對投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的認(rèn)知及案例分析

李志軍

【摘要】投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型是利用數(shù)學(xué)工具對國民經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中各部門之間產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出的內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行全面綜合描述的一種經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，是現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)管理工作者所必備的經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)工具.本文主要將其與經(jīng)濟(jì)管理中的常見問題聯(lián)系起來，探析相關(guān)數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建及其具體應(yīng)用價(jià)值，從而闡述了它是進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測、推斷和決策的非常適用且實(shí)用的研究方法和工具.

【關(guān)鍵詞】投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型；最優(yōu)化；平衡方程；應(yīng)用價(jià)值

投入產(chǎn)出法是由諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者Wassily W.Leontief教授于20世紀(jì)30年代首先創(chuàng)立，目前已廣泛應(yīng)用于世界各國家、各地區(qū)及各類企業(yè)的經(jīng)濟(jì)運(yùn)行管理中，具有非常重要的意義.它是一種用來全面分析經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)內(nèi)部各部門間的消耗與生產(chǎn)（即投入與產(chǎn)出）之間的數(shù)量依存關(guān)系的線性模型，一般稱為投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型.它的基本方法是通過編制投入產(chǎn)出平衡表，然后據(jù)此建立數(shù)學(xué)模型，再利用各種數(shù)學(xué)方法及電子計(jì)算技術(shù)來進(jìn)行分析研究，是進(jìn)行經(jīng)濟(jì)預(yù)測及規(guī)劃管理的一種非常有效的工具.經(jīng)過多年的不斷深入研究，投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型已經(jīng)得到了非常深入的發(fā)展，發(fā)展出了許多種不同分類的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，而每種模型又有自己獨(dú)特的功能與應(yīng)用.

一、投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的分類

投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型有多種分類方法，但從大體上可以分為兩類：一類是閉模型，在這類模型中所有產(chǎn)品都被參加生產(chǎn)的部門全部消耗；另一類是開模型，在這類模型中產(chǎn)品的一部分被參加生產(chǎn)的部門消耗，而其余部分由其他部門消耗.當(dāng)然我們平常接觸得最多的是開模型的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，其按照不同的情況有多種不同的分類方式：（1）按反映的時(shí)期分為動態(tài)型與靜態(tài)型.（2）按計(jì)量單位的不同分為勞動型、能量型、價(jià)值型、實(shí)物型等.（3）按資料范圍分為國家型、地區(qū)型、企業(yè)型等.（4）從統(tǒng)計(jì)的對象分為隨機(jī)型與離散型.（5）按資料的性質(zhì)和內(nèi)容分為報(bào)告期和計(jì)劃期兩類.

二、投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的功能

投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型可以清楚地反映國民經(jīng)濟(jì)各部門、再生產(chǎn)各環(huán)節(jié)以及產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而進(jìn)行情況分析、經(jīng)濟(jì)預(yù)測、制訂計(jì)劃及計(jì)劃調(diào)整.其在經(jīng)濟(jì)分析方面有非常多的用途，比如：（1）研究和確定國民經(jīng)濟(jì)中許多重要的結(jié)構(gòu)分析，如三大產(chǎn)業(yè)之間的結(jié)構(gòu)比例關(guān)系、儲蓄和消費(fèi)的比例關(guān)系等.（2）研究某些產(chǎn)品的價(jià)格變動對其他產(chǎn)品價(jià)格的影響，即對價(jià)格變動幅度的關(guān)系進(jìn)行分析與討論.（3）研究生產(chǎn)與消耗部門之間如果結(jié)構(gòu)發(fā)生變動對各部門所產(chǎn)生影響的相互關(guān)系.（4）研究農(nóng)村教育狀況、農(nóng)村基礎(chǔ)設(shè)施的投入水平對新農(nóng)村建設(shè)的影響.（5）研究分析污染治理設(shè)施投資對經(jīng)濟(jì)的影響和污染治理設(shè)施運(yùn)行成本對經(jīng)濟(jì)的影響等.在制訂或調(diào)整計(jì)劃方面，它也有多種用途，比如：（1）對經(jīng)濟(jì)前景進(jìn)行分析、預(yù)測從而制定最優(yōu)發(fā)展規(guī)劃.（2）制定科學(xué)合理的產(chǎn)品價(jià)格.（3）根據(jù)情況變化對各部門進(jìn)行綜合平衡.（4）預(yù)測未來各類需求情況.（5）構(gòu)建各類投資對經(jīng)濟(jì)貢獻(xiàn)的大小及比例等.

三、投入產(chǎn)出平衡表及基本平衡方程

2.基本平衡方程

產(chǎn)品分配平衡方程：x璱=∑nj=1x璱j+y璱 （i=1，2，…，n），矩陣形式：x=Ax+y

產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程：x璲=∑ni=1x璱j+N璲（j=1，2，…，n），矩陣形式：x=Dx+z

直接消耗系數(shù)：a璱j=x璱jx璲 （i，j=1，2，…，n）

四、投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型的案例分析

例1 假設(shè)某經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)由三個(gè)部門金屬、石油、電力構(gòu)成，每個(gè)部門各生產(chǎn)一種產(chǎn)品，本年度它們的生產(chǎn)和消耗情況如下表所示（單位：億元）.

問題：據(jù)預(yù)測，兩年后總產(chǎn)量需要分別增長30%，20%，40%，求最終產(chǎn)量的增長情況.

解 設(shè)該經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)計(jì)劃期總產(chǎn)出和最終產(chǎn)品分別為X=x1，x2，x3琓，Y=y1，y2，y3琓，

則該系統(tǒng)的金屬部門總產(chǎn)量為x1=900（1+4%）=1170，石油部門總產(chǎn)量為x2=800（1+20%）=960，電力部門總產(chǎn)量為600（1+40%）=840.從而

A=0.2780.1250.3330.1110.1880.1670.1690.1250.167，E-A=0.712-0.125-0.333-0.1110.812-0.167-0.169-0.1250.833，

Y=E-AX=445.02509.37381.99.故兩年后三個(gè)部門的最終產(chǎn)量分別為：金屬部門445.02億元，石油部門509.37億元，電力部門381.99億元.于是可以預(yù)測兩年后三個(gè)部門最終產(chǎn)量的增長幅度分別為：

金屬部門增長：445.02-350[]350=27.15%，

石油部門增長：509.37-450[]450=13.19%，電力部門增長：381.99-250[]250=52.79%.

例2 在上例中，如果市場預(yù)測四年后的消費(fèi)需求量（最終產(chǎn)量）為y4=600800450，求所需要的總產(chǎn)量.

解 由AX+Y=X得X=E-A-1Y4，

即x1x2x3=0.712-0.125-0.333-0.1110.812-0.167-0.169-0.1250.833-1600800450=1.6050.3570.7130.2951.3360.3860.3660.2271.401600800450=1569.451419.501031.65.

即四年后各部門所需要的總產(chǎn)量為：金屬部門1569.45億元，石油部門1419.50億元，電力部門1031.65億元.也就是說，我們根據(jù)市場預(yù)測的需求總量，得到了若干年后所需要的總產(chǎn)量，從而為下一步制訂出科學(xué)合理的計(jì)劃打下了科學(xué)的基礎(chǔ).

五、結(jié)束語

由以上案例可以看出，投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型是一種非常重要的具有深厚意義與價(jià)值的研究工具，不管是對宏觀經(jīng)濟(jì)的研究還是對微觀經(jīng)濟(jì)的研究都有無可替代的作用.當(dāng)然，對于投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型本身的研究還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有結(jié)束，還有很多需要進(jìn)一步深入研究的地方.目前投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型研究的發(fā)展趨勢是把投入產(chǎn)出法與線性規(guī)劃、非線性規(guī)劃、動態(tài)規(guī)劃模型等相結(jié)合，從而編制最優(yōu)化模型.

【參考文獻(xiàn)】

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