淺談初中數學教學中的創造性學習

楊興梅

【摘要】 在初中數學教學中，要變“教”為“導”，營造一種生動活潑的教學氣氛. 要充分利用學生的新奇感，引導學生觀察，鼓勵學生聯想，進行創造性學習.

【關鍵詞】 數學教學；創造性學習

當前改革發展素質教育，強調對學生的創新能力和創新精神的培養，數學教育改革之一在于引導學生進行創造性學習. 要想讓學生學好數學，想要有一理想的教育效果，中學數學教育就必須引導學生進行創造性學習，以下是在教學中引導學生進行創造性學習的一點做法.

一、變“教”為“導”，營造一種生動活潑的教學氣氛. 把學生引入到“設境——探究——分析——發現——解決”的主動學習過程中去

例如：證明兩線段或兩角相等的過程中，有這樣一道題：

例1 已知：⊙Ｏ，⊙Ｏ′交于Ｐ，Ｑ兩點，過Ｐ點作直線ＡＰＢ，ＣＰＤ分別交⊙Ｏ于Ａ，Ｃ，交⊙Ｏ′于Ｂ，Ｄ，且∠ＡＰＱ ＝ ∠ＤＰＱ，求證：ＡＢ ＝ ＣＤ.

分析Ⅰ 就現有圖形來看，無任何三角形可供利用，故應設法添置輔助線，以ＡＢ，ＣＤ為對應邊構造出全等三角形，并且使這兩個三角形與已知條件有充分的聯系，自然想到利用兩圓的另一交點Ｑ，連接ＱＡ，ＱＢ，ＱＣ，ＱＤ，要證ＡＢ ＝ ＣＤ，只須證△ＱＡＢ ≌ △ＱＣＤ. 很容易發現∠ＱＡＢ ＝ ∠ＱＣＤ，∠ＱＢＡ ＝ ∠ＱＤＣ. 于是只須證ＱＡ ＝ ＱＣ（或ＱＢ ＝ ＱＤ），連接ＡＣ，只須證∠ＱＡＣ ＝ ∠ＱＣＡ就可以了，因為∠ＱＡＣ ＝ ∠ＱＰＤ，∠ＱＣＡ ＝ ∠ＱＰＡ，因而只要∠ＱＰＤ ＝ ∠ＱＰＡ就行了，這恰與已知條件相吻合，故命題得證.

證明 （如圖１）連接ＱＡ，ＱＢ，ＱＣ，ＱＤ，ＡＣ.

∠ＱＰＤ ＝ ∠ＱＰＡ∠ＱＡＣ ＝ ∠ＱＰＤ∠ＱＣＡ ＝ ∠ＱＰＡ

?圯∠ＱＡＣ ＝ ∠ＱＣＡ，ＱＡ ＝ ＱＣ

又∵∠ＰＡＱ ＝ ∠ＰＣＱ

∠Ｂ ＝ ∠D

?圯△ＱＡＢ ≌ △ＱＣＤ?圯ＡＢ ＝ ＣＤ.

分析Ⅱ 因為ＡＢ，ＣＤ各與兩圓的弦長有關，考慮到垂徑定理和等量的同分量相等，自然會將矛盾轉化為ＡＢ ＝ ＣＤ ?圯 ＥＦ ＝ ＧＨ（圖２），仍然看不出ＥＦ，ＧＨ之間關系的原因，是因為它們所處的位置不利，若分別將它們平移到ＯＭ和Ｏ′Ｎ，只須證明Ｒｔ △ＯＭＯ′ ≌ Ｒｔ△Ｏ′ＮＯ就夠了，因為ＯＯ′為共用斜邊，故只須證∠ＯＯ′Ｍ ＝ ∠Ｏ′ＯＮ就行了，再聯系到已知的∠ＱＰＡ ＝ ∠ＱＰＤ及Ｏ，Ｋ，Ｐ，Ｇ和Ｏ′，Ｋ，Ｐ，Ｈ分別共圓，問題就解決了.

證明 （如圖２）Ｏ′，Ｋ，Ｐ，Ｈ和Ｏ，Ｋ，Ｐ，Ｇ分別共圓.

∠Ｏ′ＯＮ ＝ ∠ＱＰＤ∠ＯＯ′Ｍ ＝ ∠ＱＰＡ∠ＱＰＡ ＝ ∠ＱＰＤ

?圯 ∠Ｏ′ＯＮ ＝ ∠ＯＯ′Ｍ∠Ｏ′ＮＯ ＝ ∠ＯＭＯ′ ＝ ９０°ＯＯ′ ＝ ＯＯ′

?圯 Ｒｔ△Ｏ′ＮＯ ≌ Ｒｔ△ＯＭＯ′?圯 ＯＭ ＝ Ｏ′Ｎ ?圯 ＥＦ ＝ ＧＨ ?圯 ＡＢ ＝ ＣＤ.

二、在教育教學中，發現學生有一種新奇感，并且對新東西善于聯想，是進行“創造性學習”的好素材

如：證一線段為另一線段的２倍，可證長線的一半等于短線，或證短線的２倍等于長線.

例：三角形任一頂點至垂心的距離，等于外心至對邊的距離的二倍. 針對這個問題，可以拓展學生思維，通過邏輯因果關系的分析，來改善學生的思維空間，實現學生認知能力的飛躍和突破，從而促進學生想象能力的不斷增長.

例2 已知：Ｈ是△ＡＢＣ的垂心，Ｏ是外心，ＯＬ⊥ＢＣ于Ｌ. 求證：ＡＨ ＝ ２ＯＬ.

分析Ⅰ 作直徑ＢＤ，則ＯＬ的２倍為ＣＤ（即ＯＬ ＝ ■ＣＤ），那么只須證ＡＨ ＝ ＣＤ即可，因ＡＨ，ＣＤ均垂直于ＢＣ，故平行，若再得ＡＤ∥ＨＣ即可. 不難發現它們都垂直于ＡＢ，故四邊形ＡＤＣＨ為平行四邊形，∴ ＡＨ ＝ ＣＤ ＝ ２ＯＬ.

證明 （如圖３）作直徑ＢＤ，連接ＡＤ，ＣＤ，則２ＯＬ ＝ ＤＣ.

∴ ＡＤ⊥ＡＢ，ＤＣ⊥ＢＣ.

∵ Ｈ是△ＡＢＣ的垂心，

∴ ＣＨ⊥ＡＢ，ＡＨ⊥ＢＣ.

∵ ＡＤ∥ＣＨ，ＣＤ∥ＡＨ，

∴ 四邊形ＡＨＣＤ是平行四邊形，

∴ ＡＨ ＝ ＣＤ，∴ ２ＯＬ ＝ ＡＨ，即ＡＨ ＝ ２ＯＬ.

分析Ⅱ 作△ＡＣＨ的中位線，把ＡＨ折半為ＭＮ，只須證ＭＮ ＝ ＯＬ即可. 因ＯＬ，ＭＮ都垂直于ＢＣ，故平行可轉證ＯＭ與ＬＮ也平行，由平行四邊形的對邊相等確定ＯＬ ＝ ＭＮ. 由垂心、外心和中位線的性質，ＯＭ∥ＢＨ∥ＬＮ即可得證.

證明 （如圖４）作△ＡＣＨ的中位線ＭＮ，連接ＯＭ，ＬＮ,.

∴ ＭＮ∥ＡＨ，且ＭＮ ＝ ■ＡＨ.

又∵點Ｏ是外心，點Ｈ是垂心，

∴ ＡＨ∥ＯＬ，ＢＨ∥ＬＮ∥ＯＭ（ＢＨ⊥ＡＣ，ＯＭ⊥ＡＣ），

∴ 四邊形ＯＬＮＭ是平行四邊形，

∴ ＯＬ ＝ ＭＮ，∴ ＡＨ ＝ ２ＯＬ.

分析Ⅲ 若取ＡＨ的中點Ｅ，只要證ＥＨ ＝ ＯＬ就行了，這可以構造全等三角形來證明，取ＢＨ的中點Ｆ，ＡＣ的中點Ｍ，連ＥＦ，ＯＭ，ＬＭ，則得△ＨＥＦ和△ＯＬＭ的對應邊互相平行，且ＥＦ ＝ ＬＭ，所以全等. 所以ＡＨ ＝ ２ＥＨ ＝ ２ＯＬ.

證明 （如圖５）取ＡＨ的中點Ｅ，ＢＨ的中點Ｆ，ＡＣ的中點Ｍ，連接ＥＦ，ＯＭ，ＬＭ.

∴ ＥＦ∥ＡＢ且 ＥＦ ＝ ■ＡＢ，ＭＬ∥Ｂ 且ＭＬ ＝ ■ＡＢ，即ＥＦ∥ＭＬ，且ＥＦ ＝ ＭＬ .

又∵點Ｏ是外心，點Ｈ是垂心，

∴ ＢＨ⊥ＡＣ，ＯＭ⊥ＡＣ，ＡＨ⊥ＢＣ，ＯＬ⊥ＢＣ，

∴ ＦＨ∥ＭＯ，ＥＨ∥ＬＯ，

∴ ∠ＦＥＨ ＝ ∠ＭＬＯ，∠ＥＦＨ ＝ ∠ＬＭＯ.

在△ＨＥＦ和△ＯＬＭ中，

∠ＦＥＨ＝∠ＭＬＯ，ＥＦ＝ ＭＬ，∠ＥＦＨ ＝ ∠ＬＭＯ.

∴ △ＨＥＦ ≌ △ＯＬＭ（ＡＳＡ），∴ ＥＨ ＝ ＯＬ，∴ ＡＨ ＝ ２ＯＬ.

三、引導觀察，啟發想象

在教育過程中引導學生對所學內容進行全面、深入、正確的認識，可以讓學生在觀察中獲得新的發現，從而進行“創造性學習”. 而創造離不開想象，必須想方設法采用一切可能去培養學生的想象能力，從而為學生的創造打下優良基礎，在教學設計中，可以通過學生進行一系列具有邏輯因果關系的想象活動的訓練，來改善學生的思維空間，實現認知能力的飛躍和突破，從而促進學生想象能力的不斷增長，這樣就能讓學生順利展開“創造性學習”，有助于提高分析問題、解決問題的能力.

例3 ＢＣ為⊙Ｏ的直徑，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足為Ｄ，■ = ■，ＢＥ和ＡＤ交于Ｅ，求證：ＡＥ ＝ ＢＥ（圖６）

分析Ⅰ 如圖７，連接ＡＢ，ＡＣ，由ＢＣ為⊙Ｏ的直徑可推出∠ ＝ ９０°，即∠ＢＡＥ ＋ ∠ＥＡＣ ＝ ９０°. 由ＡＤ⊥ＢＣ，可得∠Ｃ ＋ ∠ＥＡＣ ＝ ９０°，即可得到∠ＢＡＥ ＝ ∠Ｃ，又由已知的■ = ■可推出∠ＡＢＥ ＝ ∠Ｃ，這樣即可得到∠ＡＢＥ ＝ ∠ＢＡＥ，即結論成立.

證明 略.

分析Ⅱ 如圖８，連接ＡＢ，ＦＣ，由ＡＤ⊥ＢＣ，可得∠ＥＤＢ ＝ ９０°，由ＢＣ為⊙Ｏ的直徑，可推出∠ＢＦＣ ＝ ９０°，即∠ＥＤＢ ＝ ∠ＢＦＣ. 觀察圖中得∠ＥＢＤ ＝ ∠ＦＢＣ，即可得出△ＢＥＤ ∽ △ＢＣＦ，于是得∠ＢＥＤ ＝ ∠Ｃ. 觀察圖中得∠ＢＥＤ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ ∠ＡＢＥ，∠Ｃ ＝ ∠ＢＡＥ ＋ ∠ＡＢＥ，由結合圖得∠Ｃ ＝ ２■ = ■∠ＡＢＥ，所以∠ＡＢＥ ＝ ∠ＢＡＥ得ＡＥ ＝ ＢＥ.

證明 略.

分析Ⅲ 如圖９，連接ＡＢ，ＯＡ，由已知■ = ■， 可推出ＯＡ平分ＢＦ，且經過圓心Ｏ，于是ＯＡ⊥ＢＦ，即∠ＡＥＦ ＋ ∠ＯＡＥ ＝ ９０°，又由ＡＤ⊥ＢＣ，可得∠ＢＥＤ ＋ ∠ＥＢＤ ＝ ９０°. 觀察圖中可得∠ＡＥＦ ＝ ∠ＢＥＤ，從而可得∠ＯＡＥ ＝ ∠ＥＢＤ①. 由圖中得ＯＡ ＝ ＯＢ，所以∠ＯＡＢ ＝ ∠ＯＢＡ②，② － ①，得∠ＯＡＢ － ∠ＯＡＥ ＝ ∠ＯＢＡ － ∠ＥＢＤ，即∠ＢＡＥ ＝ ∠ＡＢＥ，于是得結論ＡＥ ＝ ＢＥ.

分析Ⅳ 如圖１０，連接ＡＢ，并將半圓Ｏ畫成整圓，延長ＡＤ交輔助半圓于點Ｍ，由已知的ＢＣ為⊙Ｏ的直徑，ＡＤ⊥ＢＣ，可推出■ = ■，而■ = ■是已知的，所以可由■ = ■推出∠ＢＡＥ ＝ ∠ＡＢＥ，從而結論成立.

證明 略.

題目還可變為“ＢＣ為⊙Ｏ的直徑，ＡＤ⊥ＢＣ，垂足為Ｄ，■ = ■，ＢＦ和ＡＤ交于Ｅ，求證：（１）ＡＦ２ ＝ ＢＥ·ＢＦ；（２）若ＢＤ ＝ １，ＡＤ ＝ ２，求ｔａｎ∠ＤＢＥ的值；（３）求證：ＢＦ ＝ ２ＡＤ”等進行觀察，啟發想象.

總之，“創造性學習”的形式多種多樣，除了以上的方法，還可以在教學中根據不同氣氛，不同形式采用不同的方法進行創造性學習.