量”和“質(zhì)量”是兩個不同的概念。重量實質(zhì)上是“重力”的大小，也就是地球?qū)ξ矬w吸引力的大小，所以重量其實是“力”的大小。而質(zhì)量是物體自身的屬性，不受外界的影響。如果說一個人的質(zhì)量是60千克，那么無論這個人是在地球上還是在月球上，這個質(zhì)量是不改變的，都是60千克。而人的重量是由質(zhì)量和地球吸引力兩個因素影響的，質(zhì)量為60千克的人到了月球上，體重可能就是10千克了。“克”與“千克”是質(zhì)量單位，不是重量單位。教科書中的類似說法實際上是一種約定俗成，并非科學(xué)的表述。

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）