在練習中提升數學思維

有幸聽了特級教師朱國榮“有余數的除法復習”一課，整節課“以練帶理，提升學生思考能力”，讓我領略到了朱老師對復習課獨到的理解和其“寓深刻的數學學習于生動的學習活動之中”的教學特色。現擷幾個教學片段與大家共賞。

片段一 以練帶理 突出數學思考的有序性

教師借助多媒體逐題呈現式題：22÷8，34÷4，28÷5，52÷7。學生獨立口算完成，并把答案寫在練習紙上。

當練習完成后，教師沒有直接反饋結果，而是提出問題：如果讓你檢查結果對不對，用什么方法？

生：用“除數乘商，加上余數”，看是不是等于被除數。

教師順著學生的說法板書：

商×除數+余數=被除數。

師：有不同意見嗎？

生：可以列豎式計算。

教師肯定了列豎式算一遍同樣是一種檢查的方法后，以算式加以引導：（板書）36÷5=6……6，這個算式的結果對不對？

生：不對。

師：為什么？

生：余數不應該比除數大。

師：那你覺得檢查有余數除法的計算結果，先得檢查什么？

生：余數。

引導小結：檢查有余數除法的答案，先看余數是不是比除數小，然后再根據“商×除數+余數=被除數”的方法來檢驗。

至此，教師請學生自查剛才計算的結果，然后指名反饋答案（如下圖）。

[賞析] 復習課一般有兩個基本任務：一是“理”，即理清知識間的聯系；二是“練”，即練熟相應的知識技能。因此，“先理后練”已經成為復習課教學的基本模式。朱老師沒有機械處理“理”和“練”的關系，而是結合基本訓練，以“練”帶“理”，巧妙地將“有余數除法”單元的基本內容蘊含在練習中進行了梳理。然后通過提問： “如果讓你檢查結果對不對，用什么方法？”將被除數、除數、商和余數之間的關系梳理交給了學生；當學生對“余數”的關注不夠到位時，又以“36÷5=6……6”這樣一個算式判斷結果正確與否，引導學生回顧余數和除數之間的關系。最終通過梳理，既讓學生體會到檢驗的必要性，喚起學生對“有余數除法”檢驗基本步驟的回憶，培養學生有序思考問題的思維習慣，本環節的教學也顯得豐滿而又扎實。

片段二 辨別比較 突出數學思考的嚴謹性

問題一：有37顆紐扣，每件衣服要釘5顆，可以釘幾件衣服？

問題二：有37千克油，每個油桶能裝5千克，至少需要幾個油桶？

請先看題思考，再動筆完成。

反饋第1題——

生：37÷5=7（件）……2（顆），答：可以釘7件衣服。

師：你是怎么想的？

生：37顆紐扣釘了7件衣服后，還剩2顆紐扣，不能再釘了。所以可以釘7件。

反饋第2題——

生：37÷5=7（個）……2（千克），答：至少需要7個油桶。

有學生提出反對意見：還有2千克放哪里呢？

師：那你是怎樣算的？

生：37÷5=7（個）……2（千克），7+1=8（個）答：至少需要8個油桶。

教師追問：兩個問題，都用37÷5=7……2這個算式來解決的，為什么第一道商7不加1，第二道商7要加上1呢？

生：第一道剩下的2顆紐扣不能再釘了，第二道剩下的2千克油，得再用一個桶才能裝完。

師：在生活中，像這樣算出來的商再加上1的現象還是比較多的，你能舉個例子嗎？

生：一個鉛筆盒只能放8支筆。現在有33支筆要放在這樣的鉛筆盒內，至少要幾個？

師：怎樣算？

生1：33÷8=4（個）……1（支），4+1=5（個）。

生2：一輛汽車可坐5人，現在有37人，至少需要多少輛這樣的汽車？

師：又怎樣算？

生2：37÷5=7（輛）……2（人），7+1=8（輛）。

[賞析]用學過的知識解決實際生活問題，是引導學生感受數學與生活密切聯系的重要手段，而選擇怎樣的問題，既有利于學生感受到數學與生活實際間的聯系，又能有利于促進學生對數學知識的深刻理解、數學思維能力進一步提升。朱老師本環節教學給了我們兩點啟示。一點啟示是問題的典型性。作為一節“有余數除法”單元復習課，“衣服釘紐扣”和“油桶裝油”這兩個問題，其實是與有余數除法相關的典型問題。兩個問題雖然都用37÷5=7……2這樣一個算式解答，但因為具體生活事件對結果的要求不同，在解釋和處理“余數”時，一個需要“去尾”，一個需要“進一”。另一點啟示是對比式推進。在上課中朱老師在組織學生分析思考時，始終抓住問題的本質引導學生思考，在分析差異的基礎上得出結論。這樣的典型問題，對比式教學，有利于學生通過比較抓住事件的關鍵要素理解問題解決的過程。當學生在說明“釘紐扣問題”的結果是“7件”時說“還剩2顆紐扣，不能再釘了”，在說明“裝油問題”的結果從“7個”變換成“8個”時提出“還有2千克放哪里呢”這個問題，學生對問題的本質已經了然于胸。而這也正是學生在思維發展過程中，全面考慮問題意識與分析問題能力培養極佳的歷練過程。

片段三 提升練習 實現數學思考的深刻性

教師談話交代情境：公園里租游船，每艘游船上只能坐4位嘉賓，且嘉賓的位置作了編號（如下圖）：

提出問題：我們每位同學都有學號吧。如果我們班全體同學去，要求按學號順序坐船，你覺得你應該坐在哪條船的幾號嘉賓位置？

學生思考后交流。

師：1號同學坐在哪里？

生：第1條船的1號嘉賓位置。

師：8號同學坐在哪個位置？

生：第2條船的4號嘉賓位置。

師：30號同學，該坐哪個位置？請你幫忙算一算。

學生獨立完成后指名反饋：30÷4=7（條）……2（人）

師：看了算式，你覺得他坐在哪里？

生：坐在第8條船的2號嘉賓。

師：為什么要坐到第8條船上去了呢？

生：第7條船坐滿了，只能坐到第8條上去了。

師：現在每位同學算算自己應該坐在哪里？

學生計算后反饋。

師：坐在1號嘉賓位置的同學，請你站起來。

有一部分學生站了起來。老師請他們說出自己的學號。結果出現了以下學號：

1，21，45，16，13，37，5，41，44，29，9。

師：請你觀察一下，有沒有混進來的。

生：16號不是。

師：為什么？

生1：16除以4等于4，沒有余數。他應該坐在第4條船的4號嘉賓位置上。

生2：44號也不是。44除以4等于11，他應該坐在第11條船的4號嘉賓位置上。

生3：我還知道了一種方法，這些數都是4的倍數加1。

師：你的意思是說，這些數減去1，都是4的倍數？

生：是的。

教師繼續引導學生思考：坐在1號嘉賓位置上的學號數是不是除以4以后，余數都是1呢？

生：是的。

師：我們是不是可以這樣來寫呢？

順勢板書成：

嘉賓1號□÷4=（ ）……1。

師：請你思考，坐在2號嘉賓位置上的，結果又是怎樣的呢？

生：除以4后余數都是2。

師：是這樣的嗎？請你驗證一下。

學生確認后，教師板書：2號嘉賓位置□÷4=（ ）……2。

師：3號、4號嘉賓位置呢？

生：坐在3號位置的，學號數除以4后余數都是3。

再板書：3號嘉賓位置□÷4= （ ）……3。

生：坐在4號位置的，學號數除以4沒有余數。

[賞析]復習課的教學，不應該僅僅是知識內容的簡單回顧與重復，它應該在相關知識梳理、提煉的基礎上發展與提升。拓展練習一般是復習課提升學生思維力的重要途徑。在本環節教學中，“旅游坐船問題”，因為結合了學生的學號，所以激發了學生參與研究的興趣，在思維層面上有一定的挑戰性，需要學生在解決過程中結合“余數”的特征來思考。整個過程，教師通過不同的層次和采用多樣的反饋方式拉長了學習研究的過程，實現了引導學生思維走向深刻的目標。

在教學片段三中，我們從對單個學號數研究到對多個學號數分析，從對除以4余數為1的學號數研究到對除以4余數為1、2、3、0的所有學號數的特征的歸納，層層推進，思維逐步提升，既有解決問題的過程，更有整體把握、思考內化的過程。當在對“坐在1號嘉賓位”上的學生報出的學號數進行分析時，有學生突然說：“我還知道了一種方法，這些數都是4的倍數加1。”這樣的思維結果，本身就是學生對規律的提煉過程，是對數學知識理解逐漸走向深刻的反映。而正因為學生的思維達到這樣的水平以后，教師后續引導得出“除以4余數為1、2、3、0”的規律就顯得充分而自然了。我們可以清晰地感受到，此時的練習，已經不僅僅起到熟練計算、培養技能的作用，它更具有發展、提高學生思維能力的價值了。（作者單位：浙江省嘉興市南湖區教研室）■

□責任編輯 孫恭偉

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