概括能力的內(nèi)涵及其支持要素

概括是思維的基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)和研究能否獲得正確的抽象結(jié)論，取決于概括的過程和概括的水平。概括是一個從具體向抽象、初級向高級發(fā)展的過程，概括是有層次的、逐步深入的。隨著概括水平的提高，學(xué)生的思維從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展。在教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生思維發(fā)展水平和概念的發(fā)展過程，及時向?qū)W生提出高一級的概括任務(wù)，以逐步培養(yǎng)學(xué)生的概括能力。本期刊發(fā)相關(guān)文章，旨在引發(fā)教師對這一問題的深入探討和思考。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要以學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)為核心，堅持能力為重。要使學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，就是要學(xué)會思考、學(xué)會概括、學(xué)會推理。為此，對于“概括”一詞，我們除了要從思維手段加以解讀外，還要從能力維度進(jìn)行分析。本文試著從概括能力的內(nèi)涵、培養(yǎng)概括能力的支持要素來談?wù)劰P者的認(rèn)識與思考。

一、概括能力的內(nèi)涵

作為一種思維形式與手段，概括是指把抽象出來的若干事物的共同屬性歸結(jié)出來進(jìn)行考察的一種思維方法。概括要以抽象為基礎(chǔ)，它是抽象的發(fā)展。抽象與概括聯(lián)系緊密、相互依存，所以很多時候兩者是相提并論的，如“概括”表述中一般會連帶“抽象”一詞，通稱為“抽象概括”。從思維過程與方法來看，抽象與概括都是從研究對象或問題中抽取、歸結(jié)數(shù)量關(guān)系或空間形式而舍棄其他屬性，小學(xué)數(shù)學(xué)中的概念、關(guān)系、性質(zhì)、法則、符號等都是抽象概括的思維產(chǎn)物。

作為一種能力，概括是指發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力，即發(fā)現(xiàn)具體事例中各種屬性之間的關(guān)系、發(fā)現(xiàn)新舊知識之間關(guān)系的能力。不同的人在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中表現(xiàn)出不同的能力水平。有研究表明，對數(shù)學(xué)材料的概括能力差異是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力水平之間的主要差異之一。

實現(xiàn)對數(shù)學(xué)材料的有效概括，其中重要的標(biāo)志是能夠從不同的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)共性、從不同性質(zhì)的現(xiàn)象中建立聯(lián)系，善于從具體的各種對象、關(guān)系或結(jié)構(gòu)中抽象出相似的、一般的和本質(zhì)的東西。由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個復(fù)雜的心理活動過程，一般可以分解為知識的攝取、理解、鞏固和應(yīng)用等環(huán)節(jié)。前三個環(huán)節(jié)相應(yīng)的核心心理因素分別是感知、思維、記憶，其間都伴隨著概括行為的發(fā)生，而且在不同學(xué)習(xí)階段有著不同的表現(xiàn)。

在知識的攝取即信息獲取階段，概括能力主要表現(xiàn)在兩個方面。

一方面，是對數(shù)學(xué)材料的形式化知覺能力。它是指能否迅速從具體問題中迅速抽象，實現(xiàn)數(shù)學(xué)化、符號化。當(dāng)學(xué)生面對不熟知的具體問題，能否快速解讀題意、洞察問題本質(zhì)并與相關(guān)知識實現(xiàn)對接就反映出對形式化的知覺水平。比如，在“最大公因數(shù)”概念學(xué)習(xí)時，人教版教材是借助鋪地磚的生活問題加以引入的，主題圖通過圖文結(jié)合方式提供有關(guān)信息:“我們家儲藏室，長18分米，寬12分米”“如果要用邊長整分米數(shù)的正方形地磚把儲藏室的底面鋪滿(使用地磚都是整塊)，可以選擇邊長是幾分米的地磚?邊長最大是幾分米?”在實際教學(xué)中，許多教師反映部分學(xué)生無法理解上述題意，其主要原因是不能快速地將鋪地磚生活情境抽象為數(shù)學(xué)情境，這樣導(dǎo)致在信息獲取階段的知覺水平差異影響了“公因數(shù)和最大公因數(shù)”概念的學(xué)習(xí)。

另一方面，是對題目形式結(jié)構(gòu)把握能力。它是指面對較為復(fù)雜、綜合的問題情節(jié)能否找出其基本結(jié)構(gòu)形態(tài)和產(chǎn)生類化的聯(lián)想。如學(xué)生面對“體育室有60個球，其中籃球占■，其余的是足球。足球比籃球少幾個?”的三步問題，要能轉(zhuǎn)化為兩步問題:“體育室有60個球，其中籃球36個，其余的是足球。足球比籃球少幾個?”和一步問題:“體育室有籃球36個，足球24個。足球比籃球少幾個?”對題目形式結(jié)構(gòu)把握能力除了將較為復(fù)雜的問題概化為基本問題外，還要善于在相關(guān)問題題組中對題目形式結(jié)構(gòu)從類化角度作出聯(lián)想。比如，當(dāng)學(xué)生面對一組題:“學(xué)校為體育室新添了一些球，籃球單價100元，足球單價80元，兩種球各買了5個。一共要花多少錢?”“兩個工程隊合挖一條水渠，甲隊每天挖100米，乙隊每天挖80米，兩隊合挖了5天完工。這條水渠多少米?”“客車、貨車同時從甲乙兩地相對開出，客車每小時行100千米，貨車每小時行80千米，5小時后兩車相遇。甲乙兩地相距多少千米?”就要能夠發(fā)現(xiàn)這三題都是屬于“(a+b)×c=f”兩積之和的結(jié)構(gòu)，產(chǎn)生“相遇問題”類化思考。

在知識的理解即數(shù)學(xué)信息的加工與運用階段，概括能力主要表現(xiàn)在思維的簡縮差異。概括能力強的學(xué)生能夠擺脫一些具體的數(shù)量，用簡縮的結(jié)構(gòu)解決問題。如在解決這樣的問題:“服裝廠接到生產(chǎn)360套西服的任務(wù)，前8天完成了總數(shù)的40%。照這樣計算，完成這項任務(wù)一共需要多少天?”就會呈現(xiàn)“■=■”“■=■”兩種比例解法，顯然后者跳過了“360套西服”具體的總量，以更為簡縮的思維抽象出對應(yīng)數(shù)量關(guān)系。

在知識的鞏固即數(shù)學(xué)信息保持階段，概括能力主要表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)關(guān)系和數(shù)學(xué)形式的記憶，初步形成知識系統(tǒng)間的邏輯關(guān)系。比如在數(shù)的整除單元中，有許多相近概念，只有當(dāng)學(xué)生能梳理出各個概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成概念圖，此時的概念記憶才是具有邏輯聯(lián)系的、才是具有概括化的。

二、概括能力的支持要素

1.充分感知。對數(shù)學(xué)材料的概括都是從對材料的感知開始的。對材料的感知充分程度，直接影響著抽象概括能力的形成。而對材料的感知充分程度，主要有賴于直觀感知的過程性和感知材料的豐富性兩個方面。

直觀感知的過程性，主要是指通過適當(dāng)?shù)母兄侄畏椒ǎ瑢嵤┻m度的感知強度與感知時長來提高感知質(zhì)量。學(xué)生對事物或概念的感知，一般都是伴隨已有的個性化經(jīng)驗進(jìn)行的。這種經(jīng)驗對事物的感知有時是正向影響，有時也是負(fù)面影響，因此在開展感知活動時，要引領(lǐng)學(xué)生對事物的屬性作出全面的感知，防止以偏概全;要借助感知器官，通過必要的操作手段和操作頻次要求等來保障感知的效度，防止走過場。比如在學(xué)習(xí)“面積”概念時，要組織學(xué)生充分感知物體的“面”。大多數(shù)教師在教學(xué)時也會安排直觀感知活動，但往往很隨意地組織學(xué)生用手摸一摸課桌面、書本封面就立馬進(jìn)入“面”的大小比較環(huán)節(jié)教學(xué)，造成感知活動不全面、不充足。很顯然，課桌面、書本封面是概念的感知對象，用手觸摸和用眼觀察是概念的主要感知手段。然而，在感知過程中，缺乏操作感知的方法與要求。這個摸桌面的感知要求與方法可以為“舒展整個手掌，輕輕放在感知的面上，從上往下或從左往右有序地緩緩摸遍整個面，邊摸邊想它的大小;每個面完整地一次性摸完，每次摸完后稍微停頓想一想后再摸，共摸上三遍。”只有做出了“把面一次性摸遍”“每次摸完后想一想”“摸三遍”等操作方法引領(lǐng)、操作強度刺激，學(xué)生在操作活動中才能有所感覺，才能有效地將感覺到的信息匯集到大腦，從而對面的大小產(chǎn)生較為完整、準(zhǔn)確的印象，由此來實現(xiàn)有效感知。

感知材料的豐富性，主要借助一定數(shù)量、各類典型性例證材料來表現(xiàn)事物的外部特征或?qū)傩?，幫助學(xué)生概括事物內(nèi)部的本質(zhì)特征或?qū)傩?。在例證材料中，有肯定例證(正例)和否定例證(變式或反例的)材料之分，正例傳遞了最有利于概括的關(guān)鍵信息，變式和反例則傳遞了最有利于辨別的信息。提供充分全面的變式和反例，有助于學(xué)生對事物本質(zhì)屬性的把握，對概念理解更概括、更深刻。如在“面積”概念學(xué)習(xí)中，當(dāng)學(xué)生建立起物體表面的大小叫做物體的面積表象時，教師要適時補充變式性材料，可以出示橘子，組織學(xué)生說說橘子的“面”在哪兒，然后剝下橘子皮平鋪后進(jìn)行觀察，通過變換物體的“平面”為“曲面”來豐富物體的“表面”含義。也有教師提供乒乓球，要求學(xué)生說一說、摸一摸它的“面”，并把乒乓球壓癟讓學(xué)生指認(rèn)物體的表面變化情況。這樣的變式活動都有助于學(xué)生對概念的概括與理解。需要指出的是，感知的充分并不完全在于材料的數(shù)量，而在于材料是否典型全面，是否能促進(jìn)學(xué)生概括事物的本質(zhì)特征。只有合適、典型的具體事例，才能夠全面反映事物的各方面屬性，才能有效幫助學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象概括事物本質(zhì)特征的過程。

2.比較舉例。比較、分類、分析、綜合、抽象、概括以及判斷、推理，是構(gòu)成一切復(fù)雜思維活動的基本要素，它們互相滲透，在訓(xùn)練和培養(yǎng)中應(yīng)協(xié)同使用、相輔相成。比較是抽象概括的必要前提。只有通過比較，確定事物的異同點及其關(guān)系后才能進(jìn)行本質(zhì)屬性的概括。另外，學(xué)生在概括某一事物本質(zhì)屬性之前，往往對概括結(jié)果或部分結(jié)論有所了解卻未必理解，我們通常需要采用舉例的方式來考察學(xué)生是否真正實現(xiàn)概括內(nèi)化。

在獲取一個數(shù)學(xué)概念，尤其是以概念形成方式來學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)概念，在教學(xué)中可以通過整體分析比較、舉例內(nèi)化的概括路徑，讓學(xué)生置身于對概念全部屬性的一次性觀察、比較、分析和歸納概括，增進(jìn)學(xué)生對概念具體事例中各種屬性之間關(guān)系的發(fā)現(xiàn)，提高學(xué)生的概括能力。比如，在認(rèn)識長方形中，可以采用以下路徑去分析比較、歸納概括。

組織學(xué)生觀察下列各組圖形，思考回答問題。

■(1)這些是長方形。

(2)這些不是長方形?！?/p>

(3)哪些是長方形?■

(4)你能用自己的話說一說什么是長方形嗎?

(5)根據(jù)自己寫下的定義，仔細(xì)檢查是否適合上面舉出的例子。

(6)反饋交流，歸納長方形特征。

(7)學(xué)生自行舉例。

上述概念的概括過程，直接提供“這些是長方形”的肯定例證和“這些不是長方形”的否定例證，并提供一組具體例證讓學(xué)生作出判斷，然后組織學(xué)生嘗試概括長方形特征并提醒學(xué)生進(jìn)行比照，在學(xué)生交流中歸納得出正方形特征后再次組織舉例。在這個分析、比較、判別、歸納、舉例的系列思維活動中，有效推動了學(xué)生從邊和角兩個核心要素對長方形與其他圖形之間關(guān)系作出分化與類化，提升了空間關(guān)系的內(nèi)化概括能力。

概括是一切思維品質(zhì)的基礎(chǔ)。不論是遷移還是歸納，其實質(zhì)都是概括。學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用知識的過程就是一個概括過程，是一個概括活動層次不斷推進(jìn)的過程。在教學(xué)中，要樹立將學(xué)習(xí)本身作為培養(yǎng)學(xué)生概括能力的重要載體、加強發(fā)現(xiàn)關(guān)系概括能力培養(yǎng)的意識，正確理解概括能力內(nèi)涵、有效把握培養(yǎng)概括能力的支持性要素，從而使得概括不只局限于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維手段，理應(yīng)遞升為一種數(shù)學(xué)能力，為創(chuàng)新意識的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。(作者單位:浙江省奉化市教師進(jìn)修學(xué)校)■