“對數的運算性質”教學設計

陳文進

本文就幾位賽課教師所教學的“對數的運算性質”一課的教學內容、教學設計、教學過程，以及實踐中的部分片段談談筆者的想法，僅供參考，不當之處敬請批評指正.

一、“對數的運算性質”到底是怎樣的一個性質

當前課堂教學所表現出的問題要是對數學知識的理解不到位，無深層次思維及本質的探索.而只有有了問題或知識的源頭才能更好地進行教學設計，從而上出一堂精彩的課.

對數的運算性質的靈活掌握，基于對對數式的準確認識，如：log3是什么？剛學完對數的概念，學生對對數式還有些陌生感，甚至書寫上還存在偏差，一下子很難從指數式變換到對數式.好像我們初中認識，π等一樣，只是一個數值，這個數值源于一個運算.我們在關注對對數式的認識時，只有弄清楚對數的運算性質到底是怎樣的性質，才會有恰當的教學設計.

二、對數的運算性質一課的教學該如何設計

了解了對數的運算性質及對數的概念，再進行設計教學也就有了根據.

整個教學過程應該圍繞教學目標進行，所有的教學活動也應依據教學目標而開展.本節課的教學就是要讓學生明確：（1）對數的運算性質是怎么來的；（2）對數的運算性質的必要性.讓學生領會這一性質的實質及必要性，為今后熟練運用此性質進行對數運算奠定基礎.

（1）情境設置一般都是提出問題.看如下兩個引入問題：

指數冪運算有如下性質：aa=a①，=a②，（a）=a③.

對數的運算是否也有相應的性質？

（2）求lg2，lg5的值，那么lg2+lg5≈1還是lg2+lg5=1呢？

情境（1）存在的思維障礙是：無方向感，即使對數的運算有相應的性質，但體現的形式究竟是怎樣的呢？通俗地說，問題問得有點大，還得重新設置情境.

情境（2）問題設置：lg2+lg5的值如何得到？計算器不是隨時都可以使用，且計算器不一定能計算復雜的代數式.要計算lg2+lg5的值，必須利用對數的運算性質.

讓學生感受問題研究的必要性，激發學生思考，并使問題明確，讓學生有效地研究，主動地學習，才能保證有良好的教學效果.

指數冪運算性質與對數的定義應該是對數的運算性質的根本.這就要求我們得清楚如何運用對數的定義及指數冪的運算性質得到對數的運算性質.

如指數冪的運算性質中aa=a，另根據對數的定義有a=N，我們令m=logM，n=logN，不難發現a·a=M·N，且a=a，則MN=a，根據對數的定義把此式轉化成對數式，即log（MN）=logM+logN.

有了性質①的指引，學生自然會去使用指數冪運算性質②、③來接著推導對數的運算性質.我們只要令m=logM，n=logN，其中a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R，使得性質的導出不再突然.至于教材對性質①的證明，則使用了逆過程，即從對數再回到指數.這樣就使得兩個性質的內容相得益彰，教學內容也得以豐富、圓滿.

很顯然，其中“a>0且a≠1，M>0，N>0，n∈R”都是對數的運算性質成立的前提，如logx+log（2-x），化簡為log（2x-x）的前提是x>0且2-x>0.所以每一個對數式的出現，其真數一定是大于0的，當然底數a>0且a≠1亦是必需的.

學生在使用該性質進行對數運算化簡時，多數是在套用.如例4，log（2×4），我們完全可以使用對數定義及指數冪運算性質來解決.筆者認為教材的編排意圖是讓學生初步體會公式的作用，能夠讓很大數的對數化歸為較小數的對數運算.再如例5，通過lg2，lg3的值去求lg12的值，我們就能明顯感覺到對數運算性質的好處，性質的存在就顯得十分必要.

還有兩個問題，即真數大于0與公式的記憶對學生的要求.輔助練習中有如下幾題：

若a>0，a≠1，下列等式中不正確的是？搖 ？搖.

①log（M+N）=logM+logN；②log（M-N）=logM-logN；

③log（MN）=logM+logN；④log（MN）=logMlogN；

⑤log=；⑥（logM）=nlogM，n∈R.

對于這樣的鞏固練習到底是使學生記憶加深印象，還是造成混淆，筆者認為值得商榷.譬如，對于③的不正確性，學生一片嘩然，老師解釋了以后有的才反應過來，因為此時的學生哪里能顧得了這么多.筆者認為這樣的圈套不宜設置，特別是其中一位教師在剛介紹完公式及證明后，跟著就設置這樣的問題就更不應該了.你要真想鞏固“真數要大于0”，就可以直接地問：log[（-2）×（-3）]是否等于log（-2）+log（-3）？還有①，筆者認為這明顯是一種誤導，本來也許學生并沒有這樣的想法，這個錯誤的等式就成了干擾.更何況學生正在進行正確的記憶儲備，而且這個等式也不是一定不成立，如：log（2+2）=log2+log2.筆者認為大可不必通過這種方式來鞏固等式成立條件及加深對公式的記憶，只要原理弄清摸透，加強正面訓練，熟練掌握就會水到渠成.

其實教材中的練習足以讓學生對公式的使用進行鞏固.當然，如果學生的基礎比較好，可以加一些與其他知識綜合的問題或綜合使用多個公式的問題.蘇州市教研室陳兆華老師一次講座中講道：“上向量一節的內容，要求學生證明一個不等式，學生均考慮用向量法；而我們是否能在上證不等式課時，讓學生用向量法呢？”意指我們的教學要讓學生學會思考，不要把數學課上成了心理課.

三、對教學實踐過程中幾個片段的思考

筆者對幾位教師在教學實踐中的幾個片段談談看法，以供再設計、再教學時參考.

片段1：對對數運算性質的發現的設計.

師：①計算：log8，log32，log（8×32）；

②若logM=p，logN=q，能否用p、q來表示log（MN），log，logM？

這兩個問題能有效引發學生的思考，學生有能力且有興趣去解決.就在學生積極思考和演算時，老師又提出問題：大家很容易發現①中什么結論？根據①的結論，你能猜出②的結論嗎？請學生回答，學生回答得倒也算流暢，如師所愿.

師：哪位同學來證明一下這個結論？

這么好的一個情境效果被大大打了折扣.我們憑什么去猜②的結論？猜的結論就一定是正確的嗎？如何談得上證明？一個好的情境引人深思，但不能充分利用，將事倍功半.教師在課堂教學中一定要關注提問的有效性，要有明確的目的性、合理的針對性、耐人尋味的啟發性.

片段2：也是引導學生發現對數的運算性質.

師：分數指數冪有了運算性質，對數來自于指數，對數是不是也應該有呢？請看大家最熟悉的等式：5+3=8，5-3=2.

老師特意頓了一下，學生一臉詫異的表情，等待著下文.

師：我們根據上節課練習，已知恒等式：loga=b.這樣的話，我們可以有：

5+3=8？圯log2+log2=log2；5-3=2？圯log2-log2=log2.

若2=M，2=N，2=？則有什么樣的等式呢？

……

logM+logN=log（MN），下面我們來證明.

很巧妙的構思，等式的發現、原理的闡述，都比較到位，很自然，使得教材中設logM=p，logN=q變得理所當然，而非突如其來、奇思妙想.

美中不足的是，既然已經提到了對數恒等式loga=b中的對數式是以a為底數，就沒有必要以2為底數以后，再舉例底數3，底數4，進而再一般化為底數a，有些啰唆.

對數的運算性質固然已為數學結論，前人已定，但對于學生來說，仍然需要“再發現”.問題式情境導入，研究性探討學習，是新課程改革的主要導向.讓學生了解知識的發生過程，重視結論的來源，增加學生數學思維“參與度”，應成為如今數學課堂教學的主要任務；讓學生成為實驗者、研究者、創造者，應是中學數學教育的主要方向.