談數學教學中學生思維縝密性的培養

王守徐

數學是一門嚴謹的科學，思維縝密性也是數學思維的重要品質之一.但是在教學中，發現學生在分析解決問題的時候，有的思路理不清，考慮欠佳，導致答案錯誤；有的敘述不嚴謹，丟三落四，顧此失彼，漏洞百出.為了克服這些不良傾向，逐步培養學生嚴謹和縝密的思維習慣，筆者在教學中做了有益的嘗試.

1.加強數學概念教學

如果對教材中的概念還有法則公式等理解不透徹，只注重結論的表面形式，而忽視其前提條件，勢必導致解題的錯誤.

譬如雙曲線的定義：“平面上到兩個定點F■，F■的距離之差的絕對值等于常數2a（2a<|F■F■|）的點的軌跡叫做雙曲線.”教學中對“絕對值”“差”“常數”等這些重要的字眼要認真地研讀，理解這些字眼的真正含義，忽視其中任何一點，軌跡都不表示雙曲線.

故在教學中應加強對數學概念的教學，強調公式和法則的特點與成立的附加條件.只有從理論上武裝學生的思想，并且打牢基本知識，才能有效地在解題中避免出錯.還得經常運用學過的概念、法則等，反復地練習，加深對知識點的深刻理解.這樣做的好處有：可以減少學生單純記公式的煩惱與枯燥無味，并且全方位、多角度地加深學生對公式的理解，避免應用時出錯.

2.敘述嚴之有理，推理步步有據

學生思維的過程和結果都要靠語言反映出來，也就是說語言是思維的結果.同時語言又反作用于思維.如果教學中處處注意培養學生嚴密的語言習慣，勢必能增強學生思維的縝密性。這樣有助于學生對概念的透徹理解，準確地理解教材中的結論和相關的解題過程，并且提高口頭表達和推理書寫的能力.

例1：已知a，b，c∈R■，求證：■≥abc.

錯解：∵a，b，c∈R■

∴a■b■+b■c■+c■a■≥3abc■（1）

a+b+c≥3■（2）

■得■≥abc

剖析：上面的證明似乎天衣無縫，但細心者不難發現，在證明過程中用到的證據之一“若a>b>0，c>d>0，則■>■”是虛假的.事實上，舉一個反例就可以發現它是一個假命題.例如：5>4>0，3>2>0，而■<■.因此，原題的真實性就無法判斷.

正解：∵a，b，c∈R■，∴a■b■+b■c■≥2abc■（1）.

同理，b■c■+c■a■≥2abc■（2），

a■b■+c■a■≥2bca■（3）.

將以上三式相加得：a■b■+b■c■+c■a■≥（a+b+c）abc.

∴■≥abc.

3.審視題設條件，挖掘隱含信息

很多學生在解題時，往往只著眼于題中給出的現成的已知的條件.缺乏揭示被掩蓋了的條件的能力，造成了思維受阻或思維偏向.在教學中，要盡量預見學生思維的易混點，讓學生思考、辨析，避免應用時出錯；或者故意設置思維障礙，引導學生上當受騙，讓他們吃一塹長一智.從反面提醒學生，往往比教師單純地正面強調更有效，學生印象也更深刻.

例2：若0<α<π，且sinα+cosα=■，則tanα的值為？搖？搖？搖？搖.

錯解：將sinα+cosα=■兩邊平方得sin2α=-■.

∵0<α<π，∴0<2α<2π.

∴cos2α=±■=±■.∴tanα=■=-3或-■.

剖析：關鍵是確定cos2α的符號，由0<α<π，且sinα+cosα=■可知■<α<■，∴π<2α<■，cos2α=-■，∴tanα=-3.

4.關注特殊情形，捕捉疏漏所在

在教學時，教師既要著眼于教材中的現成的結論進行縝密的思維模仿教學與訓練，更要針對學生的知識缺漏或者是思維盲區，讓學生通過思考逐步完善.

5.尋找適當的錯誤案例進行逆向反駁

在解題教學中，我們要逐步培養學生一題多思，使學生養成從不同角度認真檢查的習慣，通過尋找一些反例來審視題目或者結論的正確與否，引導學生分析辨別.

例2：函數f（x）的定義域關于原點對稱，且對于定義域中的任一的值都有|f（x）|=|f（-x）|，則（？搖？搖？搖？搖）

（A）f（x）是奇函數

（B）f（x）不可能是既非奇函數又非偶函數

（C）f（x）是偶函數

（D）f（x）可能是既非奇函數又非偶函數

對于這道富有挑戰性的問題，有些學生輕易地選了（C），但許多學生不同意，憑直覺認為應選（D），但一時又舉不出具有說服力的反例.學生調動智慧與知識貯存，通過嘗試探尋，終于找到令人叫絕的反例：

若函數f（x）=-x（-2≤x<-1）x（-1≤x<0或0

6.開展解題反思，增強監控意識

要增強學生的自我反省、自我監控意識，要求學生時時反省：這條路是否清晰？這種方法恰當嗎？這樣對嗎？這樣的思路好嗎？等等。若能恰當利用特殊化方法，揭示學生的問題所在，就會使學生有頓悟之感，從而達到培養思維縝密性的目的.

要提高學生思維的縝密性，教師的師范作用是必不可少的.一個口頭語言不夠標準，板書不夠條理，推理不夠嚴密，思維缺乏層次的教師，是不可能培養出具有較強的口頭表達能力和推理能力的學生的.除此之外，還要引導學生進行思維方法的橫向交流.因為學生之間、師生之間思維存在一定的差異，要讓學生之間相互取長補短.這樣做，毫無疑問，能不斷提高學生思維的嚴謹性，增強學生分析問題、解決問題的能力.