3~6歲兒童數(shù)量估算策略的研究

【摘要】本研究以180名3～6歲兒童為被試，采用個別施測的方式考察兒童數(shù)量估算能力的發(fā)展及其使用的估算策略。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)：（1）3～6歲兒童雖已具有一定的數(shù)量估算能力，但其作出合理估算的能力仍較低。（2）3～6歲兒童在估算策略的運用上存在年齡差異，半數(shù)以上大班兒童使用了三種或三種以上估算策略，中班兒童中以使用一到兩種策略的為多，而幾乎一半的小班兒童無法說出自己使用了怎樣的策略。（3）大班兒童較多使用較為復(fù)雜、高級的估算策略，而中班和小班兒童較多使用較為簡單、低級的估算策略。

【關(guān)鍵詞】學前兒童；數(shù)量估算；策略

【中圖分類號】G610 【文獻標識碼】A 【文章編號】1004-4604（2012）07/08-0038-06

一、問題的提出

估算能力是指個體懂得在何種情況下無法或不必進行精確的數(shù)據(jù)運算或處理，轉(zhuǎn)而運用相關(guān)數(shù)學知識和策略給出近似答案的能力。盡管估算能力在日常生活和學習中都是一種非常重要的能力，但目前學者們對其發(fā)展規(guī)律的認識比對其他基本數(shù)能力（如目測、數(shù)數(shù)、加法等）的認識要少得多。本研究對估算的定義僅限于數(shù)量估算，即不用數(shù)數(shù)的方式而通過一定的策略對實物集合給出一個近似的基數(shù)值。

從兒童發(fā)展角度來看，估算及與估算相關(guān)的能力的發(fā)展促進了兒童對數(shù)量關(guān)系的理解。對估算能力進行研究有助于我們了解人是如何理解數(shù)學思想的。〔1〕已有研究發(fā)現(xiàn)，估算能力與個體的數(shù)能力、問題解決能力和對計算的積極態(tài)度呈正相關(guān)，估算能力強的人會比估算能力弱的人使用更多估算策略。〔2〕

西格勒等人研究發(fā)現(xiàn)，估算的過程是一種思維在多種表征間轉(zhuǎn)換的過程，例如在數(shù)表征和空間表征間進行轉(zhuǎn)換。〔3〕有研究分別考察了兒童與成人、熟練的估算者與不熟練的估算者以及不同智力水平的學生之間的估算差異，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，他們給出的估算值的差異均不如預(yù)想的那樣大，但在策略使用上差異明顯：成功的估算者所使用的策略更為有效，而不太成功的估算者多使用基于知覺的策略；特定策略的使用提高了他們作出合理估算的可能性。〔4-6〕布拉德的研究也發(fā)現(xiàn)了估算策略的使用與估算精度之間有正相關(guān)性。〔7〕

在有關(guān)估算策略的研究中，國外學者大多以中學生或成人作為被試，很少有對學前兒童數(shù)量估算能力和數(shù)量估算策略的研究。但有關(guān)研究也表明，兒童在學前期獲取的數(shù)學知識和能力促進了他們對數(shù)字意義和數(shù)量關(guān)系的理解。克里蒂斯曾倡導(dǎo)對如何有效促進學生估算能力發(fā)展進行研究，卡特也提出有必要對學前兒童的數(shù)量估算策略和能力進行研究。〔8〕本研究旨在考察學前期數(shù)學能力優(yōu)于英語國家兒童的中國兒童在3～6歲期間數(shù)量估算策略的發(fā)展狀況。

二、研究方法

（一）被試

被試來自上海市兩所中等水平的幼兒園。在兩所幼兒園共325名3～6歲幼兒中分層隨機抽取180名被試。其中大班幼兒61名（男孩30名，平均年齡68.1月，SD＝3.8；女孩31名，平均年齡69.2月，SD＝3.8），中班幼兒60名（男孩30名，平均年齡56.8月，SD＝3.0；女孩30名，平均年齡58.0月，SD＝3.5），小班幼兒59名（男孩29名，平均年齡45.2月，SD＝3.6；女孩30名，平均年齡46.2月，SD＝2.7）。

（二）工具與材料

測查題根據(jù)陳杰琦和麥克納米編制的對學前和小學低年級兒童數(shù)學能力評價工具〔9〕的估算部分改編而成，并增大了題量，加入了一項無參照的開放性測查。

測查材料：直徑為1.8cm，中心厚度約0.6cm的黑色圓形玻璃圍棋子若干；杯口直徑7.5cm，杯底直徑5cm，高11cm的白色透明一次性塑料飲水杯5只。

（三）測查程序

測查采用個別施測的形式進行，由一名男性研究人員做主試，每一名被試的施測時間為15～30分鐘。測查時，在杯中隨機呈現(xiàn)不同數(shù)量的圍棋子，要求被試對其數(shù)值進行估算，在被試給出估算值后，主試記錄估算情況并追問“你是怎么知道的”，以了解被試所使用的估算策略。

（四）數(shù)據(jù)處理

對于被試的估算情況，依據(jù)陳杰琦等人編制的評價工具中對估算能力的計分辦法進行評分，總分為100分。共分為十個等級，一級為“沒有作出估算”，二級為“用數(shù)數(shù)來代替估算”，三級為“離譜的估算”，四級為“不合理的估算（估算值沒有落在精確值±30%范圍內(nèi)）”，五級為“估算值合理但沒有給出理由”，六級為“估算值合理但沒有給出具有數(shù)學意義的理由”，七級為“估算值合理但只給出了具有一般性數(shù)學意義的理由”，八級為“估算值合理且給出了1個合乎邏輯的估算理由”，九級為“估算值合理且給出了2個合乎邏輯的估算理由”，十級為“估算值合理且給出了3個合乎邏輯的估算理由”。所有數(shù)據(jù)利用SPSS11.5軟件形成原始數(shù)據(jù)庫，運用描述性統(tǒng)計方法對兒童的估算策略進行分析。

（五）策略編碼

對于被試所使用的估算策略，以被試給出估算值后立即追問的方式來探查。記錄下被試對自己估算過程的描述后，研究者根據(jù)已有的分類標準對其進行編碼。按策略從低級到高級，有以下幾種編碼：“其他”是指兒童的解釋與估算策略無關(guān)；“不知道”是指兒童不能解釋自己是如何進行估算的；“猜測”是指兒童將估算看作是隨意說一個答案；“眼球效應(yīng)”是指兒童用知覺描述或以物體大小為依據(jù)來進行估算；“范圍”是指兒童給出一定的邊界作為估算值；“基準比較”是指兒童通過將目標物與另一個物體相比較而得出估算值；“基準”是指兒童在心中或在姿勢上使用一種自定的測量單位或測量工具，通過將目標物與之比較得出估算值；“分數(shù)基準”是指兒童使用一種分數(shù)單位來解釋估算；“多重基準”是指兒童多次使用某種測量單位或用多種測量單位來解釋如何估算；“虛擬分解”是指兒童意識到能將問題進行分解，卻沒有運用分解的方式進行估算；“分解—重組”是指兒童把問題分解成幾個部分，然后再重新組合。〔10〕

在這一級編碼的基礎(chǔ)上，研究者根據(jù)被試的實際回答提取他們的各種描述和解釋中的共性特點進行概括和歸納，從而總結(jié)出六種策略類型，依據(jù)各種策略對估算過程的支持力度和具體估算過程的明晰程度，形成以下等級。

第一級是數(shù)數(shù)策略，包括兒童在解釋時提到的“數(shù)出來的”“心里數(shù)的”“點數(shù)外圍的”“嘴巴里數(shù)到的”“數(shù)到20以上，后面大概就到30了”等，以及主試所觀察到的兒童的唱數(shù)行為和手指點數(shù)行為等。

第二級是計算策略，包括兒童在解釋時所提到的“算出來的”“心算的”“2+3，10+4……”等。

第三級是大膽的估猜，包括兒童在解釋時所提到的“看出來的”“想出來的”“猜的”“媽媽教的”“動腦筋的”“自己學的”“心里想一個數(shù)字就知道了”等。由于受兒童語言能力的局限，難以從他們的回答中將“猜測”和“眼球效應(yīng)”實際區(qū)分開。

第四級是比較多少的策略，包含了前面編碼中的“基準比較”和“基準”。這兩種編碼的區(qū)別在于，前者是將目標數(shù)量與先前已出示過的估算數(shù)量進行比較，視其數(shù)量的增減，從而確定一個估算值；后者是將目標數(shù)量與參考數(shù)量進行比較，從而確定一個估算值。列入這一策略的包括兒童在解釋時所提到的“因為很多”“因為很少”“感到有點多”“它很多，它很少”“這個比10粒多一倍”“看上去超過10”“比上次的少了30個吧”“這個是10，這個過了20，就是25了”“10比17少”，等等。

第五級是比較高矮的策略，該策略仍屬于前面編碼中的“基準比較”和“基準”，將其與“比較多少”的策略區(qū)別開來的原因是，在該策略中兒童轉(zhuǎn)向了另一種比較思維，即通過比較先后兩次不同數(shù)量的圍棋子盛在杯中所形成的柱狀體的高矮變化或與參照量進行高矮比較，從而確定一個估算值。列入這一策略的包括兒童在解釋時提到的“比它高一倍”“看到一步比一步高”“矮了”“這個比它高”“比前面的高”“全都放滿了”“有半杯”“在一半的地方就是30個上下”“因為它剛才是到這里，現(xiàn)在又到這里了”“19比較高”“比30個矮”，等等。

第六級是分層分割策略，包含了前面編碼中的“虛擬分解”和“分解—重組”策略。這一策略在有參照的估算中運用得比較多，包括兒童在解釋時提到的“把它分成一半多的，一半少的”“看到10個分到旁邊，又看到10個，加起來”“這個10個，一格一格的10個，看上去又一小半，就加上去”“數(shù)數(shù)幾層”“下面一排，上面一排，有好幾排”“有三排，上面又加了一排”“數(shù)上面的，再加下面的一層”“有三層10個，我猜就是35”“上面一圈，下面一圈，就知道了”“第一個杯子10個，它有3層，上面數(shù)了”，等等。

如果按照克里蒂斯于1992年所編制的分類法，將兒童的估算策略分為五級：不知道、其他、眼球效應(yīng)、基準比較、分解—重組，那么本研究所劃分的六級策略中，數(shù)數(shù)策略和計算策略可歸入其他類，大膽的估猜可歸入眼球效應(yīng)，比較多少和比較高矮的策略可歸入基準比較類，分層分割策略可以歸入分解—重組類。

三、結(jié)果與分析

將兒童使用的策略按研究者所劃分的六種策略類型作量化處理后，結(jié)果如表1所示。總體來說，大班兒童使用的策略數(shù)比中班和小班兒童多。無論哪個年齡段的兒童，對于大膽估猜策略和比較多少策略的使用頻次均較多，尤以對大膽估猜策略的使用頻次為最多，但從百分比看，大班兒童相較于中班和小班兒童對大膽估猜策略的使用比率已有所降低，而中班和小班兒童的使用比率基本持平。小班兒童中使用數(shù)數(shù)策略的比率要高于中班和大班兒童，大班兒童使用計算策略的比率要高于中班和小班兒童，而在比較多少的策略上，大、中、小班兒童的使用比率基本持平，差異不大；但使用比較高矮策略和分層分割策略的，大班共有26人次，中班有9人次，而小班為0，差異較為明顯。這說明隨著年齡的增長，兒童開始建立或參考特定的參照體系來進行估算，開始采用較為復(fù)雜的估算策略。

根據(jù)克里蒂斯分類法對兒童所使用的策略進行分類并作量化處理，結(jié)果見表2。由表2可知，眼球效應(yīng)、基準比較和分解—重組三種策略涵蓋了大班兒童82.5%，中班兒童85.4%以及小班兒童77.5%的策略使用。其中，大班兒童以基準比較使用最多，而中班和小班兒童以眼球效應(yīng)使用最多。

3～6歲兒童在估算中使用估算策略種類的數(shù)量統(tǒng)計結(jié)果見表3。由表3可知，有49.1％的小班兒童沒有使用任何策略，或者說不能解釋自己是如何進行估算的。這一比率到了中班已驟減至3.4%。中班和小班兒童中只使用了一種策略的人數(shù)比率基本持平。小班兒童即使使用了策略，絕大多數(shù)也只使用了一種策略；中班兒童大多使用一到兩種策略；大班兒童多使用兩種以上的策略，有2人甚至使用了五種策略。這說明隨著兒童年齡的增長和學習經(jīng)驗的豐富，他們開始嘗試使用不同的策略來解決問題；中班年齡段可能是兒童策略發(fā)展的一個重要階段。

四、討論

對估算策略的研究是估算研究的一個重要主題。布朗和西格勒認為，真實世界的數(shù)量估算有三種方法：啟發(fā)式的應(yīng)用，領(lǐng)域特殊性的推理和直覺統(tǒng)計的歸納。啟發(fā)式的應(yīng)用就是人們利用具有啟示意義的有實用性或代表性的“錨”（anchor）來進行數(shù)量估算；領(lǐng)域特殊性的推理是指人們通過回憶相關(guān)領(lǐng)域知識和提取參照物來估算數(shù)值；直覺統(tǒng)計的歸納就是人們根據(jù)數(shù)量特征進行直覺的歸納。〔11〕他們所提到的“數(shù)量估算”實際上包含了測量估算和本研究中單純的對數(shù)量進行的估算。前兩種方法是在估算過程中尋求參照的兩種途徑，后一種方法強調(diào)個體對數(shù)量關(guān)系的某種經(jīng)驗直覺。周欣也提到，估量的方法有兩種：一種是完全的隨意猜測，還有一種是基于某種數(shù)量特征（如物體的密度、分布的面積或排列方式）的估猜。〔12〕

已有研究表明，估算策略的有效使用與估算精度存在正相關(guān)，能力強的估算者比能力弱的估算者使用了更多的估算策略。〔13〕本研究的結(jié)果也證實了這一點。本研究中兒童對估算策略的使用表現(xiàn)出了明顯的年齡差異。隨著年齡的增長，兒童無策略地進行估算的情況逐漸減少，而使用高級策略的人數(shù)比率逐漸提高。從發(fā)展的觀點來看，兒童逐漸傾向于選用更復(fù)雜的策略，而簡單策略的使用頻率則逐漸降低。〔14〕大班兒童估算精度較高與其較多使用高級的估算策略有關(guān)，而小班兒童估算精度較低與其較多使用低級策略或無策略地進行估算有關(guān)。從總體上看，大班兒童所使用的策略比中班和小班兒童多得多。半數(shù)以上（50.8%）的大班兒童使用了三種或三種以上的策略，中班兒童中以使用一到兩種策略的為多（占81.6%），幾乎有一半的小班兒童（49.1%）沒有使用任何策略或者無法說出自己使用怎樣的策略。

根據(jù)克里蒂斯的分類，眼球效應(yīng)、基準比較和分解—重組這三種策略涵蓋了本研究中所有兒童至少77.5%的策略使用。其中，大班兒童中使用基準比較策略最多，使用基準比較和分解—重組這兩項策略的次數(shù)占他們總使用策略數(shù)的45.5%；中班和小班兒童對眼球效應(yīng)的使用最多，使用基準比較和分解—重組這兩項策略的次數(shù)分別占中班和小班幼兒總使用策略數(shù)的33.9%和27.5%。這與克里蒂斯的研究結(jié)果相一致。克里蒂斯分別考察了三、五、七年級學生在估算中所使用的策略，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，基準比較、眼球效應(yīng)和分解—重組這三種策略涵蓋了所有學生所使用策略的2/3；成功的估算者趨向于使用分解—重組和多重基準策略，而不太成功的估算者則多使用基于知覺的策略。在本研究中，在大、中、小班兒童所作出的合理估算中，使用眼球效應(yīng)的貢獻值分別為52.7%、69.7%和47.1%；使用基準比較策略的貢獻值分別為30.0%、13.9%和1.9%；使用分解—重組策略的貢獻值分別為4.12%、0.3%和0。可以看出，基準比較和分解—重組策略的使用大大提高了大班兒童作出合理估算的可能性。

然而，由于策略的使用情況是通過估算后對兒童的追問獲取的，當被問到“你是如何知道的”時，大多數(shù)大班兒童可以描述自己的估算過程，而不少中班和小班兒童的回答則與估算本身無關(guān)，比如“媽媽教的”“我會寫這個數(shù)字”“我動腦筋的”“我學過珠心算的”“我家是13樓”“因為我聰明”等等。大多數(shù)小班兒童干脆回答“不知道”或不作回答。也有的小班兒童回答說“我想的”或“我猜的”，但繼續(xù)追問“你是怎么想的（猜的）”時，往往沒有下文了。這些回答可能并不能很好地揭示兒童真實的估算過程，特別是小班和中班兒童還可能受到語言表達能力的局限而無法確切地對自己的估算過程進行解釋。再加上估算本身是一個情景性很強的思維過程，思維的火花在閃現(xiàn)后很難再去追憶，而這對于學前兒童來說難度尤其大。所以，用追問的方式來探索兒童估算時所經(jīng)歷的思維過程，本身是存在一定的局限性的。已有研究中也有要求被試通過出聲思維的方式來顯示其思維過程的，但這一方法同樣不適合學前兒童，因為學前兒童可能無法兼顧二者。探索學前兒童的思維過程本身就是一個難點，對于他們的策略使用情況，必須結(jié)合他們自身語言的反饋以及現(xiàn)場的觀察，才可能稍稍把握得準確一些。

五、教育啟示

從本研究的結(jié)果來看，我國的3～6歲兒童已具有一定的數(shù)量估算能力，但作出合理估算的能力仍較低，特別是小班兒童，他們對數(shù)量的估算大多還處于“大膽猜測”階段，中班兒童則已能夠有依據(jù)地進行估猜。3～6歲兒童已開始使用多種策略來進行估算，且在策略的種類上存在較為明顯的年齡差異。

西格勒等人提出，數(shù)學能力的發(fā)展是個體逐步理解數(shù)字中所蘊含的數(shù)量意義，學習在數(shù)字和數(shù)量之間建立聯(lián)系，并把這種聯(lián)系由小數(shù)字范圍向大數(shù)字范圍擴展的過程。〔15〕他們認為，數(shù)學的量化思維包括非符號量化思維和符號量化思維兩種，在兒童獲取了一定范圍的數(shù)符號經(jīng)驗后，他們就會在數(shù)符號和非言語數(shù)量之間建立起聯(lián)系。兒童所使用的估算策略由依賴眼球效應(yīng)逐步轉(zhuǎn)為有依據(jù)地進行基準比較，正體現(xiàn)了兒童在數(shù)符號和非言語數(shù)量之間所建立的聯(lián)系方面的一種進步。關(guān)注兒童在生活和學習中獲得的估算經(jīng)驗，不僅可以促進兒童估算策略和估算能力的發(fā)展，而且可以促使其在數(shù)符號和非言語數(shù)量之間進行更為有效的匹配。

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A Study on Strategies of Numerosity Estimation in Young Children

Aged from 3-6

Zhao Zhenguo

(Institute of Modern Education， Henan University， Kaifeng， 475004)

【Abstract】In this study， a sample of 180 children aged 3-6 was tested to examine the development of children’s numerosity estimation and the strategies. The results indicated that: (1) the 3-6-year-old children had certain ability in numerosity estimation but it was still quite low; (2) the children used multiple strategies in numerosity estimation but age difference existed in strategy application: half of the children in senior class used over three strategies while most middle class children used one or two and nearly half of the junior class children couldn’t tell what strategies they used; (3) senior class children used more advanced and complicated estimation strategies while middle and junior class children used simpler and primitive strategies.

【Keywords】preschool children; numerosity estimation; strategies