也談數形結合思想的應用

張學峰

數形結合思想是一種重要的數學思想，通俗地說就是代數與幾何相結合的思想。著名數學家華羅庚指出：“數缺少形時少直觀，形少數時難入微。”這句話說明了“數”和“形”是緊密聯系的。我們在研究“數”的時候，往往要借助于“形”，在探討“形”的性質時，又往往離不開“數”.

縱觀近年來的高考，融“數”和“形”于一體的試題屢見不鮮.目前我們使用的新課本，不再把數學課劃分為“代數”、“幾何”，而是綜合為一門數學課，這樣更有利于“數”與“形”的結合.因此數學教師在教學中要做好“數”與“形”關系的揭示與轉化，運用數形結合的方法，幫助學生類比、發掘，剖析其所具有的幾何模型，這對于幫助學生深化思維，擴展知識，提高能力都有很大的幫助.

綜合教學內容，從數學發展的全局著眼，從具體的教學過程著手，有目的、有計劃地進行數形結合思想的教學，使學生逐步形成數形結合思想，并使之成為學習數學、解決數學問題的工具，是我在數學教學中著力追求的目標.

1.在函數方面的運用

例1：（利用函數的奇偶性判斷函數圖像）已知函數y=f（x）的圖像如圖1（甲）所示，y=g（x）的圖像如圖1（乙）所示，則函數y= f（x）·g（x）的圖像可能是圖中的（？搖？搖 ）

圖1（甲） 圖1（乙）

AB CD

解析：首先從f（x）與g（x）都是偶函數，可知函數y= f（x）·g（x）也是偶函數，故首先排除A、D.另外從兩個函數圖像對比可以看出，在區間（-1，0）∪（0，1）上，f（x）>0，而g（x）<0，則f（x）·g（x） <0，故排除B，正確答案為C.

點評：利用函數圖像解決有關函數性質問題，這是一類常考常新的題目類型，要善于用數形結合的思想方法解決問題、分析問題，避免走彎路.

2. 在不等式方面的運用

例2：當1b.

解析：直接證明有困難，稍作變形，情況如何？將a>b兩邊取對數，即證（b-1）lga>（a-1）lgb.由于b-1>0，a-1>0，于是改寫成>，再變形，上式即為>.

表達式讓我們聯想到斜率公式.若設f（x）=lgx，考慮到1.

點評：有些幾何圖形，并不是一眼就能從題設條件中看透的.只有在逐步變化過程中，本質才能暴露出來.同時，“數”到“形”的轉化，又必須具備敏銳的觀察力和豐富的聯想類比的能力.表達式要與斜率公式掛鉤，其中-lg1架設了橋梁.由轉化為幾何圖形還要有一次創造性的飛躍，“執果索因”的分析過程，是解決本題的“金鑰匙”.

3. 在解析方面的運用

例3：已知點列P（a，b）滿足P（，-1），且a=，b=-（n∈N）.

（1）寫出過點P，P，P的圓M的方程；

（2）判斷點P（n≥4）與圓M的位置關系；

（3）若P（x，y）是圓M上的動點，求的取值范圍.

解析：（1）由題意得：P（1，），P（，-），顯然P，P，P到原點的距離相等.故圓M的方程為x+y=.

（2）由點P（，-），易得P（，）.顯然P（，）在圓M上，故猜想點P（n≥4）在圓M上，以下用數學歸納法證明.

① 當n=4時，P（，）在圓M上.

②假設點P在圓M上（k≥4），即a+b=，則當n=k+1時，

a+b=（）+（）===，

∴點P在圓M上.故當n≥4時，點P（n≥4）均在圓M上.

（3）表示圓M上的動點P（x，y）與定點A（0，）連線的斜率的取值范圍，由數形結合可得其范圍為（-∞，]∪[，+∞）.

cos∠POM===？圯R=R=·，同理得R=·（），R=·（）…故這些球的體積之和V=（）[1+（）+（）+…]=.

利用數形結合的思想可以避開復雜的運算過程，從而提高解題速度與準確性.