試論多項式綜合除法在中學函數中的應用

摘 要：多項式綜合除法是高等函數中矩陣算法的簡單化，能夠有效幫助學生求解多項式函數，但是理解難度較大，想要學生轉變函數思想來接受多項式綜合除法的解題方式較為困難，但只要學生接受了多項式綜合除法的使用，將會優化解題方式，有助于加深對函數的理解。筆者從多項式綜合除法的角度出發，明確了綜合除法的概念以及用于中學函數的一般解題步驟，探究多項式綜合除法在多種題型中的應用。

關鍵詞：多項式綜合除法；高中函數；矩陣算法

在中學數學學習中，函數作為學習難度較大的部分，也是高考考察的重點，應引起學生的高度重視。由于部分多項式函數求解難度較大，而高中生接觸到的數學解題方法較為繁瑣，因此要結合高等函數的解題方法，在一定的程度上對中學函數解題方式進行優化。從本質上來看，多項式綜合除法運用了矩陣算法，將多項式函數運算進行了簡單化，進而達到良好的解題效果。對于高中生來說，善用數學思維并巧用解題方法，能夠大大提高解題效率，提高學生的得分率。因此，對多項式綜合除法的研究具有重要意義。筆者從多項式綜合除法出發，對其在高中函數中的應用進行深入探究，為現代高中生學習提供借鑒。

一、 多項式綜合除法概述

綜合除法是一種相對簡單的除法運算，通過乘法與加法兩種方式可以得到多項式處以（x-a）的商式與余式。運算的過程中，除式通常為一次式的快速除法并按照原式、計算式、結果式、商式、余式進行排列。具體的做法為首先將函數的系數進行分離，缺少的項系數為0，并排列最后寫出除式的根c。而后，將最高次項系數1直接寫在結果列第一個，而后根據除式商的根，在得到的系數放在計算列的位置，最后將原式列與計算列進行相加，得到結果列。結果是按照列的順序依次算出，在進行相加之后，再乘以除式的根，將結果放在計算列右上的位置，直到計算完成。如果結果列最后一位為余數，也會作為f（c）的值，且該值的上一個值為商的系數。為了避免將系數與除式根之間計算混淆，一般在計算得過程中會添加區分記號，在余數與商之間也是一樣，同樣會用區分記號標記。此時并沒有計算完全，只是完成了一半，要根據一個特定的綜合除法定理，來計算（ax-b）除式。如果除式為（ax-b）的商等于除式為（x-a）的商，則余數相同。利用該定理來對多項式進行計算，就能夠快速得到真正的商值，達到快速計算的目的。如果在進行計算的過程中，一個多項式除以另一個多項式的余數為0，則認為該多項式可以被除式整除。

通過對以上計算過程以及定理進行分析，能夠得到多項式綜合除法的一般步驟，為了讓高中生更加容易理解以及掌握該計算方法，具體將計算過程分為以下四步：

1. 對原式與除式按照某個字母進行優化排列，按照該字母的降冪依次寫出，并用系數0補出缺少的項。

2. 從排列好的第一項開始，用除式去除原式，并得出商式。

3. 用除后的商式去乘除式，將得到的結果寫在原式下面對齊，而后從原式中，減去得到的乘積。

4. 將減去乘積后的差，作為新的原式，重復1～3的計算步驟，繼續對計算結果進行推演，直到余式為0，或者余式的次數低于除式的次數。此時，原式等于除式乘以商式加上余式。

二、 多項式綜合除法的應用

通過對多項式綜合除法的計算過程以及涉及的定理進行概述，能夠看出采用多項式綜合除法，對高中生函數學習來說，能夠優化部分多項式的計算，節省解題時間。多項式綜合除法在計算多項式的值、分解因式、求解函數值、求解高次方程、多項式的變形、有理函數積分等均可以應用。以下對多項式綜合除法的計算應用方法進行簡單介紹。

（一） 求解函數值

部分多項式在計算的過程中，運算量較大，尤其是對于高次冪多項式來說，會耗費大量的解題時間，且在大量的計算過程中很容易出錯，降低分值。因此，針對在對多項式函數f（c）的值進行計算的時候，可以采用綜合除法，將f（x）寫成（x-c）的多項式形式，得到的余式就是所求f（c）的函數值。采用綜合除法來計算多項式的值能夠大大減少計算量，培養高中生更好的矩陣算法思維，對其他數學題型的計算也具有一定的幫助。

（二） 因式分解

因式分解在函數解題中至關重要，然而對于高次冪多項式的因式分解來說，簡單的十字交叉法，采用多項式綜合除法以及其中的定理，能夠快速解決高次冪多項式求解問題。同時，可以利用多項式綜合除法來解決多項式中求解有利根的問題。

（三） 求解整系數多項式

在除式為高次項多項式的時候，想要采取簡單的計算方法難以進行，因此可以將綜合除法中對（x-c）除式計算的方法進行推廣，使其能夠提高多項式求解的可操作性，便于高中生求解整系數多項式。

三、 結論

筆者通過對多項式綜合除法的解題步驟以及應用方向進行探究，為現代高中生解題提供了良好的思路與解題方法，能夠大大提高部分題型的解題速度，培養高中生良好的矩陣算法思維，為高等數學的學習打下堅實的基礎。

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作者簡介：

蔣艷燕，中學二級，浙江省金華市，浙江省東陽市南馬高中。