一節(jié)“難”題教學(xué)的化“易”過程

摘 要：面對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)中一些“難學(xué)”、“難教”的內(nèi)容，如何尋求一種“適切”的教法和學(xué)法，達(dá)到化“難”為“易”的功效。這要精心設(shè)計(jì)問題，用“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”，采用問題串、變式串來搭建“腳手架”，用設(shè)問來啟發(fā)學(xué)生自主探究，逐步形成一種能理解、能探究、能化“難”為“易”的數(shù)學(xué)思想和心理機(jī)制。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；化難為易；適合學(xué)生；適切教學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-010X（2012）01-0047-03

函數(shù)中的“任意性和存在性”是現(xiàn)行高中教材的一個(gè)重要概念，也是大學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)基本詞語。與“任意性和存在性”相關(guān)的數(shù)學(xué)命題是近年來高考中的一個(gè)熱點(diǎn)和難點(diǎn)，經(jīng)常成為整張?jiān)嚲碜詈蟮膲狠S問題，學(xué)生普遍感覺到困難和恐懼，教師反映難于把握其復(fù)習(xí)教學(xué)。面對(duì)這樣“難學(xué)”、“難教”的內(nèi)容，如何尋求一種既“適合”學(xué)生，又能“摘到”桃子的教學(xué)？如何尋求一種好的“教藝”和“學(xué)法”，達(dá)到 化“難”為“易”的功效。近日，在紹興市高三復(fù)習(xí)優(yōu)質(zhì)課比賽研修活動(dòng)中，我們備課組的同事圍繞這個(gè)話題，一起經(jīng)歷了“磨課”的過程。

第一次上課，教師備課選用了三道高考?jí)狠S題作為上課的內(nèi)容，一是2009年浙江高考試題理科22題，二是2010年浙江紹興高三教學(xué)調(diào)測(cè)試題理科22題，三是2010年山東高考試題理科22題，并準(zhǔn)備把前面的兩道題作為例題，后面的一道題做為練習(xí)。

上課一開始教師就直接將2009年浙江高考理22題投影顯示，并問學(xué)生誰會(huì)做請(qǐng)發(fā)言，課堂上一片寂靜，約過了10分鐘還是沒一個(gè)學(xué)生說話，教師只得一個(gè)一個(gè)點(diǎn)名地問，學(xué)生卻都臉有難色地說不會(huì)做，時(shí)間一分分又過去了好一會(huì)，教師急了，匆忙地詳細(xì)解答了這個(gè)題目，之后剩給例題2的時(shí)間不多了，教師有點(diǎn)亂了陣腳，處理就更是草草了事。

課后備課組的同伴圍在一起七嘴八舌，有的說太難了，學(xué)生反映都說難。有的說太亂了，教師這樣講有點(diǎn)生吞活剝、囫圇吞棗似的。那么到底難在哪里？怎樣的教學(xué)處理能化“難”為“易”？這節(jié)課要達(dá)到什么樣的教學(xué)目標(biāo)？什么樣的教學(xué)境界？這節(jié)課首先是難在學(xué)生“對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x1，存在惟一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），使得q′（x2)=q′（x1）成立？”這樣的語言不理解，也不知道用什么思想方法、從哪些思維的角度、怎樣去理解這些“陌生的東西”？其次是難在整節(jié)課自始至終處處是“驚濤駭浪”，尤其是一開始就是2009浙江22題這樣一座“難以攀登的大山”，學(xué)生不知道用什么樣的問題解決策略、從哪些解題途徑、怎樣入手去化解這種“大疙瘩”？經(jīng)過討論，大家認(rèn)為這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)不僅是要學(xué)生掌握函數(shù)的任意性和存在性問題，而且要通過這樣的問題解決教學(xué)過程形成一種能理解“陌生的東西”、解決“大疙瘩”的數(shù)學(xué)思想和思維方法，形成一種能探究“陌生的東西”、解決“大疙瘩”的心理意識(shí)和機(jī)制。按照這樣的想法，重新進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，第2次上課教師利用問題串、變式串在學(xué)生最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行啟發(fā)探究教學(xué)。

引入：請(qǐng)大家回顧集合關(guān)系的定義，用自然、符號(hào)、圖形三種語言描述兩個(gè)集合的包含關(guān)系，并舉出2個(gè)具體函數(shù)的值域來說明。

學(xué)生：如果集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B的元素，就說集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。記作A B（或B A），也說集合A是集合B的子集。用符號(hào)語言表達(dá)即為若對(duì)任意x∈A，都有x∈B，則A B。用文圖表示（略）。具體例如f（x）=8x+3，x∈[0，1]，值域A=[3，11]，g（x）=3x2-14x+5，x∈[-1，0]，值域B=[5，22]，A B等。

問題1：已知函數(shù)f（x）=2k2x+k，x∈[0，1]，函數(shù)g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5，x∈[-1，0]，問k=2時(shí)，對(duì)任意x1∈[0，1]，是否存在x2∈[-1，0]，使g（x2）=f（x1）成立。

教師：請(qǐng)你畫出函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象之間的關(guān)系理解題意，用圖象視角作出判斷。

學(xué)生：從兩個(gè)圖象聯(lián)系上看，不一定存在。

變式1：當(dāng)k=6時(shí)，對(duì)任意x1∈[0，1]，是否存在x2∈[-1，0]，使g（x2）=f（x1）成立

教師：請(qǐng)你畫出函數(shù)圖象，求出值域，并根據(jù)值域之間的關(guān)系理解題意，用集合關(guān)系視角作出判斷。

學(xué)生：f（x）=8x+2，值域A=[6，78]，g（x）=3x2-14x+5，值域B=[5，94]，A B，所以存在。

變式2:x1∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，使得g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范圍。

教師：請(qǐng)你畫出函數(shù)圖象，求出值域，并根據(jù)圖象直觀及值域之間的關(guān)系理解題意，給出解析。

學(xué)生：f（x）=2k2x+k，x∈[0，1]的值域A=[k，2k2x+k]，g（x）=3x2-2（k2+k+1）x+5，x∈[-1，0]的值域B=[5，2k2+2k+10]，“對(duì)任意x∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，使得g（x2）=f（x1）成立”，等價(jià)于值域A B，既5≤k且2k2+k≤2k2+2k+10，所以5≤k。

變式3：存在x1∈[0，1]，x2∈[-1，0]，使得g（x2）=f（x1）成立，求k的取值范圍。

變式4：對(duì)任意x1∈[0，1]，x2∈[-1，0]，使得g（x2）＜f（x1）成立，求k的取值范圍。

變式5：存在x1∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，使得g（x2）＜f（x1）成立，求k的取值范圍。

教師：請(qǐng)你嘗試獨(dú)立解析上述問題，并進(jìn)行反思總結(jié)。

學(xué)生：（3）中的“存在x1∈[0，1]，x2∈[-1，0]，使得g（x2）＜f（x1）成立”，等價(jià)于g（x）的值域與f（x）的值域的交集非空。

（4）中的“對(duì)任意x1∈[0，1]，x2∈[-1，0]，使得g（x2）＜f（x1）成立”，等價(jià)于gmin（x）＜fmin（x）。

（5）中的“存在x1∈[0，1]，存在x2∈[-1，0]，使得g（x2）＜f（x1）成立”，等價(jià)于f（x）min＞g（x）min。

學(xué)生：對(duì)函數(shù)中的存在性和任意性問題，相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域之間的關(guān)系，不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值大小。

問題2：2009浙江高考試題理科22題，已知函數(shù)f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R。

（II）設(shè)函數(shù)q（x）=g（x），x≥0f（x），x＜0是否存在k，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x1，存在惟一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）成立？若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

教師：面對(duì)“陌生的東西”，（習(xí)慣上應(yīng)養(yǎng)成）該“先做些什么”？

學(xué)生：畫出q′（x）的圖象，看看題意的幾何意義，數(shù)形結(jié)合起來理解題目意思。

學(xué)生：看看是否能轉(zhuǎn)化為“熟悉的東西”，化歸于“已經(jīng)解決的東西”。

教師：這個(gè)問題與前面的“問題1”有什么聯(lián)系。

學(xué)生：分段函數(shù)q′（x）的兩個(gè)部分就是問題1中的兩個(gè)函數(shù)，不同的是一個(gè)是兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系，一個(gè)是一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)部分之間的關(guān)系。

學(xué)生：分段函數(shù)q′（x）的兩個(gè)部分可以相對(duì)看成“兩個(gè)函數(shù)”，“存在惟一”等價(jià)于“單調(diào)性”

學(xué)生：具體解析，當(dāng)x＜0時(shí)有q′（x）=f′（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5，

當(dāng)x＞0時(shí)有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，因?yàn)楫?dāng)k=0時(shí)不合題意，因此k≠0，

下面討論k≠0的情形，記A=（k，+∞），B=（5，+∞）

（ⅰ）當(dāng)x1＞0時(shí)，q′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＜0且A B，因此有k≥5，

（ⅱ）當(dāng)x1＜0時(shí)，q′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以要使q′（x2）=q′（x1）成立，只能x2＞0且A B，因此k≤5，綜合（ⅰ）（ⅱ）k=5。

當(dāng)k=5時(shí)A=B，則 x1＜0，q′（x1）∈B=A即 x2＞0使得q′（x2）=q′（x1）成立，因?yàn)閝′（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以x2的值是唯一的，

同理 x1＜0，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），要使q′（x2）=q′（x1）成立，所以k=5滿足題意。

教師：請(qǐng)大家再回顧反思總結(jié)，有什么經(jīng)驗(yàn)規(guī)律總結(jié)？有什么東西可以升華？

學(xué)生：這類問題除了與前面所說把問題轉(zhuǎn)化為值域之間的關(guān)系之外，還要求考慮單調(diào)性，即由單調(diào)性得出存在惟一。解題時(shí)，可以先畫出分段函數(shù)q′（x）的圖象，結(jié)合圖象去理解“對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)x1，存在惟一的非零實(shí)數(shù)x2（x2≠x1），使得q′（x2）=q′（x1）成立”的意思，用函數(shù)的思想、數(shù)形結(jié)合的方法，去分析轉(zhuǎn)化，問題常會(huì)迎刃而解。事實(shí)上，因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)有q′（x）=f′（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5是單調(diào)遞減，當(dāng)x＞0時(shí)有q′（x）=g′（x）=2k2x+k，單調(diào)遞增，圖象直觀明了。

變式1：2010年浙江紹興高三教學(xué)調(diào)測(cè)試題理科22題，已知函數(shù)f（x）=（2-a）（x-1）-21nx，g（x）=xe1-x，a∈R

（III）若對(duì)任意給定的x0∈[0，e]，在[0，e]上總存在兩個(gè)不同的xi（i=1，2），使得f（xi)=g（x0）成立，求a的取值范圍。

教師：請(qǐng)大家想一想、做一做，對(duì)“任意給定、存在兩個(gè)”怎么辦？

學(xué)生：同樣的，這類問題除了與前面所說把問題轉(zhuǎn)化為值域之間的關(guān)系之外，還要考慮滿足“存在兩個(gè)”，借助圖象去理解就一目了然了，并很快畫出了草圖來說明之，解析略。

課結(jié)束了，大家喜笑顏開，為課的成功而高興。課堂從“差”變“好”、問題由“難”變“易”，成功的背后有些什么東西值得總結(jié)？這些東西又是否具有規(guī)律性和普遍性？成了備課組同伴一起討論的話題。

要化“難”為“易”，就要退回到最“適合”學(xué)生的地方進(jìn)行教學(xué)，就要充分地去理解學(xué)生，解決“教給誰”的問題。要了解學(xué)生已經(jīng)有的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知，要了解學(xué)生在“這個(gè)問題上”已經(jīng)“知道了什么”，在將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容中，可能遇到的思維障礙是什么，以及對(duì)于“這個(gè)問題”是如何展開“思考”的。這節(jié)課表面上是學(xué)生對(duì)題目中語句的不懂和綜合題難解，其本質(zhì)上是學(xué)生面對(duì)“陌生的東西”、“難以攀登的大山”，缺少去理解、去解決的思想方法和心理機(jī)制。

要化“難”為“易”，就要退回到學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”進(jìn)行教學(xué)，就要充分地去理解教學(xué)，解決教學(xué)“途徑”的問題。理解教學(xué)過程是以數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程為載體的學(xué)生認(rèn)知過程，討論怎么教，才能讓學(xué)生“跳一跳摘到桃子”，才能使學(xué)生獲得最大的學(xué)習(xí)效益。理解“教師之為教，不在全盤授予，而在相機(jī)引導(dǎo)”。只有這樣才是有的放矢，事半功倍，反之，教師采取簡(jiǎn)單粗暴的判斷方式和拼體力的詳細(xì)講解的做法，都可能因未理解學(xué)生數(shù)學(xué)意義建構(gòu)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)而事倍功半，甚或徒勞無益。第二次教學(xué)設(shè)計(jì)中，根據(jù)學(xué)生實(shí)際，把2009浙江22題這樣一座“難以攀登的大山”進(jìn)行了“解體”、“退化”，設(shè)計(jì)了一系列問題串、變式串，并注重了它的問題性、指向性、適切性、探究性和有效性，比較好地突破了教學(xué)的難點(diǎn)。這節(jié)課中的問題1及其變式其實(shí)是問題2的“退化”，是根據(jù)問題2中的函數(shù)q′（x）編制而來的。

要化“難”為“易”，就要退回到最核心的數(shù)學(xué)概念、最核心的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行教學(xué)，就要充分地去理解數(shù)學(xué)，解決內(nèi)容“是什么”的問題，弄清內(nèi)容所反映的核心概念和核心思想。

要讓學(xué)生養(yǎng)成從數(shù)學(xué)核心概念、數(shù)學(xué)核心思想出發(fā)進(jìn)行思考問題、解決問題的習(xí)慣，要讓學(xué)生體會(huì)到解題的靈活性來源于概念的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，體會(huì)到“數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”，技巧是不可靠的，要讓學(xué)生強(qiáng)化概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路。這節(jié)課的內(nèi)容所蘊(yùn)函的核心思想是集合思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及它們之間的聯(lián)系，因此，第二次上課退到了集合、函數(shù)、圖象、數(shù)形結(jié)合這些最基本的東西上，強(qiáng)化了它們的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化關(guān)系的教學(xué)。

要化“難”為“易”，就要退回到最“適切”的教學(xué)設(shè)計(jì)，就要在充分理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)的基礎(chǔ)上，做出教學(xué)問題診斷，明確內(nèi)容和內(nèi)容解析、目標(biāo)和目標(biāo)解析，精心設(shè)計(jì)問題，采用“問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)”的教學(xué)，采用問題串、變式串來搭建“腳手架”。這節(jié)課的內(nèi)容“標(biāo)高”是2009浙江高考試題理科22題，它像座“無限風(fēng)光的險(xiǎn)峰”，直接難以登上，圍繞著它設(shè)置了問題1及其4個(gè)變式來搭建學(xué)生得以攀爬的“支架”，使學(xué)生一步一個(gè)臺(tái)階，循序漸進(jìn)、節(jié)節(jié)攀登，使課堂真正回歸到數(shù)學(xué)知識(shí)生成、學(xué)生思維發(fā)生的“原生態(tài)”。這樣的設(shè)計(jì)，自然順暢，層層遞進(jìn)，使學(xué)生在一步步減緩難度的情況下，使意義建構(gòu)在經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上。

要化“難”為“易”，就要退回到“適切”的教學(xué)方法，就是要根據(jù)學(xué)生實(shí)際調(diào)整設(shè)問，用小步設(shè)問控制難度、啟發(fā)誘導(dǎo)。就是要教師采用設(shè)問導(dǎo)向，注意“先行組織者”的使用，注意在研究方法上多給指導(dǎo)，給學(xué)生提供類比的對(duì)象和方法，讓學(xué)生自己提問、自己發(fā)現(xiàn)、自己探究。并在過程中逐步加大開放探究力度，逐步培養(yǎng)自主探究的習(xí)慣，逐步形成一種能理解、會(huì)探究“陌生的東西”的數(shù)學(xué)思想和心理機(jī)制。這節(jié)課教師采用在引入中“回顧描述”“例舉說明”，在問題1中“用圖象視角判斷”，在變式1中“集合視角判斷”，在變式2、3、4中“請(qǐng)你嘗試”、“總結(jié)規(guī)律”，在問題2中的“數(shù)形結(jié)合起來理解”、“轉(zhuǎn)化為熟悉的東西”、“請(qǐng)大家再回顧反思，有什么經(jīng)驗(yàn)規(guī)律總結(jié)？有什么東西可以升華？”在問題3中的“請(qǐng)大家想一想、做一做”等具體設(shè)問中進(jìn)行啟發(fā)，一環(huán)扣一環(huán)、一步進(jìn)一步，引導(dǎo)學(xué)生在一個(gè)逐步開放的空間里自主地探究，在“做”中真正學(xué)會(huì)如何解決問題。

參考文獻(xiàn)：

［1］章建躍.中學(xué)數(shù)學(xué)課改的十個(gè)論題［Ｊ］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（高中），2010，（3）.

［2］劉智強(qiáng).用“情境 問題串”引導(dǎo)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)［Ｊ］.教育實(shí)踐與研究（中學(xué)版），2008，（2）.