淺談反比例函數有關面積問題的解題教學淺談反比例函數有關面積問題的解題教學

徐文海

【摘要】反比例函數是初中函數部分的重要教學內容，函數題目里有一種專門的題型就是有關面積問題的：有已知，求面積；有面積，求未知；探索型面積問題等。這種題型難度相對較大，需要綜合運用知識，所以在課堂教學中，教師要注重方法的傳授，提高學生解答有關面積問題題目的能力。

【關鍵詞】初中數學；反比例函數；面積

根據反比例函數的定義我們知道，如果兩個變量間的關系可以表示成y=kx（k為常數，k≠0）的形式，那么稱y是x的反比例函數，它的圖像是雙曲線，可以稱為“雙曲線y=kx”。當k>0時，它的兩個分支分別在第一象限和第三象限內無限伸展；在每一象限內，y隨x值的增大而減小。當k<0時，它的兩個分支分別在第二象限和第四象限內無限伸展；在每一象限內，y隨x值的增大而增大。近年來，為了提高中學生綜合運用數學知識的能力，反比例函數題目里往往加入有關面積問題的求解，這部分題型難度較大，筆者總結分析了這類題型的特點和出題規律，試將這類題目的解答方法介紹如下。

一、有已知，求面積

這一類題型就是給出已知的條件，或點的坐標，或函數解析式等，然后根據題意求三角形或其他形狀的圖形面積。

例1 如圖，Rt△ABO的頂點A是雙曲線y=kx與直線y=-x+(k+1)在第四象限的交點，AB⊥x軸于B，且S△ABO=32。

（1）求這兩個函數的解析式；

（2）求直線與雙曲線的兩個交點A，C的坐標和△AOC的面積。

分析 （1）要求函數的解析式關鍵是求出點A的坐標，于是設A（x,y），然后將線段OB,AB的長度表示出來，根據S△ABO=12×OB×AB=32，可以求出k=-3，從而得到反比例函數的解析式為y=-3x,一次函數的解析式為y=-x-2。

（2）求交點的坐標就是聯立兩個函數式y=-3x，y=-x-2，將其組成方程組，再解出方程組的解x1=-3,y1=1;x2=1,y2=-3，得到交點的坐標A(1,-3),C(-3,1)。而△AOC的面積一般不能夠直接求出，而是轉化為有一邊在坐標軸上的三角形的面積的和或差。設直線AC與y軸交于點D，則D點坐標為(0,-2)，所以OD=2，于是△AOD和△DOC的面積之和就是△AOC的面積，S△AOC=S△AOD+S△DOC=12×2×1+12×2×3=4。

一次函數與反比例函數圖像中的面積問題一般轉化為三角形的面積來求，而且這樣的三角形通常至少有一邊在坐標軸上，三角形的高就是另一點的橫坐標或縱坐標的絕對值。

二、有面積，求未知

這一類題型往往給出一個三角形的面積，而要求某個數的值，比如求k值或者解析式的值。學生可先用帶有某個未知數的式子表示三角形的面積，通過面積求出未知數，從而使問題得以解決。

例2 如圖，已知一次函數y=-x+8和反比例函數y=kx(k≠0)的圖像在第一象限內有兩個不同的公共點A，B。

（1）求實數k的取值范圍；（2）若△AOB的面積S=24，求k的值。

分析 （1）因為Ａ，B兩點是一次函數y=-x+8和反比例函數y=kx的交點，所以可以把這兩個解析式結合起來組成方程組，消去y，得x2-8x+k=0，又Δ=64-4k＞0，k＜16。設兩個公共交點的坐標A（x1,y1），B（x2,y2），又x1＞0，x2＞0，所以，x1+x2=8＞0，x1x2=k＞0（或者從圖像可知k＞0），所以，0＜k＜16。

（2）在y=-x+8中，令x=0，得y=8，所以可以得出ＯＣ＝８，S△AOＢ=S△ＣOＢ-S△ＣOＡ=12OC?x2-12OC?x1=24，又x2-8x+k=0，用k代替里面的x1與x2等值，可以求出k=7。

這道題需要先把兩個解析式組成方程組，得出一個二元一次方程，利用兩個函數的交點個數確定k的取值范圍。在第二問中已知△AOB的面積S=24，而△AOB可以轉化成兩個小三角形來表示，這樣就順利地把面積與函數聯系起來，從而輕松地求出k的值。

三、關于探索型面積問題

所謂探索型面積問題是指有些題目中的已知量并不是常量，往往是一個動態變化的過程，或分成幾種情況討論，或其值為一個固定常數等。

總之，初中反比例函數有關面積問題的題目無外乎以上三種類型，當然在具體的試題當中也有許多變形和衍化，這就需要學生靈活運用，融會貫通，通過勤練習，一定能夠掌握解答這類題型的方法和技巧。

【參考文獻】

［1］肖建祥。淺談反比例函數圖像中的面積問題。讀與寫（教育教學刊），2009(3)。

［2］王濤。與反比例函數有關的面積問題解析。資治文摘(管理版)，2009(7)。