走出困境:執(zhí)果索因走著瞧(上)

主 講：許志鋒

中學(xué)高級(jí)教師，臺(tái)州市“教學(xué)能手”，擁有20余年高三教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，參加過“國家級(jí)骨干教師”培訓(xùn)并被授予合格證書.

推薦名言

數(shù)學(xué)知識(shí)終究要依賴某種類型的直覺洞察力.

——希爾伯特 （德國數(shù)學(xué)家，提出了23個(gè)對(duì)20世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展具有重要意義的“希爾伯特問題”）

在高考試卷中，函數(shù)壓軸題往往題外有題．比如，問題（1）探討了函數(shù)的性質(zhì)，問題（2）卻以數(shù)列、概率或其他形式出現(xiàn)．前后的問題看似毫無關(guān)系，如何把它們聯(lián)系起來呢？今天，我們就以2011年高考數(shù)學(xué)全國卷（理科）第22題為例，談?wù)勅绾翁幚怼邦}外有題”的情況．

例 （1） 設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x）-. 證明：當(dāng)x>0時(shí)， f（x）>0.

（2） 從編號(hào)1到100的100張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽得的20張?zhí)柎a互不相同的概率為p，求證：p＜19＜．

初步分析：

問題（1）屬于函數(shù)問題，問題（2）則屬于概率問題，兩個(gè)問題差異很大，難以立刻找出它們之間的聯(lián)系．經(jīng)驗(yàn)告訴我們，要解決問題（2），肯定會(huì)用到問題（1）的結(jié)論！因此，我們的策略是：走著瞧，瞧著走!我們可以先解決較為常規(guī)的問題（1），再寫出問題（2）中p的概率表達(dá)式，并將這個(gè)表達(dá)式與19相比較，找到證明p<19的思路，最后探討如何把問題（1）中的對(duì)數(shù)不等式ln（1+x）->0 （x>0）遷移到問題（2）的指數(shù)不等式19＜中．

問題（1）解析：

f′（x）=-=≥0， ∴ f（x）為單調(diào)遞增函數(shù). 又f（0）＝0， ∴ 當(dāng)x>0時(shí)， f（x）>0．

問題（2）解析：

ｐ的表達(dá)式： ∵ 這是有放回地連續(xù)抽取20張卡片，∴ 共有10020種可能的結(jié)果． 當(dāng)這些卡片的號(hào)碼互不相同時(shí)，相當(dāng)于從100張卡片中任取不同的20張，并按從第1次到第20次的順序排列，∴有種取法． ∴ p=.

<19的證明：要證明<19，即要證明???…?<． 分析可知，不等式左邊共有20項(xiàng)且依次遞減，從第二項(xiàng)起，最大項(xiàng)>，最小項(xiàng)<，中間項(xiàng)=．我們可以嘗試“折中”處理，即判斷?，?，…，?是否都小于2．

對(duì)任意的k≠0，有：?=<=2.取k=9，8，…，1，可得?<2，?<2，…，?<2． ∴ ???…?<成立，即<19．

19＜的證明：要證明含有e的指數(shù)不等式19＜，我們可以根據(jù)問題（1）已證明的不等式ln（1+x）-＞0 （x>0），對(duì)不等式兩邊取自然對(duì)數(shù)．為了接近ln（1+x）＞的形式，還應(yīng)將19＜調(diào)整為1+19>e2后再取對(duì)數(shù)，即19＜?圳1+19>e2?圳19ln1+>2?圳ln1+>．

對(duì)ln（1+x）> （x>0），代入x=，恰好就有l(wèi)n1+>！∴ 19＜成立．

p<19＜得證.

點(diǎn)評(píng)：

由以上解答不難看出，一個(gè)數(shù)字不等式可以看做一個(gè)函數(shù)不等式的特例，而一個(gè)指數(shù)不等式一般等同于一個(gè)對(duì)數(shù)不等式.從問題（1）到問題（2）的遷移過程中，用分析法執(zhí)果索因，讓目標(biāo)與已證結(jié)論在形式上逐步接近，就能破解二者之間的微妙關(guān)系．

注：根據(jù)我們熟知的不等式“當(dāng)x≥0時(shí)，1+x≤ex. 當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立”（證明過程見《中學(xué)生天地》（高中學(xué)習(xí)）2011年第9期第31頁），取x=，對(duì)不等式1+x≤ex兩邊取對(duì)數(shù)，可得ln1+<.又例題中已證明ln1+>，∴

【練一練】

已知函數(shù)f（x）=ｌｎ2（1+ｘ）+2ln（1+x）-2x.

（1） 證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減；

（2） 對(duì)任意的n∈N*，若不等式1+2n+a≤e2恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

【參考答案】

（1） f′（x）=+-2=． 在區(qū)間（0，1）上，由熟知的不等式1+x0）可得ln（1+x）

（2） 1+2n+a≤e2?圳（2n+a）ln1+≤2?圳a≤-2n． 令g（x）=-，則-2n=g． ∵ n∈N*， ∴ ∈（0，1］. 我們可以探討g（x）在區(qū)間（0，1］上的單調(diào)性，以求出-2n的最小值．

g′（x）=-+=．

令h（x）=（1+x）ln2（1+x）-x2，則恰有h′（x）=ln2（1+x）+2ln（1+x）-2x=f（x）． 由（1）可知 f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減， ∴f（x）＜ f（0）＝0， ∴ h′（x）<0， h（x）是減函數(shù)．又h（0）＝0，∴ 在區(qū)間（0，1］上 h（x）<0. 由此可得 g′（x）<0， ∴g（x）=-在區(qū)間（0，1］上單調(diào)遞減． 對(duì)于x=（n∈N*），當(dāng)n=1時(shí)，g（x）=-有最小值-2． ∴ 當(dāng)且僅當(dāng)a≤-2時(shí)，對(duì)任意的n∈N*，1+2n+a≤e2恒成立．即a的最大值為-2.