分類討論思想在解題中的應用

摘要：分類討論是數學解題中的一種重要思想方法，它一般是在原問題不能統一解決的情況下，將其分解成相互獨立的若干子問題來處理，最后綜合這些子問題的解答，得到對整個原問題的解答。

關鍵詞：分類討論；字母系數；圖形位置；數學解題

中圖分類號：G712 文獻標志碼：0 文章編號：1674-9324（2012）07-0182-03

分類討論是數學解題中的一種重要思想方法，它一般是在原問題不能統一解決的情況下，將其分解成相互獨立的若干子問題來處理，最后綜合這些子問題的解答，得到對整個原問題的解答。這種思想體現了一種弱化問題，強化條件，以退為進的策略，簡化了原問題的難度。

分類討論思想在人類的思維、推理過程中起著重要的作用，它實際上是一種化整為零、分別對待、各個擊破的思維方式在數學解題中的體現。也就是說，如果被研究的問題包含多種情況，不能一概而論時，那么將確定的同一標準所研究的問題劃分成若干不同的情形，并把每一種情形毫無遺漏地劃分到某一類中去，再進一步討論每一種情形的特性，得出每類情形下相應的結論，即所謂的分類討論思想。

分類時要注意分類標準要統一，且不重不漏。要掌握分類原則、方法和技巧，做到“確定對象的全體、明確分類標準”。在具體的求解過程中，整體問題轉化為部分問題后，相當于增加了題設的條件。在一般情況下，分類討論解題的步驟是：

（1）確定分類標準、分類對象及范圍；

（2）恰當分類；

（3）逐類討論；

（4）歸納結論。

分類討論貫穿在整個初中數學教材內容之中，代數式、方程、不等式、函數、圖形的知識、三角形、四邊形、相似形、圖形變換、解直角三角形、圓等都存在著分情況討論的題目，但就應用而言，大致有以下幾種情形。

1.由字母系數引起的分類討論。方程中含有參與運算的字母系數。（1）對于形如ax=b的一元一次方程，其解得情況：當a≠0時，有唯一的解x=■；當a=0，b=0時，有無數個解；當a=0，b≠0時，無解。（2）對于形如ax2+bx+c=0的方程，需要判斷a是否為零，并在此基礎上運用根的判別式加以討論研究。（3）對于不等式ax＞b的解集，可分為當a＞0時，解集為x＞■；當a＜0時，解集為x＜■。

例1 已知關于x的函數y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+■的圖像與x軸總有交點，求a的取值范圍。

思路點撥：

因為是關于x的函數，所以可以是一次函數，也可以是二次函數。所以必須討論二次項系數和一次項系數是否為0的情況。

解答過程：

（1）若y是關于x的一次函數，則a2+3a+2=0a+1≠0，解此不等式組得a=-2.

原函數解析式化為y=-x+■.圖像與x軸的交點是（■，0）。

（2）若y是關于x的二次函數，且與x軸有交點，則a2+3a+2≠0△≥0，解此不等式組得a＜-1且a≠-2.

綜上所述，關于x的函數y=（a2+3a+2）x2+（a+1）x+■的圖像與x軸總有交點時，a＜-1。

2.由分母是否為0引起的分類討論。分式方程、代數式恒等式變形以及一些綜合題型中常會出現由分母是否為0引起的分類討論。

例2 已知關于x的方程■-■=■只有一個解，求k的值和方程的解。

思路點撥：

解分式方程在去分母的時候會產生增根，此題的公分母是x（x-1），去分母后原方程變形為：kx2+（2-3k）x-1=0，顯然，接下來要討論字母的系數。

解答過程：

把原方程去分母，再整理得：kx2+（2-3k）x-1=0

（1）當k=0時，得2x-1=0，x=0.5

（2）當k≠0時，因為■-■=■只有一個解，從方程kx2+（2-3k）x-1=0里可以看出x=1是原方程的增根（x=0不可能是增根）。把x=1代入kx2+（2-3k）x-1=0，得k+2-3k-1=0，k=0.5

把k=0.5代入kx2+（2-3k）x-1=0，得0.5x2+0.5x-1=0

解得x1=1（增根），x2=-2.

綜上所述，當k=0時，x=0.5；當k=0.5時，x=-2

3.由圖形位置引起的分類討論。一般地，當題目未提供圖形時，往往考慮分類討論，這是因為當圖形確定了，問題的結果也就確定了。但由于圖形位置或圖形本身具有不確定性，從而無法給出具體的圖形，這就要求我們能根據題目的條件畫出不同的圖形。對于三角形往往要考慮是銳角三角形還是鈍角三角形；對于圓往往要考慮弦和弧的關系等等。

例3 已知四邊形ABCD中，ΔABC是邊長為2的等邊三角形，ΔACD是一個含30°角的直角三角形。

（1）畫出四邊形ABCD（畫出圖形即可）

（2）分別求出四邊形ABCD的對角線BD的長。

思路點撥：

本題中給出的ΔABC和ΔACD位置關系不確定，故應分情況加以討論。

解答過程：

（1）如圖①②③所示：

（2）在圖①中，∵ΔABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°，

∵∠ACD=30°，∴∠BCD=90°.

在RtΔACD中，AC=cos30°·CD，∴CD=■■.

在RtΔBCD中，BD=■=■=■■

在圖②中，∵ΔABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°，

∵∠ACD=30°，∴∠BCD=90°.

在RtΔACD中，CD=cos30°·AC=■

在RtΔBCD中，BD=■=■=■.

在圖③中，過點B作CD的垂線與DC的延長線交于點H.

∵∠ACD=90°，∠ADC=30°，∴AC=tg30°·CD，

∴CD=2■.

在RtΔBCH中，∠BCH=30°，∴BH=1，CH=■，∴DH=3■.

在RtΔBDH中，BD=■=■=2■

4.由點、邊的不確定引起的分類討論。由點、邊以及圖形的形狀等的不確定，需要對問題進行分類討論，如等腰三角形中底與腰的不確定；全等三角形、相似三角形的對應點的不確定；當圖形在運動過程中，在某些特殊情況下會有特殊性質等等都需要分類討論。

例4 如圖，正方形ABCD的邊長是2，BE=CE，MN=1，線段MN的兩端在CD，AD上滑動，當DM多少時，ΔABE與以D，M，N為頂點的三角形相似？

思路點撥：

運動型問題是近幾年中考數學的熱點題型，從學習平面幾何的靜止狀態轉到圖形的運動變化狀態，需要我們對各種情形進行細致的考慮和綜合的分析。線段MN的兩端在CD，AD上滑動的過程中DM可能與BE是對應邊，也可能與AB是對應邊，需要分類討論。

解答過程：

∵正方形ABCD的邊長是2，BE=CE，∴BE=1.

∴AE=■=■=■.

（1）當DM與BE是對應邊時，■=■=■，DM=■.

（2）當DM與AB是對應邊時，■=■=■，DM=■.

∴當DM=■或DM=■時，ΔABE與以D，M，N為頂點的三角形相似。

5.應用問題中的分類討論。當所研究的應用問題條件不確定或結論不唯一時，一般需要分類討論。

例5 隨著近幾年城市建設的快速發展，對花木的需求量逐年提高。某園林專業戶計劃投資種植花卉及樹木。根據市場調查與預測，種植樹木的利潤 與投資量x成正比例關系，如圖①所示。種植花卉的利潤 與投資量x成二次函數關系，如圖②所示。（利潤和投資量的單位：萬元）

（1）分別求出利潤y1與利潤y2關于投資量的函數解析式。

（2）如果這位專業戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他能否有可能獲得最大利潤？若有可能，求出這個最大值；若沒可能，請說明理由。

解答過程：

（1）設y1=kx，y2=ax2，把圖像上的點代入可得k=2，a=■.

∴y1=2x，y2=■x2.

（2）設種植花卉的資金投入為x萬元，則種植樹木的資金為（8-x）萬元，兩項所獲利潤為y萬元，由題意得：

y=y1+y2=2（8-x）+■x2=■x2-2x+16=■（x-2）2+14.

思路分析：做到這里，容易按老習慣，繼續這樣解：

∵a=?搖■＞0，∴函數y有最小值，但不存在y的最大值。

事實上，x的取值范圍是0≤x≤8，所以y不但有最小值，并且存在著最大值。不過要根據二次函數的圖像性質分類討論。正確的應該接著這樣解：

由于0≤x≤8，拋物線的對稱軸是直線x=2.

①當0≤x≤2時，y隨x的增大而減小，所以當x=0時，y最大值=16.

②2≤x≤8時，y隨x的增大而增大，所以當x=8時，y最大值=32.

綜上所述，這位專業戶能獲得最大利潤，最大利潤是32萬元。

總之，分類討論一方面可將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當的分類可避免丟值漏解，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴謹的數學教養。

參考文獻：

[1]尖子生培優教材——數學[M].南方出版社，2010.

[2]葉偉文.例說分類討論思想在高中數學解題中的應用[J].數據教學通訊，2010.

作者簡介：王薇（1971-），女，浙江杭州人，浙江體育職業技術學院附屬體校，中學一級教師，從事中學數學教學及研究。