“精講多練”要求下的數學概念的教學

白帆

【摘要】新課改實施以來，各種不同的教學理論，不同的教學方法正在各個學校展開，無一例外的都要求教師在課堂上少講或者不講.以“導學稿”教學法為例，課堂上“以教師為主導，以學生為主體，自主學習，主動建構”，但是作為數學知識體系的基礎——概念的教學一直讓不少教師不敢放手給學生自主習得.本文依據數學概念本身的特點和學生的認知結構，結合筆者教學經驗探討如何才能在精講多練的要求下做到概念的有效教學.

【關鍵詞】概念；構建；學習

眾所周知，數學概念是數學科學知識體系的基礎，同時數學概念有是數學思維的一種形式，數學概念的學習與學生對數學知識的掌握、合理的數學認知結構的形成以及數學能力的提高都有密切的相關.因此不少教師在數學概念的教學上仍舊無法舍棄多講、仔細講的習慣，由此學生在課堂上的學習負擔加重，學習效果卻降低.高中數學中的大多數概念是在一些相對具體的概念的基礎上，進一步經過多級抽象概括的過程才產生和發展而成的.對概念的定義又大多數是內涵定義，學生在自主學習概念時一般都可以讀懂其字面的意思，卻很難將其應用到具體問題中.那么在“精講多練”的要求下，教師應當如何進行數學概念的教學以提高課堂效率呢？

一、通過學生大膽嘗試揭示概念的內涵

以往的數學概念教學中，教師從多種背景、多種層次、多個側面、多維結構等方面去揭示概念的內涵，使學生明確概念的本質屬性，但是很多學生即使當時聽懂老師的講解，在遇到自己獨立解決某些問題的時候仍然出錯，另一方面也會助長學生過分依賴教師的思想，總是認為教師講得越多越好，越細越好，越易懂越好，習慣了“聽”的學生對概念的理解難以深刻.美國心理學家桑代克的嘗試錯誤學習理論告訴我們，有些問題學生沒有自己主動提出問題，主動思考，并大膽嘗試，就無法真正理解和掌握.

如：初中時學生已經學習解決含絕對值的等式問題，如﹟x|=2，則x=±2，進入高中解決含絕對值的不等式問題時，卻出現|x|<2，則x<±2，其原因在于學生對于含絕對值的等式問題的解決已經進入程序化的思維過程，遺忘了絕對值概念的最為基礎的定義是|x|=x，x>0，

-x，x<0，

同時沒有深入理解“如果a>b，c<0，則ac

又如：在學習面面平行的性質定理“如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行”時，即便老師強調多次需要的三個條件分別為：∵α∥β，α∩γ=a，│隆搔錨=b，才可以得出a∥b，但是學生卻經常會使用為“∵α∥β，a雞粒琤雞攏則a∥b”.

以上兩個例子說明，即便是老師特別強調的不要理解概念上的誤區，學生在解決實際問題r 時候卻仍然“執迷不悟”，有些問題必須讓學生出錯，才能真正明白概念.雖然這樣的方法有時在課堂上學生無法完成對概念更深入的學習，但是學生對于概念內涵的理解有時并不是在某一節課就可以完成的，有時需要幾天，甚至是幾個月的時間才能慢慢掌握，如函數的概念，所以即使在課堂上學生無法嘗試到從足夠多的角度去理解概念，但是在后續的學習和練習中，學生可以不斷地補充，完善自己對于某一概念的理解.

二、通過學生自主建構形成概念的體系

概念體系是一組概念中彼此之間存在的一些特定的數學抽象關系，以往的數學復習課中，教師一般通過概念圖的方法，將每一個概念在平面上用一個點對應地表示出來，然后用有向線段把有關系的點連接起來.但這種教師總結出來，學生學習的概念圖，充其量僅僅是一個知識梳理的作用，對于學生加深對于概念的理解以及概念彼此之間的抽象關系的掌握并沒有幫助，學生必須通過自主建構形成的概念體系才能促進學生對于概念的深入理解.建構主義學習觀認為：學習過程不只是信息的輸入、存儲和提取，而是新舊經驗之間的雙向的相互作用過程，也是學習者與學習環境之間雙向建構的過程.所以概念體系的形成應該是在學習過程中逐漸建構出來的，而不是學習完成之后總結出來的.

如在學習空間點線面位置關系一章中，學習了直線與平面平行的判定與性質后，學生已經掌握的概念如下圖：

如此時，學生根據概念圖很自然地會思考：面面平行能否得到線面平行？線線平行能否得到面面平行？如果可以得到，需要附加什么條件？從而通過自主探究，建構如下圖：

通過筆者日常教學觀察，這部分知識由于相對比較集中，概念彼此之間條件相似性很高，學生經常出現即使能夠熟練背誦定理的內容，但是在實際應用時仍然出錯，其原因在于沒有理清概念彼此之間的關系和內在的聯系，導致概念的混淆和套用.

三、通過小組合作學習實現概念的應用

概念的應用包括低層次的知覺水平的應用和高層次的思維水平的應用.一般來說，低層次的知覺水平的應用是對概念自身結構和內涵的理解，涉及概念體系中其他概念因素較少；高層次的思維水平的應用是一個比較復雜的過程，它需要學習者通過外部信息去激活、選擇和提取相關的概念和命題，并將其與當前問題聯系起來，經過解題訓練，將這些經驗內化為個體的認知結構.從人的認知結構可知，那些現實的、綜合的、復雜的實際問題，需要使用學過的理論知識綜合地處理才能解決問題，這一類問題沒有統一的解決問題的途徑，沒有程序化的解題模式，運用小組合作討論的教學方法可實現這一部分知識的學習.

如一階遞推數列的知識中，學生已經掌握了等差數列和等比數列的概念，由等比數列的知識學習形如a璶=﹑a﹏-1+猶（其中p，q為常數）類的一階遞推數列不再是難題，但是學生卻并不能理解為何要設a璶+λ=p（a﹏-1+λ），此時需要老師引導學生從等比數列的定義a璶=a﹏-1·p上思考，如果變成了a璶+λ=（a﹏-1+λ）·p，則構造出了一個新的等比數列{a璶+λ}，即a璶=pa﹏-1+q型的一階遞推數列問題.由此引導學生小組間合作討論：“除了能加一個

λ外，還有哪些變化呢？”通過互相命題解答，再合作思考討論，學生很自然會出現a璶+n=（a﹏-1+n）·p這一類錯誤的構造，引發學生對

a璶=pa﹏-1+（p-1）n這一類問題的思考及一階遞推數列的構造關鍵在于什么地方，易錯點在于什么地方，從而實現對數列定義的深入理解和對等比數列概念的更深刻的思考，以及以后面對更復雜的一階遞推數列問題的思維導向，如對于a璶+x琻=（a﹏-1+x﹏-1）·p的構造.

概念的應用是概念學習中最難的一部分，也是學生從學習到應用的轉化過程，不少學生正是由于沒有足夠的時間和機會去觀察、思考和發現才導致了對于數學學習的恐懼心理，小組合作學習為學生應用概念和理解概念提供了機會和平臺，通過小組成員之間的互相溝通，互相作用，知識與策略的共享與共融，使得信息的加工更深入，概念的理解更深刻.

【參考文獻】

[1]崔克忍.中學數學教學論[M].北京：北京師范大學出版社.

[2]羅增儒，李文銘.數學教學論[M].西安：陜西師范大學出版社.