在實變函數教學中滲透數學思想史的體會

摘要：文章從實變函數教學的實際需要出發，結合筆者從事實變函數的教學經驗，論述了在實變函數教學中滲透數學思想史對于培養學生創新思維的教育價值。

關鍵詞：實變函數教學；數學思想發展史；創新思維

中圖分類號：G712 文獻標志碼：A 文章編號：1009-4156(2012)05-158-03

實變函數的核心內容是勒貝格測度和積分，是經典的黎曼積分的一次深刻變革和發展。這門課程一向被看成數學系本科生最難的一門專業課，學生普遍覺得它晦澀難懂，對它望而生畏。那么如何激發學生學習實變函數的興趣，深入地理解數學概念和證明推理過程，從而取得更好的教學效果呢?許多高校數學教育工作者都嘗試以各種方式來改善實變函數的教學。在多年的實變函數教學中，我們發現課堂教學時結合教學內容向學生介紹一些重要數學成果產生的社會歷史背景和數學思想淵源，不僅可以開闊學生的視野，活躍課堂氣氛，極大地激發學生的學習興趣，還可以引導學生樹立對新生事物和新思潮的正確態度，進而激發學生的創新意識，提高學生的數學素養。

一、數學史在數學教育中的地位與作用

數學史也是一部數學思想史，它是學習數學、認識數學的工具。數學史可以培養學生對數學的全面認識，對數學給出一個整體框架，能認識到各分支之間的相互關系，并且對數學問題、概念、理論和方法的來龍去脈有一定認識，對引入它們的動機與產生的后果有所了解，從而深入地理解數學概念和證明推理過程。數學史更重要的作用是可以提高學生的數學素養。米山國藏指出：“無論對于科學的工作者、技術人員、還是數學教育工作者，最重要的是數學的精神、思想和方法，數學知識只是第二位的。”滲透數學史可以使學生發現和認識到：在一個問題從產生到解決的過程中，只有正確的、革命性的思想方法才是取得實質性進步的原動力。了解數學創造的過程可以使學生體會到數學思維過程是一個充滿活力和激情的動態過程，這有利于學生對這些數學問題形成更深刻的認識，從而在這種不斷學習、不斷探索、不斷研究的過程中逐步形成正確的數學思維方式，進而培養學生去客觀地看待新現象、新事物、形成探索與研究的習慣，培養學生獨立思考和獨立研究能力。此外，穿插數學史還可以起到開闊學生的視野，活躍課堂氣氛，激發學生的學習興趣，促進專業課程教學的作用。

二、將數學思想史滲透到實變函數的教學中

張奠宙教授指出：“每一門數學學科都有其特有的數學思想，賴以進行研究(或學習)的導向，以便掌握其精神實質。只有把數學思想掌握了，計算才能發揮作用，形式演繹體系才有靈魂。”基于這種認識，我們在實變函數的教學中注意了數學史，特別是數學思想史的滲透。我們發現這樣做是有助于培養學生的創新思維的。

科技創新是社會生產力發展的源泉。科技創新指科學技術領域的創新，涵蓋兩個方面：自然科學知識的新發現、技術工藝的創新。要創新，就必須有創新思維。而創新思維的火花，則處處閃耀在實變函數的產生過程中。

1.培養學生客觀地看待新現象、新事物

朱熹在《觀書有感》一詩中寫道“半畝方塘一鑒開，天光云影共徘徊。問渠那得清如許，為有源頭活水來”。作者設問：這“半畝方塘”為什么這么清澈呢?并自答：“因為有這源頭活水不斷地補充進來，才使得它這么清澈。”朱熹這首詩用描繪一幅清新明快的自然風光圖卷的手法來說明生活是寫作的源頭活水，用心觀察才能發現并汲取源頭活水，寫出滋養人心靈的雋秀文章。同樣的道理，人類取得的所有重大科技成就也都不是無源之水，凡是能在重大科學發現作出非凡貢獻的科學家都能夠以敏銳的眼光捕捉到新現象和新事物，并能客觀看待理解它們，最終取得突破性發現。

實變函數論的產生也是由于新現象和新事物的刺激以及數學家勒貝格能夠客觀正確地認識這些新現象和新事物的結果。微積分是一門研究自變量與函數值皆實數的函數理論，由于康托的集合論和戴德金的實數理論的出現，人們在微積分中發現了很多奇異的數學現象，比如狄利克雷給出的著名的狄利克雷函數。該函數不是黎曼可積的；以及連續但處處不可微函數的存在。1890年，皮亞諾構造了一條填滿整個正方形的若當曲線。種種奇特的現象促使數學家必須深入探討實變量函數的性質。

1881年，德國數學家哈納克等人提出“容量”的概念，這是對通常的長度、面積和體積等概念的推廣。在此之后，皮亞諾提出區域或區間的內外容度的概念，皮亞諾還指出函數構成的曲邊梯形之內外容度分別由上下積分確定。1893年，若當完善了所有關于容度的工作。1898年，波萊爾出版了名著《函數論講義》，在這部名著中波萊爾建立了測度理論和可測集合的概念。但在波萊爾的測度思想中，卻存在著不是波萊爾集的約當可測集，特別是存在零測度的稠密集。

波萊爾的學生勒貝格卻洞察這一思想的深刻意義并接受了它。勒貝格突破了約當測度有限覆蓋的限制，發展和完善了波萊爾測度，并且敏銳地感覺到利用新生的測度論來改造黎曼積分是可行的，它采取了對被積函數的值域進行分劃的方式，克服了黎曼積分的局限性。他于1902年在其博士論文《積分、長度與面積》中，對于測度論和積分理論進行了深入的研究，提出了可測函數與勒貝格積分的理論。在新的積分理論中，勒貝格獲得了一個十分重要的結果：關于極限號與積分號可交換的控制收斂定理和極限號與求和號可交換的逐項積分定理。在勒貝格積分的基礎上，重建了微積分基本定理，至此新興學科實變函數論初步成型，而勒貝格積分則是實變函數的核心內容。

同樣值得注意的是，一些黎曼不可積的病態函數有了勒貝格積分值，這也受到了很多數學家的反對。這是因為那些不連續函數和不可微函數被認為是違反了所謂的完美性法則，是數學中的“變態和不健康的部分”。比如，龐加萊的老師埃米爾特在信中說道：“我懷著驚恐的心情對不可導函數的令人痛惜的禍害感到厭惡。”勒貝格本人也因此受到了一些數學家的排擠。但勒貝格充滿信心地指出：“使自己在這種研究中變得遲鈍了的那些人，是在浪費他們的時間，而不是在從事有用的工作。”時至今日，勒貝格積分已經徹底被人們承認是有意義的，工程師和物理學家也普遍運用抽象積分來處理無法回避的病態函數。

在課堂上向學生闡述這段歷史有助于學生正確認識新事物和新理論，對待這些新事物不能采取回避的或無原則否定的態度，而是要辯證地分析它與舊事物的區別與聯系，適當取舍，才有可能從中獲益。

徐利治指出了獲得數學直覺和數學審美的四條指導性原則：簡單性原則、統一性原則、對稱性原則和奇異性原則。他同時強調，在數學史上，只有不斷發現數學對象的奇異性，才能有所突破，深入到既定理論框架所無法接觸到的未知世界。注意探討數學中的奇異性曾產生許多重要成果，年輕的數學工作者需要通過工作實踐和文化生活區培育審美意識，使自己具有鑒賞奇異對象及奇異美的能力，這樣才能夠自覺地將具有奇異性的數學對象的理論研究推進到新的領域中，開辟出“別有洞天”的新天地。

勒貝格創建勒貝格積分的這一過程，明確地展現了他對奇異數學現象的直覺和審美能力，是支持徐利治先生這一觀點的有力論據。我們同時通過這一史實，向學生強調培養數學直覺和審美能力的重要性，幫助有志于數學研究的學生養成良好的自我培養這兩種能力的自覺習慣。

2.剖析數學抽象法則，培養學生獨立思考和獨立研究能力

徐利治論述了數學研究中的創造性思維規律，并提出了數學抽象的五個基本原則：特征概括法則、強化結構的法則、新元添加完備化法則、結構關聯對偶化法則、利用更換基本公設或公理以排除悖論的重要法則。

關于新元添加完備化法則，徐利治先生是這樣描述的：“由于數學的結構往往和運算相聯系，因而必然會產生新運算能否在原結構上暢行無阻的問題。例如，在有理數系統上引入極限運算后。馬上就會出現極限是否存在的問題，必須把無理數作為新元素補充到原結構中去，才能使之成為具有完備性的實數系統。把這種思想提升為一般的法則，就稱之為新元添加完備化法則。”從徐先生論述的字里行間，我們可以體會到所謂的“新元”不僅指像實無理數那樣的新元素，而且也包含新的運算法則等其他一切能使我們進行“完備化”的工具。

鄧東皋和常心怡論述了學習勒貝格積分的重要性，他們指出勒貝格積分是數學史上三次重大的“完備化”之一。勒貝格積分的出現就是新元添加完備化法則在數學史中一次卓越的應用。

在微積分中，黎曼積分的概念與理論是十分重要的一部分。黎曼積分在數學分析的后續課程——常微分方程、復變函數論、概率論以及力學課程中，表現出了強大的威力。但是黎曼積分有一個很大的缺點，就是黎曼可積函數列的極限并不一定是可積的，或者說黎曼可積函數類對極限運算是不封閉的。

為克服黎曼積分的不足，人們試圖推廣積分的定義。黎曼積分是對被積函數的定義域進行分劃，使得底邊是規整的線段，從而求出規整的小長方形面積。勒貝格反其道而行之，他首先將被積函數的值域進行分劃，然后引入集合。再利用推廣了的長度的概念給出底邊的“長度”，求出“不規整的長方形”的“面積”，然后求和取極限。勒貝格對這一思想作了生動的比喻。假如我欠人家一筆錢，現在要還，此時按鈔票的面值的大小分類，然后計算每一類的面額總值，再相加，這就是勒貝格積分思想；如不按面額大小分類，而是按從錢袋取出的先后次序來計算總數，那就是黎曼(Riemann)積分思想。相對于黎曼積分的思想，勒貝格積分思想是一個全新的“新元”，而且閃耀著逆向思維的光芒。實變函數中的空間理論也可以視為一種“新元”。

在實變函數課堂上向學生介紹這一數學思想，不但可以使學生體會到“新元添加完備化法則”的有力與神奇，更可以提醒學生要從不同角度思考問題，培養他們的逆向思維能力。同時我們還可以鼓勵學生從已經學過的數學知識中，探尋數學家們思考問題的思路都符合哪些抽象法則，這樣學生就會進行深入的思考，從而培養他們獨立思考和獨立科研的能力。

3.正確認識數學內在矛盾，合理地解釋這些矛盾，可能極大地促進數學學科的發展，甚至孕育一個新數學學科的誕生

集合論的中心難題是“無限集合”這個概念。人類在遠古時期已經認識到有限集合之間的對應關系：如果兩個集合的元素能夠一一對應，那么這兩個集合的元素一樣多。然而將這種一一對應的一原則推廣到無窮集合后，得到的結論卻是出乎人們意料的。伽利略曾發現正整數的全體可以和它們的平方數一一對應起來，但前者明顯包含后者，破壞了整體大于局部的觀念。伽利略堅信這是不可能，因為所有的無窮大都是一樣大。康托認為一個無窮集合能與它的一部分構成一一對應不是一件壞事，它恰恰反映了無窮集合的一個本質特征。因此，一一對應法則仍然可以在無限集合中使用，而且可以通過它揭示無窮集合的基數，甚至比較無窮集合的大小。應用一一對應法則康托很快認識到有理數集和自然數集是對等的，并且利用“對角線法”證明了實數集“大于”自然數集。后來，康托又證明了直線上的點集合與n維空間上的點集合也是對等的。人們對待無限有兩種截然不同的理解方式：一種是把無限看成是永遠在延伸著的進程，這種進程是不斷在創造的但是永遠也完成不了的，這種認識是動態的，稱為“潛無限”；另一種是把無窮對象視為可以自我完成的過程或無窮整體，這種認識是“靜態的”，稱為“實無限”。比如將全體自然數視為一個數列，它就是一個潛無限的過程；但將它視為一個集合，它就是無限的一個個體。康托拋棄了一切經驗和直觀，用徹底的理性來論證，揭示了無窮集合之間的大小差異。

通過介紹康托的集合論思想及其在數學發展所起到的巨大的推動作用，可以使學生意識到人類對數學和其他自然和社會現象的認識必然會受到歷史階段的限制，這些限制可以是物質上的，也可以是意識上的，但無論如何，人類對于自然和人類社會自身的認識總是在不斷深化的。使學生意識到能為人類各種認識的深化作出一些貢獻是自我價值實現的一條重要路徑。

日本數學家米山國藏說過：“在學校學的數學知識，畢業后若沒什么機會去用，一兩年后，很快就忘掉了。然而，不管他們從事什么工作，唯有深深銘刻在心中的數學精神、數學的思維方法、研究方法、推理方法和看問題的著眼點等，卻隨時隨地發生作用，使他們終生受益。”誠然，數學專業的學生未必都從事數學研究或教學，我們還是希望通過在實變函數教學中滲透數學思想史，使學生通過對數學史、數學發展趨勢等知識的了解，加深對數學思想、數學方法的體會和理解，變枯燥無味的教學為生動有趣，使學生熱愛數學，更重要的是教會他們數學的理性思維，對他們人生和事業的進步起到一些幫助!

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【基金項目：黑龍江省新世紀教學改革工程項目資助】

【宋文：哈爾濱師范大學數學與計算機科學學院副院長，教授，博士，博士研究生導師，主要從事教學和管理工作】