淺談一元二次方程根的判別式的應用

鄭國榮

一元二次方程根的判別式，是初中數學的一個重點，中考必考知識點，它是解答數學問題的重要工具和方法，應用十分廣泛，不僅用于方程的解和根的差別，而且作為一種解題方法，在代數、方程（組）、不等式、函數、幾何等都有非常廣泛的應用 . 下面舉例說明.

1. 方程中的應用

（１）方程根的判別：一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）……（■）當Δ ＞ ０時，方程（■）有二個不相等實根；當Δ ＝ ０ 時，方程（■）有二個相等實根；當Δ ＜ ０時，方程（■）沒有實根.

例１ ｋ為實數，討論一元二次方程ｘ２ ＋ （ｘ － ｋ）２ ＝ １６……①根的情況.

解 將方程①化為關于ｘ的一元二次方程的一般式：２ｘ２ － ２ｋｘ ＋ ｋ２ － １６ ＝ ０，Δ ＝ （－２ｋ）２ － ４ × ２（ｋ２ － １６） = -4k2 + 128.

當Δ ＝ -4k2 + 128 ＞ ０，即－４■ ＜ ｋ ＜ ４■時，方程①有兩個不相等實根；

當Δ ＝ -4k2 + 128 ＝ ０，即ｋ ＝ －４■或４■時，方程①有兩個相等實根；

當Δ ＝ -4k2 + 128 ＜ ０，即ｋ ＜ －４■或ｋ ＞ ４■時，方程①沒有實根.

（２）求方程的整數解

例２ 求方程x2 + 3y2 = x - y - 2xy②的整數解.

解 把②化成關于ｘ的一元二次方程的一般式：ｘ２ ＋ （２ｙ－ １）ｘ ＋ ３ｙ２ ＋ ｙ＝ ０，Δ ＝ （２ｙ － １）２ － ４ × １ × （３ｙ２ ＋ ｙ） = -8y + ■2 + 3，因ｘ為實數，故Δ ≥ ０，即-8y + ■2 + 3 ≥ ０，解得：-■ - ■ ≤ y ≤ ■ - ■，又ｙ為整數，故ｙ ＝ －１和０，易得原方程的整數解：x = 1，y = -1，x = 2，y = -1，x = 0，y = 0，x = 1，y = 0.

2. 代數式中的應用

（１）用于二次三項式ax2 + bx + c（ａ ≠ ０）……（■）在實數內因式分解或判別. 若Δ ＞ ０，（■）式在實數內可分解成兩個不同的一次因式的積；若Δ ＝ ０，（■）式在實數內可分解為兩個相同的一次因式的積；若Δ ＜ ０，（■）式在實數內不能分解因式.

例３ 討論二次三項式5x2 - 6x + m③在實數內因式分解的情況.

解 Δ ＝ （－６）2 - 4 × 5m = 36 - 20m.

若Δ ＞ ０，即ｍ ＜ ■時，③ 式在實數內可分解成兩個不同的一次因式的積；

若Δ ＝ ０，即ｍ ＝ ■時， ③ 式在實數內可分解成兩個相同的一次因式的積；若

Δ ＜ ０，即ｍ ＞ ■時，③式在實數內不能分解因式.

（２）用于代數式求最值

例４ ｘ為實數，求代數式：■……④的最值.

解 設■ ＝ ｙ，去分母整理，得

（ｙ － ６）ｘ２ ＋ （２ｙ －１２）ｘ ＋ ２ｙ － １０ ＝ ０.（*）

Δ ＝ （２ｙ － １２）２ － ４（ｙ － ６）（２ｙ － １０） ＝ －４（ｙ － ５）２ ＋ ４.

因為ｘ為實數且■ｘ２ ＋ ｘ ＋ １ ≠ ０，故Δ ≥ ０，

即－４（ｙ － ５）2 + 4 ≥ ０，解得：4 ≤ y ≤ 6.

但y = 6時，方程（*）無意義，所以y ≠ 6，故④式有最小值４.

3. 不等式中的應用

例５ 已知：■a - 2011 b = c……⑤，求證：a2 ≥ 4bc.

證明 設■ = x，則⑤式為：xa - x2b = c，即bx2 - ax + c = 0，因ｘ為實數，故Δ ＝ （－ａ）2 - 4bc ≥ 0，即：a2 ≥ 4bc.

４. 二次根式中的應用

例６ 已知方程x2 - 2ax + a2 + a - 1 = 0沒有實數根，化簡：■ - ■ - a.

解 因為方程x2 - 2ａｘ ＋ ａ２ + a － １ ＝ ０沒有實數根，

故Δ ＝ （－２ａ）２ － ４ × １ × （ａ２ ＋ ａ － １） < ０，解得：ａ > １.

所以■ - ■ - a＝ ■ - ■ - a =

|a - 1| - ■ - a.

又ａ > １，所以a - 1 > ０，■ - a < ０；

故■ - ■ - a ＝ a - 1 - -■ - a ＝

a - 1 + ■ - a = -■.

５.二次函數中的應用

（１）判別拋物線ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）……（＆）與ｘ軸的交點. 若Δ ＞ ０，則拋物線（＆）式與ｘ軸有兩個交點；若Δ ＝ ０，則拋物線（＆）式與ｘ軸有一個交點；若Δ ＜ ０，則拋物線（＆）式與ｘ軸無交點.

（２）判別拋物線ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ ≠ ０）……（☆）與直線ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｍ……（◇）的位置. 將（☆）與（◇）組織方程組，消去ｙ得關于ｘ的一元二次方程. 當Δ ＞ ０時，拋物線（☆）與直線（◇）相交；當Δ ＝ ０時，拋物線（☆）與直線（◇）相切；當Δ ＜ ０時，拋物線（☆）與直線（◇）相離.

只要我們潛心研究，還可發現一元二次方程差別式在更多領域的應用. 聯農業化學家普良尼施尼柯夫說：“知識不是某種完備無缺、純凈無瑕、僵化不變的東西. 它永遠在創新，永遠在前進. ” 教學中，教師只要對學生認真引導，培養學生自主學習、合作學習、探究學習的學習精神，學生就會掌握更多解決數學問題的方法，感受學習成果的愉悅，提高數學興起，也為學生終身學習數學、研究數學打下良好基礎.