捆綁法和插空法的運用和聯系

張會書

捆綁法和插空法是解排列組合問題的重要方法之一，主要用于解決“相鄰問題”及“不鄰問題”．總的解題原則是“相鄰問題捆綁法，不鄰問題插空法”．在實際教學過程中，我發現學生經常碰到這樣的困惑，就同一類型的題目，表達的形式有所變化，就很難用已解過的題目的方法去解決它，從而降低了學習效率．下面結合有關捆綁法和插空法的不同變化形式，以實際例題詳細講解．

“相鄰問題”捆綁法，即在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先將其“捆綁”后整體考慮，也就是將相鄰元素視作“一個”大元素進行排序，然后再考慮大元素內部各元素間排列順序的解題策略．

例１ 若有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五個人排隊，要求Ａ和Ｂ兩個人必須站在相鄰位置，則有多少種排隊方法？

解析 題目要求Ａ和Ｂ兩個人必須排在一起，首先將Ａ和Ｂ兩個人“捆綁”，視其為“一個人”，也即對“Ａ，Ｂ”，Ｃ，Ｄ，Ｅ“四個人”進行排列，有２４種排法．又因為捆綁在一起的Ａ，Ｂ兩人也要排序，有２種排法．根據分步乘法原理，總的排法有４８種．

例２ 有８本不同的書，其中數學書３本，外語書２本，其他學科書３本．若將這些書排成一列放在書架上，讓數學書排在一起，外語書也恰好排在一起的排法共有多少種？

解析 把３本數學書“捆綁”在一起看成一本大書，２本外語書也“捆綁”在一起看成一本大書，與其他３本書一起看作５個元素，共有１２０種排法；又３本數學書有６種排法，２本外語書有２種排法．根據分步乘法原理共有排法１４４０種．

提示 運用捆綁法解決排列組合問題時，一定要注意“捆綁”起來的大元素內部的順序問題．解題過程是“先捆綁，再排列”．

“不鄰問題”插空法，即在解決對于某幾個元素要求不相鄰的問題時，先將其他元素排好，再將指定的不相鄰的元素插入已排好元素的間隙或兩端位置，從而將問題解決的策略．

例３ 若有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ五個人排隊，要求Ａ和Ｂ兩個人必須不站在一起，則有多少種排隊方法？

解析 題目要求Ａ和Ｂ兩個人必須隔開．首先將Ｃ，Ｄ，Ｅ三個人排列，有６種排法；若排成ＤＣＥ，則Ｄ，Ｃ，Ｅ“中間”和“兩端”共有四個空位置，也即是：〕 Ｄ〕 Ｃ〕 Ｅ〕，此時可將Ａ，Ｂ兩人插到四個空位置中的任意兩個位置，有１２種插法．由乘法原理，共有排隊方法７２種．

例４ 在一張節目單中原有６個節目，若保持這些節目相對順序不變，再添加進去３個節目，則所有不同的添加方法共有多少種？

解析 直接解答較為麻煩，可根據插空法去解題，故可先用一個節目去插７個空位（原來的６個節目排好后，中間和兩端共有７個空位），有７種方法；再用另一個節目去插８個空位，有８種方法；用最后一個節目去插９個空位，有９種方法．由乘法原理得：所有不同的添加方法為７ × ８ × ９ ＝ ５０４（種）．

例５ 一條馬路上有編號為１，２，…，９的九盞路燈，為了節約用電，可以把其中的三盞關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，則所有不同的關燈方法有多少種？

解析 若直接解答須分類討論，情況較復雜．故可把六盞亮著的燈看作六個元素，然后用不亮的三盞燈去插７個空位，共有３５種方法，再重頭編號，就對應要求的一種亮燈和滅燈的方式，因此所有不同的關燈方法有３５種．

練習 某校慶新春聯歡活動，高三年級的８個班每一個班都準備了一個節目，且節目單已排好．節目開始前又增加了３個教師節目，其中兩個獨唱節目，一個朗誦節目．如果將這３個節目插入到原節目單中，要求教師節目不排在第一個，也不排在最后一個，并且教師的兩個獨唱節目不連續演出，那么不同的排法有（〓〓）．

Ａ． ２９４種〓〓Ｂ． ３０８種〓〓Ｃ． ３７８種〓〓Ｄ． ３９２種

答案 Ｄ

提示 運用插空法解決排列組合問題時，一定要注意插空位置“先排列，再插空”．