數學建模在大學生研究性學習中的應用與研究

蔡振鋒　黃斌　張水坤

摘要： 本文通過分析數學研究性學習的要義和數學建模的特點，說明數學建模是研究性學習在數學教學中的體現，探討了基于數學建模開展研究性學習的模式。

關鍵詞： 數學建模研究性學習研究性教學應用與研究

加快建設創新型國家已經成為我們國家的一項重要戰略目標，關于加快創新人才的培養近年來也成了一個熱門的話題。但是在當前的大學教學中，存在著教師厭教、學生厭學，實際教學效果與師生的期望存在差距，教育理論與實踐嚴重脫節的現象。如何改變這種現象，培養合格的創新型人才，是我們急需解決的問題。目前，教育理論界與實踐界比較關注的焦點問題就是研究性學習。大家一致認為，研究性學習能夠很好地回答以上的問題。數學研究性學習是由項目或任務驅動的，包含數學知識的學習、理解與應用的活動。大學生數學建模活動具備了高校數學研究性學習的特點。本文探討利用數學建模教學開展研究性學習的經驗和認識。

一、數學研究性學習

研究性學習（Project-Based Learning，Problem-Based Learning）也稱綜合學習或專題研習，是20世紀80年代末以來國際教育界普遍推崇和實施的一種新學習模式。研究性學習是指在教師的指導下，學生從學習生活和社會生活中選擇并確定研究專題，用類似科學研究的方式，主動地獲取知識、應用知識、解決問題的教學模式。它對于激發學生的學習興趣、培養學生的創新意識與能力具有積極的作用。數學研究性學習，就是指在教學過程中建構具有教育性、創造性、實踐性的學生自主活動，它是以激勵學生主動參與、主動實踐、主動思考、主動探索、主動創新為基本特征，以促進學生數學研究性學習為目的的一種新型教學觀和教學形式。

研究性學習不同于其他學習方式的特點是：1.強調學習的開放性。研究性學習的內容無固定的、統一的課程內容。其消除了以往教師分科教學、學生分科學習所造成的諸多弊端。它使學生通過各類探究方法，關注社會生活，以學科的多元化、綜合化特質對教學成果進行整合，有效地激活學生的知識儲備，去解決實踐問題。同時，研究性學習中學生的學習環境也是開放的、多元的，學生擺脫了只有一個標準答案的束縛，可以從多種角度看待事物，積極尋求解決問題的方法，努力探求、理解問題的現實意義。2.學習過程的參與性與自主性。在研究性學習中，學生課題的選擇、確定，資料的收集、分析，報告的撰寫、答辯，成果的整理、展示等，整個過程都由學生自己去操作，具有很大的自主性。同時從實踐來看，學生在研究性學習中較多選擇的是小組學習形式，這不僅有益于個人發揮特長，而且有助于培養每個學生的責任感和協作精神。3.注重學習的實踐性。研究性學習不注重對學生進行純學術性的書本知識的傳授，而是讓學生自己動手實踐，在實踐中體驗、學習，從中獲得獲取信息、加工信息和處理信息的能力。4.注重學習的過程及學習過程中學生的感受和體驗。研究性學習不僅重視學生的學習結果，而且注重研究學習的過程，使學生了解科學研究的一般方法，體會到研究的艱辛與快樂。5.學習評價的多元性與社會性。研究性學習的價值觀和教育理念認為，學習評價應是多元性、社會性的。多元性主要表現為評價方式、標準、主體的多元性。應鼓勵學生主動、客觀地評價自己的表現，而專家、教師組成的評價指導小組應給予學生必要的指導、幫助，也可進行跟蹤評價，以避免研究性學習過程的失控。

二、數學建模與數學建模競賽

1.數學建模

數學模型（Mathematical Model）是對現實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，做出一些必要的簡化和假設，運用適當的數學工具得到的一個數學結構。

數學建模（Mathematical Modeling）即建立數學模型的過程，它是一種數學的思考方法，一種以數學為工具，用數學解決實際問題的方法，包括對實際問題進行抽象、簡化，建立數學模型、求解數學模型、驗證數學模型解的求解全過程。數學建模過程主要包括四個步驟：

（1）提出和形成問題：即獲取現實對象的信息及相關資料。

（2）建立數學模型：即通過一定的數學語言和方法把待解決的問題用一定的模型表示出來。

（3）求解：用各種手段主要是數學方法，也可用其他方法將模型求解。復雜模型的求解需用計算機，解的精度要求由決策者提出。將解用到實際中去，必須考慮到實際的問題，如向實際部門講清楚解的用法，在實施中可能產生的問題等。

（4）解的檢驗：首先檢驗求解步驟和程序有無錯誤，然后檢查解是否反映現實問題。

2.數學建模競賽

作為數學建模的一種競賽形式，數學建模競賽的目的是為了培養學生的創新意識及運用數學方法和計算機技術解決實際問題的能力。全國大學生數學建模競賽創辦于1992年，每年一屆，由教育部高等教育司和中國工業與應用數學學會主辦。目前已經成為全國高校規模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規模最大的數學建模競賽。2012年，來自全國33個省/市/自治區（包括香港和澳門特區）及新加坡和澳大利亞1284所院校、21303個隊6萬多名大學生參加了本項競賽。

三、基于數學建模的研究性學習

1.數學建模具備研究性學習的特點

研究性學習在大學教學應用中的基本要素主要有以下幾點：（1）以問題情境為先導。以研究性學習為理念的研究性教學，倡導先將問題呈現在面前，以解決問題為教學的導入點。將學習置于研究性小課題情境中，是激發學生求知欲和創造沖動的前提，更是學生吸收知識、鍛煉思維能力的前提。一個好的研究課題能夠隨著問題解決的進行自然地給學生提供反饋信息，讓他們能很好地對知識、推理和學習策略的有效性進行評價，在解決問題的過程中來掌握概念、原理和策略，可以促進知識的提取和學習策略在新問題中的遷移。（2）以小組合作討論為主要活動形式。在研究性教學中，學生可以圍繞問題進行討論，以此激活學生先前的知識儲備，使原有知識背景與當前問題之間生成更多的聯系；討論可以使學生的思維過程外顯化，學生會經常感受到觀點的沖突，從而可以更好地進行反思和評判，最重要的是它給學生創造了一個人人都積極探索、主動參與、獨立創新的優良環境。（3）研究性教學要重視對研究結果的反思。在研究性教學過程的結尾，需要有意識地引導學生對自己及他人問題解決的思維過程做出反思概括。反思概括的意義在于：內化新知識，加工與整合新舊知識，達成同化或順應，形成更協調一致的理解；加深理解研究過程中的思維方法和學習策略，這對知識的遷移來說是至關重要的；科學的反思往往能使新的問題成為教學的歸宿，即在初步解決問題的基礎上引發新的問題，這些新問題出現的意義不僅在于它能使教學延伸到課外，而且在于它能最終把學生引上創新之路。

在數學建模的過程中，學生獲得一個個實際問題。需要從中提取重要信息，并合理假設，簡化問題，建立模型。完成這個過程需要同學們以三人小組的形式開展，需要查找專業資料和數學理論，運用這些知識來處理分析問題，建立模型后，還要進行數學推理，處理數據，計算結果，并檢驗由模型得到的結果是否符合實際。我們可以看到，在數學建模學習的始終，總是強調學生對問題的探究，注重學生提出問題、分析問題，并探究出核心問題的解答方案，這種學習活動是一種自始至終貫穿著問題的探究活動，所以數學建模學習是一種廣義的研究性學習。

2.在數學建模中開展研究性學習應注意的問題

研究性學習在大學教學中的實施一般可分為三個階段：進入問題情境階段、實踐體驗階段和表達交流階段。在學習進行的過程中，這三個階段并不是截然分開的，而是相互交叉和交互推進的。研究性學習要想取得好的效果，必須抓住這三個環節。所以在數學建模的開展過程中，我們需要做到：（1）將數學建模教學與傳統數學教學有機結合。研究性學習及數學建模需要大量的數學知識儲備，這些都需要通過對傳統數學教材的學習來掌握。如果拋開數學教材另選內容進行所謂的數學研究性學習，其實質將是舍本逐末，專題性的數學研究只是學生進行數學研究性學習的一種補充形式。（2）培養學生的直覺思維和發散思維。在思考問題的時候，教師應引導學生從整體出發，把握大方向，多方思考，大膽猜想，挖掘了學生的創新潛力。（3）廣泛采用啟發式、導學式、學導式，導學互動式等多種教學方式，這不僅增進了老師和學生之間的互動，活躍了課堂氣氛，更重要的是提高了學生的語言表達能力，激勵學生積極開動腦筋。（4）將不同專業的學生集中起來開展教學，這不僅增強了學生之間的交流與合作，而且為教學能真正實現學科交叉、文理結合提供了平臺。（5）教師對所教內容進行精心組織。數學建模是一個系統性、綜合性的工作，需要大量的知識儲備。在作為研究性學習的建模活動中，教師需要做好各個環節的準備，特別是在反思階段，更是需要教師適時適當地引導，才能取得良好的效果。

總之，研究性學習是一種全新的學習方式和教學模式，它對于培養學生的創新精神和實踐能力，提高學生運用所學知識解決實際問題的能力都具有十分重要的作用。數學建模作為一種廣義的研究性學習活動，為我們如何開展數學研究性學習指明了方向。我們只有將數學建模的思想融入到研究性學習的各個環節中，才能真正培養出具有研究素養和創新能力的學生。

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課題項目：本文系湖北省教育廳教研項目“數學建模思想對大學生研究性學習的作用與研究”的研究成果之一（項目編號：2010Y038）。