概率論的第一堂課

竇曉峰　張亮

摘要 概率論為大多數理工類、經管類學生的必修課，主要研究隨機現象的客觀規律，是進一步學習其他專業課的基礎。筆者將自身的親身授課經歷與同仁共享，目的在于提高學生學習該課程的興趣，激發學生的積極性，以期達到更好的教學效果。

關鍵詞 概率論 偶然性 正態分布

中圖分類號：G642文獻標識碼：A

概率論為大多數理工類、經管類學生的必修課，主要研究隨機現象的客觀規律，是進一步學習其他專業課的基礎。該課程實踐性很強，且與我們的日常生活、工作、研究息息相關，通過這門課的深入學習，能切實提高學生使用所學知識解決問題的實際能力。

傳統的教學方法以講授為主，優點是使學生能扎實掌握系統的理論知識。但對于一門實踐性很強的學科來說，這樣的教學方法將使學生的動手解決問題的能力稍顯欠缺。怎樣根據這門課的特點，提高學生的學習興趣，激發其求知欲望，便成為解決這個問題的關鍵所在了。

作為一門應用極為廣泛的專業基礎課，培養學生的興趣是這門課講好的關鍵。良好的開端是成功的一半，那么怎樣通過第一堂課吸引學生，使之產生強烈的興趣，為以后的進一步學習打下一個良好的基礎呢？

筆者是這樣對待這一堂課的，先以愛因斯坦的名言為開場白，引出偶然性的概念，隨后以豐富有趣的實例，介紹概率論對我們每個人日常生活、學習、工作、研究、心理問題的指導意義，目的是引起學生對這門課的興趣，指出偶然性無所不在，而概率論正是一門研究偶然性的學科，并介紹這門課的主要內容及其意義作用，最后仍以名人名言作為結束語，畫龍點睛，讓學生在愉快的心情中度過第一堂課。以下拋磚引玉，介紹這堂課的主要內容，請同仁斧正。

愛因斯坦曾說過：“我不能相信，上帝會跟宇宙玩擲骰子游戲”，他認為，宇宙是由確定性的規律支配的。物理定律決定了世界的現在和未來。果真這樣嗎？這不是把我們的世界簡單化為一個僵死的、機械的機體了嗎？如果真是那樣的話，我們豈不是處于一個異常恐怖、單調僵死的世界中嗎？而實際上，大家都能感覺到，我們所在的世界充滿了樂趣，充滿了奇妙的難以言述的美。那么又是什么造成了這種美呢？可以認為，是偶然性。世界上不存在兩片完全相同的葉子，正是偶然性造成了這個奇妙的多姿多彩的世界，這些多樣性是美產生的來源。在偶然中世界上出現了生命的萌芽，偶然中生命得到了進化發展，偶然中生命獲得了智慧，偶然中社會得到了發展，所有這一切都證明了偶然性創造了美。概率論就是研究關于偶然性的一門學科。那么學習它又有什么意義呢？要知道，概率論不僅在自然科學、生命科學和社會科學中都極為重要，且與我們的生活息息相關，滲透于我們生活、工作、心理等各個領域，未來的教育，會使概率的學習進一步融入各門學科和各個階段，甚至在小學數學教學中也會看到它的身影。正如很多先賢所說，生活之路取決于概率。

我們在生活中經常見到各類彩票的發行，買家從一組數字中選出若干個構成一個組合，開獎時由搖獎機依次開出幾個數字，若與買家的選擇相同或部分相同，則可獲得不同級別的獎金。為了吸引人氣，主辦者還會給出前期獲獎者的中獎號碼，畫出圖表或走勢圖，給出一些煞有介事的分析，似乎不管我們誰買個彩票中個大獎都不是一件很困難的事。果真這樣嗎？先來看這樣一個例子：如果我們在一輪投骰子的過程中連續擲出了五次六點，那么下一輪我們再擲出六點的概率低于。這樣認為對嗎？答案肯定是錯誤的。這一輪擲出骰子的結果跟下一輪或上一輪之間毫無關系，骰子是沒有記憶的，它不會記得上次擲出的結果，下一次擲出六點的結果仍然是。同樣購買彩票時，不管前面中獎的彩票是什么樣的結果，這一期和上一期是毫無關聯的，這次我們中得大獎的概率都是同樣很小很小的，而且從長遠來看，即使你曾經得過獎，但如果你仍然堅持不停地購買下去，結果卻只能是凈賠不賺，否則誰還會去發行彩票呢？知道了這些，你還會為沒中上大獎而耿耿于懷嗎？

概率在我們的生活中普遍存在，那么學好概率對于我們的學習有什么幫助嗎？當然有了，它可以幫助我們更好地安排我們的學習，讓學習更有效率。我們每個人都有自己的特長和特短，怎么揚長避短呢？把時間用在我們不擅長而又不容易取得成績的領域嗎？有些同學正是這樣拼命地把時間浪費在自己的特短上，費了大量的精力和時間，還是沒有學好，不僅影響了自己的心情，還耽誤了課外活動等自己喜愛的一些業余愛好。得不償失吧？實際上，人無全人，我們選擇將較少的時間用于自己不擅長的一些領域，經過努力只要得到合格的成績就行了；而將大部分精力和時間選擇用于研究自己感興趣的一些事物，發揮出自己的特長，使自己在擅長的領域綻放出生命的精彩，體現自己的創造力。這個選擇的過程就是應用概率學知識的過程。

隨著現代科學技術的發展，各門學科也越來越緊密地和數學的應用與發展聯系了起來，可以毫不夸張地說，越來越多的專業技術其核心幾乎都是高等數學、概率等數學知識的運用。有人說，那我研究文學，跟數學沒什么關系了吧？非也！比如，學術界對古典名著《紅樓夢》的研究可謂時日久矣，很多問題至今還沒搞清楚，而在這方面，概率學的應用給了我們許多意想不到的驚喜，解開了許多難解之謎。比如，大家都認為《紅樓夢》為曹雪芹與高鶚兩人合著，是這樣嗎？若是這樣，那么他們又都著的哪些內容呢？實際上，我們每個人在作文時，字詞標點語氣音韻的應用各有其特點，而這些特有的寫作習慣別人是無法模仿的。現在有了計算機技術的輔助，我們可以通過每個作家對某些特定的字詞應用的頻率等等細節，對我們有疑問的章節（比如《紅樓夢》前八十回與后四十回）進行比對，出入較大時，那就肯定不是一個人所為的了。而這些，無一不是在應用著概率的知識。

概率論這門課包含了隨機事件與概率、隨機變量及分布、多維隨機變量及分布、隨機變量的數字特征、大數定律和中心極限定理。先行課有高等數學、線性代數等相關課程，后續有與之聯系緊密的數理統計等其他相關專業課程。

在具體章節中，我們首先對隨機事件、概率的基本概念做個介紹，通過對一些古典概型概率值的求解方法，引申出條件概率和獨立性等相關概念；其次，我們用隨機變量的取值來表示各種隨機事件，使這些隨機事件的概率及其性質能夠用高等數學的一些方法來進行分析和研究；闡述一維隨機變量和多維隨機變量的概率分布的具體特點和內容；再次，有些時候，我們還需要研究一些特殊的隨機事件分布的特征指標，比如有些數據的平均值和這些數據與均值間的偏離程度等，這就導出了隨機變量的數字特征；最后，可能單個隨機變量的特征或意義不明顯，但大量的隨機變量卻表現出一定的規律性，比如對大量的隨機變量而言，其均值可能穩定收斂于某個值附近，大量隨機變量的和也可能是穩定的，并與一種典型的隨機變量分布——正態分布有著密切的聯系，這就體現了大數定律和中心極限定理的應用價值。

在每章內容的講解中，都會舉出生活中常遇到的、大家感興趣的問題和現象實例來向大家介紹，還會借助一些圖表工具來使大家更清楚地理解各個概念、定理及問題，并展開一些有針對性的討論，調動大家的學習積極性；同時，在講授中還會有選擇性地使用多媒體的幫助，使學生對各種分布曲線形狀及其變換有一個形象、動態的感受，加深對問題的理解程度；對于某些特定的問題，還會做一些問卷調查，及時反饋大家在學習中遇到的困難和問題，在教學中做到有的放矢；另外，為了進一步活躍學習熱情和開拓思路，我們還將采取大作業的方式，使大家對自己專業內的相關問題進行思考，試圖提出解決辦法借以增強動手能力，深化課堂內容。

最后，筆者以林群院士在我院所作學術報告的講話“每位同學只要有興趣，并掌握了適當的方法，付出相應的努力，都能成為一名數學家”作為結尾，鼓勵大家立志鉆研，學好這門充滿樂趣和智慧的課程。

參考文獻

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