“頻率與概率的關(guān)系”教材分析及施教建議

摘 要：準(zhǔn)確地理解、把握教材是取得良好教學(xué)效果的基礎(chǔ)。理解一節(jié)教材應(yīng)理解該節(jié)教材在《課標(biāo)》中的具體要求是什么；在整個學(xué)科體系中和在全冊教材體系中的地位和作用是什么；該知識產(chǎn)生的背景是什么；內(nèi)容上的內(nèi)在邏輯順序是什么；教材中蘊(yùn)含的思想方法有哪些；教材中正文、例題、練習(xí)題、課后習(xí)題的設(shè)置意圖是什么等。在深刻理解準(zhǔn)確把握教材的基礎(chǔ)上，遵循“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”“等重要教學(xué)原則實施教學(xué)。

關(guān)鍵詞：頻率與概率的關(guān)系；教材分析；施教建議

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2012）01-0045-02

準(zhǔn)確地理解教材、把握教材是取得良好教學(xué)效果的基礎(chǔ)。筆者以冀教版八上第19章第3節(jié)“頻率與概率的關(guān)系”一節(jié)教材為例說明如何全面理解教材，參悟教材，進(jìn)而準(zhǔn)確施教。

一、宏觀分析

（一）從本節(jié)教材在《課標(biāo)》中的具體要求上看

1.理解當(dāng)實驗次數(shù)足夠多時，實驗頻率穩(wěn)定于理論概率，并可據(jù)此估計某一事件發(fā)生的概率；

2.充分動手實驗，與同學(xué)交流、討論，加深對概率與頻率定義的理解與認(rèn)識，理解隨機(jī)事件中隱含的確定性；

3.通過動手實驗和課堂交流，提高學(xué)生交流水平，發(fā)展探索、合作精神。

（二）從本節(jié)教材在整個學(xué)科體系中的地位和作用上看

統(tǒng)計與概率是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的四個板塊內(nèi)容之一，它與日常生活息息相關(guān)，它是伴隨著新課程改革才充實到初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容中的。概率的思想和方法是人們判斷、決策日常行為的重要方法，因此對于已有一定生活經(jīng)驗的中學(xué)生來說，計算某件事件發(fā)生的頻率及由此推斷發(fā)生的概率顯得尤為重要。概率的有關(guān)知識沒有全部安排在一個章節(jié)中學(xué)習(xí)（分別安排在八上和九上各一章），體現(xiàn)了編者“分散難點，減輕負(fù)擔(dān)”的思想。

本節(jié)教材內(nèi)容很好地把統(tǒng)計思想和概率思想進(jìn)行了有機(jī)整合，通過大量數(shù)據(jù)的匯總、計算、分析得出頻率，進(jìn)而推測概率，這是本節(jié)教材內(nèi)容的主旨。教師在備課過程中要務(wù)必掌握。

（三）從本節(jié)教材在全冊教材體系中的地位和作用看

冀教版八上全冊共安排了7章內(nèi)容，其中數(shù)與式安排了4章，圖形與坐標(biāo)安排了2章，統(tǒng)計與概率（實際上主要是概率知識）安排了1章，且安排在全冊書的尾章，本節(jié)知識又是尾章中的尾節(jié)，其難度可見一斑。盡管前2節(jié)教材內(nèi)容已有頻率與概率的初步認(rèn)識，但何時、何條件下，事件發(fā)生的頻率能代替概率？如何創(chuàng)設(shè)合理、公正的實驗方案探求事件發(fā)生的概率？這兩點是本節(jié)教學(xué)的重點和難點。實驗方案的優(yōu)劣直接影響實驗數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度，進(jìn)而影響事件概率的真實度。本節(jié)教材既是前面兩節(jié)教材內(nèi)容的延續(xù)，又是后續(xù)內(nèi)容“概率的計算和估計”（九上第三十三章）學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。

（四）從本節(jié)知識產(chǎn)生的背景上看

18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家布豐和勒克萊爾提出“投針問題”即“在平面上畫一組間距為d的平行線，將一根長度為l（l此針與平行線中任意一條相交的概率”是該節(jié)知識產(chǎn)生的生活背景。從該問題的解決中，得出事件發(fā)生的概率可由大量重復(fù)實驗時事件發(fā)生的頻率來估計。

二、微觀分析

（一）從三小節(jié)教學(xué)內(nèi)容的邏輯順序上看

本節(jié)教材分三小節(jié)傳授，每小節(jié)安排一課時的教學(xué)。在內(nèi)容編排上體現(xiàn)了由簡單到復(fù)雜：前兩課時分別借助擲硬幣和摸乒乓球?qū)嶒烍w會事件發(fā)生頻率的特點及頻率與概率的關(guān)系，后一課時借助摸撲克牌游戲，直接計算事件（兩張牌同色或不同色）發(fā)生的概率，實驗對象由1枚硬幣→2個乒乓球→4張撲克牌，實驗內(nèi)容逐漸趨向復(fù)雜；實驗難度呈螺旋上升態(tài)勢：第一課時實驗對象是一個（1枚硬幣），實驗結(jié)果是2種（正面向上和反面向上）；第二課時實驗對象為2個（2個乒乓球），而且是有放回實驗，實驗結(jié)果是3個（兩球標(biāo)號之和可以是2、3、4）；第三課時實驗對象是4個（4張撲克牌），而且是不放回實驗，實驗結(jié)果是12個（略）；從問題設(shè)置上循序漸進(jìn)：前兩課時，伴隨實驗的進(jìn)行，問題適時出現(xiàn)，不顯突然，而最后一課，教學(xué)伊始，編者就將問題拋出，引導(dǎo)學(xué)生首先直觀猜想，其次再實驗探究，這樣設(shè)置問題很有挑戰(zhàn)性，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，易使學(xué)生學(xué)習(xí)時拾級而上。

（二）從本節(jié)教材蘊(yùn)含的思想方法上看

在本節(jié)教材內(nèi)容中，我們不難發(fā)現(xiàn)“統(tǒng)計”“轉(zhuǎn)化”的思想蘊(yùn)含其中。擲硬幣實驗正面向上次數(shù)的統(tǒng)計、摸球?qū)嶒炛袃汕驑?biāo)號之和的統(tǒng)計、撲克牌花色顏色同色和不同色的統(tǒng)計充盈在每次實驗過程中，可以說統(tǒng)計無處不在。沒有對相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計就不會做出合理的概率估計。至于轉(zhuǎn)化思想，在第三課時體現(xiàn)得尤為明顯，將撲克牌中方塊2、紅心2、梅花2、黑桃2分別用數(shù)字1、2、3、4替代，就是一種很好的轉(zhuǎn)化，將娛樂工具用學(xué)生熟知的數(shù)字替代，探究其中任意兩數(shù)的奇偶組合可能性大小，當(dāng)然也可以做其它類型 的轉(zhuǎn)化，如用三角形、四邊形、圓、橢圓圖形符號代替，判斷隨意抽取的兩個圖形同類和不同類的概率。

（三）從教材正文、例題、練習(xí)題、課后習(xí)題的設(shè)置意圖上看

縱觀整節(jié)教材，任意一小節(jié)的課堂練習(xí)題、課后習(xí)題都是正文引例和例題的翻版，其難度均不高于教材例題的難度，同時又是例題解題方法的有益補(bǔ)充，便于學(xué)生及時掌握例題揭示的實驗方法，形成數(shù)學(xué)技能和經(jīng)驗。以第三課時為例，課后習(xí)題1、2就是教材例題的延續(xù)，習(xí)題3就是正文中引例的翻版再現(xiàn)，兩個例題的設(shè)置旨在教會學(xué)生掌握：1.編號是處理問題的重要方法；2.構(gòu)建模型進(jìn)行實驗是研究問題、驗證觀點的根本方法。縱觀數(shù)學(xué)史上的每次重大發(fā)現(xiàn)和重大進(jìn)步無不伴隨大量的數(shù)學(xué)實驗。

三、施教建議

（一）堅持“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)原則

北京教育學(xué)院教授、特級教師吳松年曾說過“任何忽視學(xué)生主體地位的教學(xué)都不可能取得成功”。在本節(jié)教材的施教過程中，學(xué)生結(jié)組合作、動手實驗、動手計算應(yīng)貫穿課堂教學(xué)的始終，教師在學(xué)生活動中應(yīng)擔(dān)當(dāng)組織者、指導(dǎo)者、引導(dǎo)者的角色。

問題探究伊始和結(jié)束時，教師提出有價值的問題，促使學(xué)生及時歸納總結(jié)與反思是取得良好教學(xué)效果的關(guān)鍵。例如在前2個課時的實驗（擲硬幣實驗和摸乒乓球?qū)嶒灒┨骄拷Y(jié)束時，教師適時提問：1.實驗次數(shù)多與少時，事件發(fā)生的頻率變化嗎？2.實驗次數(shù)足夠多時，事件發(fā)生的頻率有穩(wěn)定性嗎？3.實驗結(jié)束后，事件發(fā)生的概率與實驗開始前你的猜想一致嗎？為什么？實踐證明，只有在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生的理性思維才能形成，才會產(chǎn)生“頓悟”。

（二）堅持“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)”的教學(xué)原則

《課標(biāo)》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)，是師生之間、學(xué)生之間交往互動與共同發(fā)展的過程”。一切教學(xué)活動應(yīng)以良好的、有效的數(shù)學(xué)活動貫穿課堂教學(xué)的始終。實施本節(jié)教材教學(xué)時，學(xué)生應(yīng)進(jìn)行擲硬幣、摸球、摸牌等實驗，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的趣味性、合作學(xué)習(xí)的重要性。在課堂上，學(xué)生的動手實驗、討論質(zhì)疑、辯論說理等活動應(yīng)是一道亮麗的風(fēng)景。

（三）堅持“實驗是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的重要方法”的教學(xué)原則

無論深邃的數(shù)學(xué)問題，還是鮮活的生活問題，當(dāng)理性思維難以破解時，及時構(gòu)建模型實施實驗是解決問題的重要方法。如在第3課時摸牌問題中，學(xué)生的直覺思維認(rèn)為“任意抽出的兩張牌要么花色顏色相同，要么相反，只有這兩種情況，因此認(rèn)定成功和失敗的概率各為1/2”（受擲硬幣實驗時，只有“正面向上”和“反面向上”兩種結(jié)果這一思維定勢的影響）。殊不知這樣的直覺思維是錯誤的，而澄清錯誤認(rèn)識的一個重要方法是使學(xué)生親身經(jīng)歷實驗，通過實驗結(jié)果修正自己的判斷。再如擲一枚圖釘，釘尖著地與釘帽著地的概率一樣大嗎？若不一樣，概率分別是多少？諸如此類問題，唯有通過大量實驗，才能獲取可靠答案。

（四）堅持“以問題為載體創(chuàng)設(shè)教學(xué)活動”的教學(xué)原則

數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)問題的教學(xué)。來自數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的問題和生活中的問題為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了原動力。學(xué)生的能力和解題經(jīng)驗在不斷解決問題中得到提升。有思維價值的問題，既能鍛煉學(xué)生的直覺思維、抽象思維能力，又會對學(xué)習(xí)經(jīng)驗和技能進(jìn)行高度整合，形成新的能力。縱觀本節(jié)教材的每一課時，均以問題起始，又在實驗探究結(jié)束后以“大家談?wù)劇薄坝^察思考”等形式提出新的問題。在這些問題的不斷解決中，學(xué)生的經(jīng)驗與技能得到完美升華。