例談用正弦余弦定理解三角形

趙建軍

解三角形是高中數學必修五的主要內容，是初中“解直角三角形”內容的拓展與延續，也是三角函數和平面向量在解三角形中的應用. 通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，定量地揭示三角形邊、角之間的數量關系，而正弦定理與余弦定理是反映三角形元素度量關系的重要定理，是解決三角形邊與角度量關系的強大工具. 然而，學生在遇到此類問題時，卻不知何時該用哪個定理. 基于此，本文主要就此作了歸納總結.

１． 已知一邊和兩個角，解三角形

例１ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ２０，Ａ ＝ ３０°，Ｃ ＝ ４５°，求Ｂ，ｂ，ｃ．

思維導引 由正弦定理先求角C對應的邊長c.

解析 ∵ Ａ ＝ ３０°，Ｃ ＝ ４５°，∴ Ｂ ＝ １８０° － （Ａ ＋ Ｃ） ＝ １０５°.

又由正弦定理得c = ■ = ■ = 20■，

b = ■ = ■＝ ４０ ｓｉｎ（４５° ＋ ６０°）= 10（■ + ■）.

∴ Ｂ ＝ １０５°，ｂ ＝ １０（■ ＋ ■），ｃ ＝ ２０■．

規律方法 已知三角形的任意兩個角及一邊，由三角形內角和定理可以先求出三角形的另一角，再由正弦定理計算出三角形的另兩邊.

２． 已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形

例２ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ■，ｂ ＝ ■，Ｂ ＝ ６０°，求Ａ，Ｃ，ｃ．

思維導引 先由正弦定理求另一邊的對角，再由內角和定理求第三角，最后求第三邊.

解 由正弦定理有■ = ■，解得sin A = ■．

由a < b，得A < B． ∴ A = 45°，C = 75°．

c = ■ = ■ = ■.

規律方法 已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，解三角形. 先由正弦定理求另一邊的對角（要注意有可能兩解），再由內角和定理求第三角，最后求第三邊.

３． 已知兩邊及其夾角，解三角形

例１ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ２■，ｃ ＝ ■ ＋ ■，B = 45°，解三角形．

思維導引 先由余弦定理求第三邊和另一個角，再由內角和定理求第三個角．

解 由余弦定理，得ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃ ｃｏｓ Ｂ ＝ ８，

∴ ｂ ＝ ２■．

由正弦定理，得sin A = ■ = ■ = ■．

∵ c > a > b，∴ A為銳角．

∴ A = 60°，C = 180° - 45° - 60° = 75°．

４． 已知三角形的三邊，解三角形

例４ 在△ＡＢＣ中，已知ａ ＝ ７，ｂ ＝ ３，c = 5，求三角形最大角.

思維導引 先由余弦定理求兩個角，再由內角和定理求第三個角． 在三角形中，大邊對大角，所以邊a所對角最大．

解 ∵ a > c > b，∴ A為最大角．

由余弦定理求得cos A = ■ = -■.

∴ A = 120°． A為最大角．

一個三角形有三個角和三個邊共六個量，我們一般要確定一個三角形，至少需要已知三個量（至少一邊）. 一邊和二角，二邊和一角，三個邊. 解三角形的綜合問題，除靈活運用正弦定理與余弦定理外，還要注意三角形性質，以及三角恒等變形的應用.