直觀與經驗是數學概念建立和發展的基石

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：A 文章編號：1673-4289（2012）06-0050-01

譚老師是我大學的老師。有天他騎自行車馱兒子上街玩，見到一個年輕人陪一位老人在散步。兒子指著老人問：“那老頭兒是誰呀？”譚老師告訴他：“是年輕人的爸爸”。不料，兒子卻反問道：“他就是爸爸呀，都長胡子了?”

譚老師講的故事已三十多年了，現在他的兒子已經有了兒子。可譚老師講的這個故事卻總在我腦海里浮現，讓我一直在思考一個問題：一個人對事物的概念是怎樣形成的？

在小孩的印象里，沒有成人一樣的“爸爸”的概念。小孩子最初印象里的“爸爸”，就是與他在一起逗他玩，陪他吃喝，哄他睡覺，給他買好吃的，騎車馱他逛街的，是年輕英俊的他自己的具體的爸爸。在他的頭腦中，“爸爸”這個概念是以他自己的這些經驗標準為依據的，不符合這個經驗標準的就不是“爸爸”。

隨著與小朋友們的接觸和交往，他也在發展自己經驗中的“爸爸”概念。但他此時建立起來的“爸爸”概念仍然不是完整的。與成人的概念仍然有很大的距離。由于在他的生活經驗中，接觸到的都是年齡較小的兒童，這些小朋友們的爸爸都是年輕人，所以他的這些經驗促使他建立的“爸爸”的概念是：“爸爸”是年輕人，爸爸都是不長胡子的——也許他還不知道“爸爸”都是男性。

正是他的生活經驗的限制，他建立的“爸爸”概念是有欠缺的。這才使他產生了這樣的疑問：“他就是爸爸呀，都長胡子了？”

上面的事例，絕不是偶然，大量的事例都與此相似。數學概念都是這樣發展起來的嗎？是的。《信息時報》也曾登載過廣州天河中心學校楊老師的孩子燊燊關于陳述“8樓高和還是9樓高”的故事[1]，很能說明問題。

有人說：“有例外，像我國的‘小九九表’，孩子并不理解，而是先背熟的。是在沒有直觀經驗的基礎上掌握的。”這個例子我并不完全贊同。“三七二十一”和“七八五十六”，學生是在學習了乘法以后，會計算3×7＝21，7×8＝56的基礎上去學習乘法口訣、去背記“小九九表”的。孩子在沒有學習乘法時，家長也讓孩子背記，但那時孩子是不理解的。但她的質問，倒是讓我想起數學上負數的產生。

負數的產生，的確不象自然數那樣從人們的生活經驗中產生的那樣直接。它產生于人們解方程中出現的“負根”。人們在解像x＋1＝0這樣的方程時，負數產生了。顯然，這是來自于純粹的數學抽象形式。但它的產生，人們一直是不接受的，長期以來人們稱它為“假的”[2]，像對待私生子一樣地排斥它。雖然它的問世沒有像無理數的發現那樣要搭上發現它的人的性命，但承認它的合法性，卻是在人們找到它的合理解釋之后——直到人們在數軸上為它找到合適的位置，“數”的家族才認領回這“可憐的孩子”。我不知道為什么人們那樣寬宏大量，在沒有直觀經驗做證據，可以證明“負數”身份的前提下，容留了“負數”那么多年。是人們接受了歷史上希帕蘇斯冤案的教訓，還是人們有了高超的預見？這的確是一個例外。

數學上這樣的例外還有。但我想有一點是需要明確的，直觀和經驗是概念建立和發展的基石。

參考文獻：

[1]任景業.直觀和經驗是概念建立和發展的基石[EB/OL].（2007-1-1）[2012-4-25].http://hi.baidu.com/%BA%AB%C5%F4%C0%CF%CA%A6/blog/item/cd4c42fbfd082e64024f564c.html.

[2][荷蘭]弗蘭登塔爾.數學教育再探——在中國的講學[M].上海：上海教育出版社.1999：18.

（作者單位：北京師范大學課程中心，北京 100875）