巧變形,快求解

程軍

“三角形的內角和等于１８０°”，“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內角的和”，掌握三角形外角及內角和公式是解決有關三角形問題的關鍵，而要快捷且正確地解答三角形中有關角的求解與證明，就必須熟練地進行有關變形. 現舉例如下.

例１ △ＡＢＣ中，若∠Ａ － ２∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ０°，則∠Ｂ的度數是 （ ）.

Ａ． ３０° Ｂ． ４５° Ｃ． ６０° Ｄ． ７５°

解 在△ＡＢＣ中，有∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＝ １８０°，可適當變形為∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０° － ∠Ｂ，而條件∠Ａ － ２∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ０°，也可變形為∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＝ ２∠Ｂ，所以可知１８０° － ∠Ｂ ＝ ２∠Ｂ，解此方程即可得到∠Ｂ ＝ ６０°.

例２ 如圖1，△ＡＢＣ中，點Ｄ為邊ＡＣ上的一點，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＤＢ，求證：∠DBC = .

解 在△ＡＢＣ中，有∠Ａ ＋ ∠ＡＢＣ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°……①，

在△ＡＢＤ中，有∠Ａ ＋ ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＡＤＢ ＝ １８０°……②，

已知∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＤＢ，

可將②式變形為∠Ａ ＋ ２∠ＡＤＢ ＝ １８０°……③，

又因為∠ＡＤＢ 是△ＢＣＤ的一個外角，

所以∠ＡＤＢ ＝ ∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ ，代入③式，②式最終變形為∠Ａ ＋ ２（∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ） ＝ １８０°……④，

用④ － ①，可得２（∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ） － ∠ＡＢＣ － ∠Ｃ ＝ ０°，

即２（∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ） ＝ ∠ＡＢＣ ＋ ∠Ｃ，整理后，即得

∠DBC = .

例3 已知△ＡＢＣ，（1）如圖2，若Ｐ點是∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的角平分線的交點，則∠P = 90° + ∠A；

（2）如圖2，若Ｐ點是∠ＡＢＣ和外角∠ＡＣＥ的角平分線的交點，則∠Ｐ ＝ ９０° － ∠Ａ；

（3）如圖3，若Ｐ點是外角∠ＣＢＦ和∠ＢＣＥ的角平分線的交點，則∠P = 90° - ∠A.上述說法中正確的個數是 （ ）.

Ａ． ０Ｂ． １Ｃ． ２Ｄ． ３

解 （1）在△ＢＰＣ中，∠Ｐ ＝ １８０° － ∠ＰＢＣ － ∠ＰＣＢ（三角形內角和），而∠PBC = ∠ABC，∠PCB = ∠ＡＣＢ，

所以∠P = 180° - （∠ABC + ∠ＡＣＢ），

而在△ABC中，有∠A + ∠ABC+∠ACB = 180°，

適當變形為∠A＋ ∠ＡＢＣ ＋ ∠AＣＢ ＝ ９０°，

得到∠ABC ＋ ∠ＡＣB = 90° - ∠A，

所以∠P = 180° - （∠ＡBＣ + ∠ACB） =

18０° － （９０° － ∠Ａ） ＝ ９０° ＋ ∠Ａ．

（２）在ＡＢＰＣ構成的“８字型”中，存在這樣的關系：∠Ａ ＋ ∠ＡＢＰ ＝ ∠Ｐ ＋ ∠ＰＣＡ……①，

∠ABP = ∠ABC（BP為角平分線）……②，

∠PCA = ∠ACE（PC為角平分線），

而∠ACE = ∠A + ∠ABC（∠ＡＣＥ為外角），

所以∠ＰＣＡ ＝ （∠Ａ ＋ ∠ＡＢＣ）……③，

將②和③代入①，即得

∠A + ∠ABC = ∠P + （∠A +∠ABC），

整理，得∠P = ∠A.

（3）在△ＢＰＣ中，由三角形內角和知，

∠Ｐ ＋ ∠ＰＢＣ ＋ ∠ＰＣＢ ＝ １８０°……①，

由（2）的解題過程知，

∠ＣＢＦ ＝ ∠Ａ ＋ ∠ＡＣＢ（∠ＣＢＦ為外角），

∠BCE = ∠A+∠ABC（∠BCE為外角），

∠ＰＢＣ ＝ ∠ＣＢＦ（ＢＰ為角平分線） ＝

（∠Ａ ＋ ∠ＡＣＢ）……②,

∠PCB = ∠BCE（CP為角平分線） =

（∠A + ∠ＡＢＣ）……③，

將②和③代入①，即得

∠P + （∠A + ∠ＡＣB） + （∠A + ∠ＡBC） = 180°，

去括號，得

∠P + ∠A + ∠ＡＣB + ∠A + ∠ＡBC = 180°……④，

而在△ABC中，有∠Ａ + ∠ＡBC + ∠ＡCB = 180°，

所以∠Ａ + ∠ＡＣB + ∠ＡBC = 90°，

將其代入④式，得

∠P + ∠Ａ + 90° = 180°，

整理，得∠P = 90° -∠Ａ.

因此答案為Ｃ．

熟練掌握三角形外角及內角和公式的變形可以使很多問題得到更加簡便的解決，而要熟練掌握就要求同學們多加練習和總結，學會舉一反三，融會貫通，這樣方能在解決新問題時游刃有余，思路清晰.