技巧在中學數學中的應用

李豐

人們運用所掌握的知識去完成某種實際任務的能力，叫技能.經過反復練習，技能達到熟練近乎自動化的程度就是技巧.為了加強基礎，培養能力，提高學習興趣，保證學生解題簡潔、明了、快速，拓寬學生的思維，教師在教育教學過程中重視數學解題技巧的積累與培養是必不可少的.現將本人在教育教學中常用的一些解題技巧介紹如下，與大家共勉.

1.巧構模型

通過構造模型來解決實際問題的方法稱為數學模型法，簡稱MM方法，是解數學題的一種經典方法，它是從典型事跡中提煉出來，解決相關問題的一種帶有指導意義的方法.笛卡爾說：“我解決每一道難題，都使它變成一個規范.”應用MM方法的基本步驟可用框圖表示如下：

具體實例：

例 在足球比賽中，甲方邊鋒從乙方所守球門附近帶球過人沿直線向前推進，試問：邊鋒在何處射門命中率最大？

分析 人高、球門高、球員射門力度等因素可不予考慮，設球門兩立柱分別為A，B兩點，邊鋒為C，則實際是求：當C在何處時，∠ACB最大？

解 把角旗處當坐標原點，邊線與底線分別作為橫軸、縱軸，設C到球門AB的距離CD=x，OA=a，OB=b，（a>b>0，a，b為定值），從而有點（0，a），（0，b），（x，0），于是問題就變成了x取何值時，∠ACB最大的問題了.

模型 設∠ACB=α，∠BCO=β，∠ACO=α+β，顯然：0<α<π[]2.

∵tanα=tan（α+β-β）=tan（α+β）-tanβ[]1+tan（α+β）tanβ=a[]x-b[]x[]1+ab[]x2=a-b[]x+ab[]x≤a-b[]2ab ，

當且僅當x=ab[]x即x=ab時，tanα最大，由于在0<α<π[]2上tanα為單調增函數

∴當x=ab時，∠ACB=α取得最大值為arctana-b[]2ab，即說明邊鋒距球門線ab時，射門命中率最大.

2.巧用公式

公式是用數學語言對數學概念的一種詮釋，它既是解題的基礎，又是解題的一把鑰匙，抓住公式解題，是不可忽視的一種技巧.如復數的模長公式：||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|，在求解一些難度較大的復數模長最值問題中，如果運用恰當，則功效獨特.

例 已知z∈C，且滿足2|z-3-3i|=|z|，求|z|的最值.

解 由公式||z1|-|z2||≤|z1+z2|≤|z1|+|z2|得：|z|=2|z-3-3i|≥2|z|-|3+3i=|2||z|-32|，

當|z|≥32時，|z|≥2|z|-62，∴32≤|z|≤62.

當|z|<32時，|z|≥62-2|z|，∴22≤|z|<32.

∴22≤|z|≤62，∴|z|最大=62，|z|最小=22.

3.巧作代換

代換是我們在解題中經常應用的一種方法，如三角代換、倒數代換、萬能代換等，但代換是否巧妙、得當，卻是我們解題的關鍵.

例 已知|a|≤1，|b|≤1，求證：ab±（1-a2）（1-b2）≤1.

|ab±（1-a2）（1-b2）|如果設a=sinα，b=cosβ，則=sinσcosβ±（1-sin2α）（1-cos2β）=|sinαcosβ±cosαsinβ|=sin（α+β）≤1.

顯然得證.

4.巧用比例

在解題過程中，靈活應用比例關系，往往可使解題既快速，又準確，取得事半功倍的效果.

例 （1）解方程組x+y+z=27，

（2）某工廠食堂用圓臺形缸盛滿食油，已知此缸上、下底半徑分別為20 cm、10 cm，13天后，油高度降為原來的3[]4，若每天用油量相等，剩余的油還可以用多少天？

解 如右圖，將圓臺補成圓錐，記從下至上三部分體積分別為V1，V2，V3.

設V1=43a=64a，則V2=73a-43a=279a，V3=83a-73a=169a.

設剩余的油還可用x天，由題設得：

13∶x=169a∶279a，∴x=21.

5.巧用“0”和“1”

“0”和“1”在數學中具有特殊地位，在解題中如能細心觀察，靈活應用，將會使許多問題迎刃而解.

例 已知x2+y2=1，

z2+w2=1，

xz+yw=0，求xy+zw的值.

解 將已知條件中的x2+y2=1與z2+w2=1代入所求解析式，則

xy+zw=（z2+w2）xy+（x2+y2）zw=xyz2+xyw2+zwx2+zwy2=xz（yz+wx）+yw（xw+zy）=（yz+wx）（xz+yw）=0.

6.巧變形，湊定值

式的等價變形也是我們解題過程中的一種常用方法，在解題中用好變形，往往會使我們難以解決的問題豁然開朗，同時也可不斷提高學生的建構能力和解決問題的能力.

例 已知正數a，b滿足ab=a+b+3，求ab的最小值.

解 條件可化為：ab-a-b=3，即（a-1）（b-1）=4.

因a，b為正數，易知a>1，b>1.

∴ab=a+b+3=（a-1）+（b-1）+5≥2（a-1）（b-1）+5=9.

7.巧用數形結合

數形結合方法是數學學習中的一種重要方法，它是代數與解析幾何的完美結合，它往往能使復雜的數學題通過圖像使題目的結果一目了然.

例 求y=（x-1）2+（y+2）2+x2+y2+2x+4y+5的最小值.

解 這是典型的點與點的距離，將式子變形成

y=（x-1）2+（y+2）2+（x+1）2+（y+2）2，題目就轉化成了求P（x，y）與A（1，-2），B（-1，-2）兩點的距離和的最小值.∴y最小=|AB|=2.

此外，巧用韋達定理、巧用參數、巧設、巧算、巧化等都是我們在數學學習中經常遇到的一些方法，在此不一一舉例，希望我們在學習過程中能不斷總結，不斷積累，細心觀察，透徹分析問題，在解題中做到思維的定式與變異辯證統一，將我們的數學最后達到學以致用.

【參考文獻】

[1]章士藻.中學數學教育學.

[2]林明成.立幾中的七種常見解題技巧.高中數理化，2003（4）.

[3]羅建中.用不等式求最值時怎樣構造定值.高中數理化，2006（3）.