利用幾何畫板繪制圓錐曲線的統一軌跡

朱日華

● 前言

軌跡是數學圖像的重要組成部分，幾何畫板是展示軌跡生成和動畫演示不可或缺的技術工具。教材和教輔上的絕大多數軌跡問題在筆者的精心研究下總能迎刃而解，但教材中的一道軌跡問題卻困擾了筆者好幾個月，在反反復復的苦心探究下，最終獲得了圓滿解決。正是這個問題的解決，使筆者對軌跡的認識有了極大的提高，構建了自己的軌跡理論，為以后遇到的類似軌跡問題提供了一個清晰的構圖方向。在此，筆者將其編撰成文，以饗讀者。

● 軌跡理論

軌跡生成的原理是從一個主動點出發，依托幾何畫板提供的功能，按照一系列規則做出從動點，從而生成軌跡（或演示動畫）。

每一個軌跡生成或動畫演示問題，無論復雜與否，都可以概括為一個（或幾個）從主動點到從動點的構圖過程。與紙上作圖不同，幾何畫板上的點線具有“父子”的層次關系，要生成最終軌跡，必須保證主動點與從動點的“父子”層次關系的單向傳遞性，一系列構圖規則的確定都必須遵循這一原則。

● 問題的背景

橢圓、雙曲線、拋物線是圓錐曲線家族的三成員，它們除了各自的身份和特征，還具有一個統一的定義：平面內到一個定點和到一條定直線（定點在直線外）的距離之比等于常數的點的軌跡叫做圓錐曲線，其中，定點是焦點，定直線是準線，常數是離心率，當常數小于1時，軌跡是橢圓；當常數等于1時，軌跡是拋物線；當常數大于1時，軌跡是雙曲線。

一般情況下，三種圓錐曲線的圖像都是單一呈現的，構造其中任一軌跡都不困難，而統一定義中需要通過離心率控制同一軌跡的變化來體現三種圓錐曲線的連續變化和內在聯系，卻十分具有挑戰性。

這是一個經典的軌跡問題，提供的基礎對象有一條直線及這條直線外一點，還有一個離心率參數。簡單而言，正如圖1所示，在已知離心率e的情況下，如何從直線DH及直線外一點F出發，做出符合條件 的點P（其中PH為點P到直線DH的距離，FD⊥DH）？

問題簡潔而明確，但構圖的規則如何確定？

● 難點剖析

通過分析我們了解到圖1中的點A是曲線的頂點，同樣滿足 ，因此，可以在垂線段FD上任取一點A，標記比值為離心率。這樣，可以通過改變點A的位置來控制離心率的大小。點P需要滿足條件 ，點P是明確的從動點，但主動點如何探求？

● 解決方案

1.方案一

如果將直線DH向左右分別平移長度d得到兩條新直線，再以點F為圓心、e.d為半徑構造新圓，新直線與新圓相交的交點P即滿足條件。循此思路，可得如圖2所示的構圖規則。

①過點F作已知直線的垂線段FD，并在FD上任取一點A，測量并標記比值 （即離心率e ）；②構造射線FD，在射線FD上任取一點B，點B為主動點；③以點F為縮放中心，將點B按標記比值縮放，得到新點B'，再依次選擇點F、B'，構造新圓；④分別標記向量FB和BF，將已知直線向左右平移，得到兩條新直線（虛線），兩條新直線與新圓相交，可產生四個交點，分別為P1、P2、P3、P4，這四個點均為滿足條件的從動點（如果構圖時，不能產生交點，可適當調整點A，使比值 變大，再調整點B增大圓的半徑即可產生所需交點）；⑤選擇點B、P1，構造軌跡，同樣構造點P2、P3、P4的軌跡，至此圓錐曲線統一軌跡構造成功。

隱藏作圖的痕跡后，拖動點A從點F向點D移動，離心率會從0向無窮大變化，可以觀察到軌跡從橢圓到拋物線、再到雙曲線的一個連續巧妙的變化過程，三種曲線的內在統一的聯系一目了然。

品析：要掌握軌跡的構圖精義，需要充分了解構圖對象之間的聯系及層次關系。本構圖方案中，點A的地位非常重要，它最終控制了軌跡變化的過程，但在作圖過程中，它僅僅是參數e的提供者，是一個靜止的對象；主動點B的探求是關鍵性的，它是所有后繼構圖及最終生成軌跡的基礎，主動點B取在射線FD上的主要目的一是用于標記向量便于平移直線，二是便于縮放得到新圓的半徑，三是有了射線FD，就足以取到任意大小的圓。

2.方案二

從演示效果來看，方案一已解決了問題，但從生成的軌跡來看，圖像卻不能令人滿意，由于計算精度的問題，橢圓、雙曲線的兩支都是不完整的。為了盡善盡美地展現軌跡，筆者對三種圓錐曲線的共同性質進行了大量的深入的研究，期待發現一個統一的性質可以利用。終于，找到了一個可供構圖的性質。

圓錐曲線統一性質：如圖3是圓錐曲線的一部分，記焦點F，頂點A，準線l，過點A作對稱軸FA的垂線m，設點P為曲線上任意一點，∠PFA的平分線交l于點Q，交m于點C，延長AC到點E，使AC=CE，則P、E、Q三點共線。

從性質可以看出，只要點P的位置確定，其他對象的位置均確定。反過來，如果以F為起點構造任一條射線，能否找到確定的點P？循此思路，可得如圖4的構圖規則。

①過點F作已知直線的垂線段FD，在FD上任取一點A，測量比值（即離心率）；②以點F為圓心作任意大小的圓，在圓周上任取一點B，點B為主動點；③作直線BF，過點A作線段FD的垂線m，作∠BFA的平分線交l于點Q，交m于點C，延長AC到點E，使AC=CE；④作直線QE交直線BF于點P，則點P為所需從動點；⑤選擇點B、P，構造軌跡，至此，圓錐曲線統一軌跡構造成功。

品析：此方案下的軌跡是完整連續的圓錐曲線，拖動點A，圓錐曲線的變化更加連貫自如；構圖時，主動點的選擇是講究的，不適宜使用平面上的自由點，為了控制方便，一般都取在某條曲線上，本方案中用圓周上的點控制射線的轉動便于軌跡的生成和動畫演示。

● 提升

軌跡生成和動畫演示占據了幾何畫板的半壁江山，理解并掌握軌跡生成的原理是學好幾何畫板的基礎，在思考構圖規則時需要關注如下幾點。

①所有軌跡問題不管繁簡，都有三要素：主動點、從動點、作圖規則。②從動點作為生成軌跡的運動點，往往是明確的，也是一系列作圖規則的最終目標。③主動點應是唯一的。有的軌跡問題會提供某一曲線上的動點，這是當然的主動點，但是如果沒有，則要探求合適的主動點。④主動點一般取在某一已知曲線或新構造曲線上，包括直線、圓、函數圖像、軌跡等，必要情況下可以是曲線的一部分。要盡量保證主動點的運動路徑使從動點生成軌跡時既不重復也不遺漏，重復會產生不必要的運算，遺漏則使軌跡不完整。⑤主動點與從動點之間是具有嚴格的“父子”層次關系的。除了已有的圖元對象和另外提供的參數，從主動點到從動點的作圖過程中，所有產生的新對象都必須是單向“父子”關系傳遞的中間一環，不能出現彼此獨立的對象。